高强钢端板连接节点弯矩-转角曲线数学模型

强旭红，陈 欢，姜 旭，席永慧，陈武龙

（1.同济大学 土木工程学院，上海 200092；2.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092）

1 研究背景

钢结构梁柱端板连接节点具有较高的承载力、一定的延性和较好的抗震耗能能力，是多高层钢结构与钢结构厂房中常用的装配式节点形式之一［1］。它属于半刚性节点，常采用组件法［2］研究。我国和欧洲现行钢结构设计规范都建议采用节点的弯矩-转角（M-θ）曲线作为半刚性框架结构设计分析的依据［3-4］。端板连接节点的典型M-θ曲线如图1所示。节点力学性能的主要指标包括：①初始刚度kini；②抗弯承载力My；③抗弯承载力对应的转角θy；④屈服后刚度kp；⑤抗弯极限承载力Mmax；⑥抗弯极限承载力对应的转角θmax；⑦极限转角Фc。

我国钢结构设计标准［4］规定：在内力分析时，应假定半刚性连接节点的M-θ曲线，并在节点设计时，保证其构造与假定的M-θ曲线符合。因此，探究半刚性节点M-θ曲线的数学表达，对于内力分析和节点设计非常必要。最简单的数学表达莫过于线性模型，其包括单线性、双线性和多线性3种形式。单线性模型采用节点的初始刚度kini表征节点全部加载范围的力学特性；双线性模型在某一弯矩处，采用更小的刚度代替连接的初始刚度［5-9］；多线性模型则采用一组直线来逼近节点非线性的M-θ曲线。双线性和多线性模型更接近节点的实际力学行为，但在转折点处刚度存在突变，容易造成计算不收敛。总的来说，线性模型过于简单，很难准确描述M-θ曲线的非线性段，即图1中的BE段，而OA为线性段。

图1 端板连接节点的M-θ曲线Fig.1 M-θ curve of endplate connection

为寻求节点M-θ曲线更准确的数学表达，Frye等［10］提出了奇次方多项式数学模型；Jones等［11-12］采用B样条曲线对节点的M-θ曲线进行拟合，保证了曲线在交点处一、二阶导数连续；Kishi等［13］和Attiogbe等［14］分别提出了三参数和四参数幂函数模型；郭兵等［15-16］提出了两参数指数模型；Wu等［17］提出了三参数指数模型，来描述顶、底角钢连接或带双腹板角钢的顶、底角钢连接的M-θ曲线；Yee等［18］针对端板无加劲肋的外伸式端板连接提出了四参数指数模型，参数分别为节点的初始刚度kini、屈服后刚度kp、抗弯极限承载力Mmax和形状参数c，如下式：

因此，现有研究针对节点M-θ曲线提出的数学模型主要有：线性模型、多项式模型、B样条模型、幂函数模型和指数模型。

目前，对于高强钢的定义，欧洲钢结构设计规范Eurocode 3（EC3）［19］定义高强钢的名义屈服强度不小于460 MPa；澳大利亚规范AS 4100［20］定义高强钢的名义屈服强度大于450 MPa；香港规范［21］定义高强钢的名义屈服强度在460～690 MPa之间；我国国家标准《钢分类》［22］定义屈服强度大于等于420 MPa的钢材为高强钢。

高强钢已经在国内外土木工程中得到较广泛应用［23］，但因其力学性能与普通钢材存在差异，高强钢端板连接节点的力学性能也与普通钢端板连接节点不同。另一方面，高温会使钢材性能发生退化，火灾对钢结构建筑的影响一直是钢结构研究领域的一个关键问题［23］。然而，上述已有研究中节点M-θ曲线的数学模型仅针对普通钢常温时的情况。Al-Jabri等［24］对普通钢端板连接节点高温试验研究成果进行了总结，并采用Ramberg-Osgood模型拟合了不同温度下节点M-θ曲线；王卫永等［25］在Yee等［18］研究的基础上，通过引入钢材高温下力学性能折减系数，以式（1）为基础，提出了普通钢端板连接节点火灾下M-θ曲线的数学模型。然而，目前高强钢端板连接节点在常温、火灾下及火灾后M-θ曲线的数学模型尚未见报道。

