高中数学函数解题思路多元化的方法探究

杨立睿

(甘肃省天水市武山县武山第一高级中学 741300)

一、高中函数多元化解题思路的积极作用

通过调查发现，有一些高中生在面对函数试题的时候还在尝试使用初中阶段的解题技巧，试图通过分析两个变量之间的关系来推导答案，严重影响了解题的效率以及准确性.而想要解决这一问题，就要让高中生们掌握多元化的函数解题技巧.在平时的教学工作中，教师一方面要不断强调函数基础知识的重要性，夯实高中生们的数学基础.另一方面在讲解经典例题的时候需要从不同的角度对同一道题进行仔细的剖析，让高中生们了解到每种函数解题思路的特征以及切入点，提高学生们的解题效率.

二、处理函数问题多元化的具体方式

1.发散性解题方式

由于函数试题具有比较强的抽象性，试题中的一些信息并不是直接展现的，而是隐藏在题干之下.高中生们如果仅仅从题干的字面去获取已知信息，那么很容易遗漏掉关键的信息点，从而无法进行题目的处理.因此要利用发散性的思维方式来对待题目，通过对于已知信息的发散性想象来找到与之相关的信息，并将其作为已知条件来使用.已知条件越多，题目的难度也就越低，高中生们处理问题的时候也就会显得更加得心应手.

例1函数f(x)是一次函数，如果f[f(x)]=5x-3，求f(x).

解题思路这道题的题干短小精悍，高中生们在阅读完这道题的时候会发现在已知条件中缺少了一个重要信息点——解析式系数.在缺少解析式系数的情况下，想要处理这道问题将会变得非常困难.而运用发散性思维模式，学生们可以马上联想到解析式缺少系数的时候经常用到的一种处理试题的办法，即待定系数法.待定系数法是解决函数问题的一个非常重要的方式，将其运用到这道题目中能够让已知条件变得更加完整，让解题思路逐渐明朗起来.

具体的计算方式如下：

设f(x)=ax+b(a≠0).

f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b

=a2x+ab+b.

a2=5，ab+b=-3,

2.创新性解题方式

高中阶段的函数试题具有题型多变的特点，即便是相同的知识点，在不同的题目中其表述的方式也会存在很大的不同.这种丰富的变化性为高中生的解题设置了一定的障碍，想要读懂题目，高中生们就要不断提高自己的思维水平，用创新的思维模式来看待问题，从多个角度观察题干，并找到最为合适的解题思路，在保证准确率的前提下尽可能缩短计算时间.

例2已知不等式2x-1>m(x2-1)，对满足|m|≤2的所有实数的取值都成立，求x的取值范围.

解题思路通过对题干的观察我们发现，由于该不等式由两个组成部分，如果看作同一个整体来进行运算，那么计算的过程相对会比较复杂，针对这一问题可以采用创新思维模式，考虑将原不等式拆分成两个单独的部分进行单独计算，通过这种拆分让题目变得更加简单.

构造变量的函数2x-1>m(x2-1)，即(x2-1)m-(2x-1)<0，那么f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，|m|≤2，也就是-2≤m≤2.

∵x2-1>0，

在x2-1<0的时候，f(-2)<0，因此-2x2-2x+3<0，经过计算可得2x2+2x-3>0.

当x2-1=0的时候，f(m)=1-2x<0，x=1.

3.一题多解思维模式

高中阶段的函数问题具有很高的抽象性，而且计算量非常大.高中生在进行计算的时候首先要巩固函数基础知识，从处理简单的试题开始，熟悉各种函数解题技巧，在打牢了基础之后在进行难题的处理.而想要巩固好基础，在平时训练的过程中就要养成一题多解的好习惯，一道函数题的处理不能以计算出答案为最终目的，要对题目进行深入解析，并且尝试用不同的方法处理同一道试题，比较各种解题方式的效率.

例3f(x)=ax+(2a-1)/x，在[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围.

解题思路这是一道比较基础的求取值范围的函数计算题，可以运用多种方式进行计算.根据题目中的已知条件，我们可以采用导函数法、定义法以及分类讨论法等方式来进行处理.不同的解题方式虽然得到的结论相同，但是运用的知识点以及题目的切入点存在很大的不同，在解题的时候要体会各种方式之间的差别.

解法1通过阅读题干我们得知f(x)在[1,2]上是增函数，那么就可以运用导数进行求解.

解由已知条件可得∀x∈[1,2]，

∵f(x)=a-(2a-1)/x2≥0恒成立,

∴-1/2≤a<0.

实数a的取值范围为[-1/2,1].

解法2由于函数在[1,2]区间上单调递增，因此可以考虑使用定义法来对题目进行快速处理.

解∀x1，x2∈[1,2]，且x1≠x2，那么可得1

f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[a+(1-2a)/x1x2].

根据题意可得f(x2)>f(x1)，且x2-x1>0，a+(1-2a)/x1x2>0恒成立.

当a>0的时候，x1x2>(2a-1)/a，可得0

当a<0的时候，x1x2<(2a-1)/a，可得-1/2≤a<0.

当a=0的时候，满足已知条件，a=0.

综合这三种情况，就可以得出a的取值范围[-1/2,1].

三、运用多元化解题思路的注意事项

在多元化解题思路的指导下，针对函数问题可以选择发散性方法、创新性方法以及一题多解等思想来进行处理.这些方式一方面可以将隐藏在题干中的关键信息挖掘出来，让题干变得更加完整，另一方面也可以将复杂的函数式拆分并转化成相对简单的函数，运用“化整为零”的解题思路来提高解题的速度以及准确率.想要保证多元化解题方式的效用，在运用的过程中就要注意以下三个方面的问题.首先是函数式中带有绝对值的问题，在拆分绝对值的时候要考虑到所有的因素，防止出现遗漏，影响计算结果的准确率.其次是函数式的指数问题，特别是在运用待定系数法的时候，要根据指数的不同来设计不同的解析式.最后，要注重基础知识的培养，多元化解题方式的精髓在于将复杂的函数式拆分成若干了简单的函数式，如果学生们没有扎实的基本功，在计算简单函数值的时候会浪费大量的时间，降低解题效率.

针对高中生处理函数问题效率低下的问题，教师们在平时进行教学工作的时候就要培养高中生们多元化思考的能力，在掌握了大量不同解题思路的基础上，通过对题干的精准分析快速寻找到破题点，并且选择最为高效的解题方式，为提高学生们的数学综合素养打下良好的基础.