二次型及其在实际中的应用

摘 要：二次型的理论及其性质是高等代数中的重点内容之一，二次型的应用及其广泛，尤其是二次型的理论在曲线方程和曲面方程的研究，以及在经济管理等方面都有着重要的理论和实用价值。为使读者能够较全面深入的了解，正确清晰的理解和掌握二次型的理论及其应用，本文主要是针对二次型及其理论在几何和化二次型为标准形的应用作一些简介。如有不恰当之处，欢迎老师，同学以及读者给予批評指正。

关键词：二次型;二次曲线;二次曲面;标准型

二次型及其理论的建立有着很强的几何背景，二次型的理论的探讨是从18世纪开始的，它的起源是对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选择主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。柯西在他人研究著作的基础上，探讨化简变数的二次型等问题，证明了特征方程在直角坐标系的任何变化下具有不变性，以及n个变量的两个二次型能用一个线性变换，同时化为平方和。在1858年，维尔斯托拉斯给出了对同时化两个二次型成为平方和的一般的方法。

一、二次圆锥曲线方程化为标准形

在平面几何中，对于一般的二次圆锥曲线方程

我们都可以利用旋转和平移变换进行化简，使得一般的二次圆锥曲线方程（1）划分为椭圆，双曲线，或抛物线三种类型之一。其步骤如下：

解：首先将二次型用正交变换化成标准型，为此，令，经计算可求得的特征值为，对应的特征向量分别为，将它们单位化，得到，作如下的正交变换，代入二次圆锥曲线方程得到：，再通过配方后，得到标准形，它是以为中心得双曲线。

二、二次曲面方程化为标准形

在空间解析几何中，二次曲面方程得一般形式为：

令，则（3）式就化为由于此式的二次项中不含有变量的交叉乘积，只含有平方项，在通过一次平移变换就可以把二次曲面方程（1）化为易于判定类型的标准方程了。

另外二次型在探讨系统的稳定性、最优化中极值求解、高等代数以及物理力学、物理学电阻器功率的消耗等方面都有着非常广泛的应用.由于篇幅所限，这里就不在累赘了。

参考文献

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[4] 陈宝林.最优化理论与算法[M].北京：清华大学出版社，2005.

[7] 王燕军.最优化理论与方法[M].上海：复旦大学出版社，2005.

作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。