本文提出了高强钢端板连接节点在常温、火灾下及火灾后的初始刚度kini、屈服后刚度kp和抗弯极限承载力Mmax的计算方法，与作者前期的试验结果［26-29］进行对比，验证了所提kini和Mmax计算方法的准确性；将计算得到的kini、kp、Mmax和c代入式（1），得到节点M-θ曲线的预测结果，将其与试验结果作对比，验证了kp和c计算方法的准确性，以及采用式（1）预测高强钢端板连接节点M-θ曲线的合理性。

2 初始刚度计算方法

2.1 各组件初始刚度计算方法

根据组件法，将节点拆分为多个基本组件，每个组件采用线性或非线性弹簧模拟，通过弹簧的串、并联组合计算，获得节点整体的力学行为［2］，如图2所示。EN 1993—1-8［3］采用等效T型连接模拟端板连接节点受拉区的力学行为，根据EN 1993—1-8［3］，T型连接的失效模式有3种：翼缘在螺栓处和腹板处屈服（失效模式1）、翼缘在腹板处屈服的同时螺栓拉断（失效模式2）和螺栓拉断（失效模式3），如图3所示。图中，Ty为外荷载作用，Q为撬力，Mp为端板的全截面塑性抗弯承载力，B为螺栓受到的拉力，By为螺栓的屈服承载力，n为螺栓轴线至翼缘板边缘的距离，m为螺栓轴线至翼缘板根部的距离。为计算端板连接节点的初始转动刚度kini，需求得以下组件的初始刚度：①柱腹板抗压刚度kcw，C；②柱腹板抗剪刚度kcw，v；③柱腹板抗拉刚度kcw，T；④柱翼缘抗弯刚度kcf；⑤端板抗弯刚度kep；⑥螺栓抗拉刚度kb。

图2 初始刚度的计算模型Fig.2 Calculation model for initial stiffness

图3 T型连接的失效模式Fig.3 Failure mode of T-stubs

2.1.1 柱腹板抗压刚度kcw，C

对于无横向加劲肋的柱腹板，EN 1993—1-8［3］给出其抗压刚度kcw，C的计算方法为

式中：E为材料的弹性模量；hcw为柱腹板的高度，hcw=hc-2tcf；hc为柱截面高度；tcf为柱翼缘厚度；tcw为柱腹板厚度；bcw，C，eff为柱腹板受压区的有效高度，若为热轧型钢柱，其计算方法为

若为焊接型钢柱，其计算方法为

式（3）、（4）中：tbf为梁翼缘厚度；tep为端板厚度；hf，ep为钢梁与端板连接焊缝的有效高度；hf，cf为柱翼缘与腹板连接焊缝的有效高度；rc为柱翼缘根部半径。

对于有横向加劲肋的柱腹板，文献［30］给出其抗压刚度计算方法为

式中：ts为横向加劲肋的厚度；bs为横向加劲肋的宽度。

2.1.2 柱腹板抗拉刚度kcw，T

与柱腹板抗压刚度的计算方法相似，对于无横向加劲肋的柱腹板，其抗拉刚度kcw，T的计算方法为

式中：bcw，T，eff为柱腹板受拉区的有效高度，bcw，T，eff=hcw-bcw，C，eff。若为热轧型钢柱，其计算方法见式（3）；若为焊接型钢柱，其计算方法见式（4）。

对于有横向加劲肋的柱腹板，其抗拉刚度计算方法为

2.1.3 柱腹板抗剪刚度kcw，v

EN 1993—1-8［3］给出柱腹板抗剪刚度kcw，v的计算方法为

式中：hbf为梁上、下翼缘中心间的距离，hbf=hb-tbf；hb为梁截面高度。

2.1.4 端板抗弯刚度kep

采用作者前期基于连续梁模型推导的考虑螺栓抗弯刚度的T型连接初始刚度计算方法［31-33］计算端板的抗弯刚度，对于螺栓无预紧力的端板连接节点，其端板抗弯刚度kep的计算方法为

式中：lep为与端板等效的T型连接的连续梁模型的梁长；Iep为梁模型的截面惯性矩；leff，ep为梁模型塑性铰线的计算长度；mep为与端板等效的T型连接的螺栓轴线至翼缘根部的距离；nep为梁模型中用于模拟螺栓的弹簧至支座约束的距离；kb和kbb分别为螺栓的轴向刚度和抗弯刚度。mep及leff，ep的确定方法见EN 1993—1-8［3］；nep根据文献［32］给出的n的确定方法计算得到。

对于螺栓有预紧力的端板连接节点，需依据文献［33］求得栓板单元的割线刚度kbs，将kbs替代kb代入式（9），即可求得螺栓有预紧力的端板连接节点的端板抗弯刚度。

2.1.5 柱翼缘抗弯刚度kcf

与端板抗弯刚度的计算方法相似，对于螺栓无预紧力的端板连接节点，其柱翼缘抗弯刚度kcf的计算方法为

式中：lcf为与柱翼缘等效的T型连接的连续梁模型的梁长；Icf为梁模型的截面惯性矩；leff，cf为梁模型塑性铰线的计算长度；mcf为与柱翼缘等效的T型连接的螺栓轴线至翼缘根部的距离；ncf为梁模型中用于模拟螺栓的弹簧至支座约束的距离。mcf及leff，cf的确定方法见EN 1993—1-8［3］；ncf根据文献［33］给出的n的确定方法计算得到。

对于螺栓有预紧力的端板连接节点，可依据文献［33］求得栓板单元的割线刚度kbs，将kbs替代kb并代入式（10），即可求得螺栓有预紧力的端板连接节点的柱翼缘抗弯刚度。

2.1.6 螺栓抗拉刚度kb

由于采用基于连续梁模型推导的T型连接初始刚度计算方法［31-33］计算端板和柱翼缘的抗弯刚度，计算得到的端板和柱翼缘抗弯刚度中已包含螺栓的抗拉刚度，因此无需单独计算螺栓的抗拉刚度。

2.2 节点初始刚度的计算方法

对于常用的梁受拉翼缘上、下各一排螺栓的端板连接节点，其各排螺栓处的等效抗拉刚度kTS，i为

式中：kep，i为第i排螺栓处的端板抗弯刚度；kcf，i为第i排螺栓处的柱翼缘抗弯刚度；kcw，T，i为第i排螺栓处的柱腹板抗拉刚度。

在弯矩M作用下，可建立如下平衡方程：

式中：hi为第i排螺栓的螺栓轴线至梁下翼缘中面的距离；keq为等效抗拉弹簧的刚度；heq为等效抗拉弹簧距梁下翼缘中面的距离。

联立式（12）和（13）可得

在heq处，由于柱腹板受拉、柱翼缘受弯、端板受弯和螺栓受拉而产生的变形δT为

柱腹板受压产生变形δC为

柱腹板由于剪切变形而在heq高度范围内产生的变形量δv为

由式（16）～（18）可得节点的转角θ为

综上可得，节点初始刚度kini为

3 抗弯极限承载力计算方法

3.1 各组件抗弯极限承载力计算方法

端板连接节点的抗弯极限承载力取决于节点中最薄弱组件的极限承载力，故为计算节点的抗弯极限承载力，需计算：①柱腹板抗拉极限承载力Fcw，T，u；②柱腹板抗压极限承载力Fcw，C，u；③柱腹板抗剪极限承载力Fcw，v，u；④柱翼缘抗弯极限承载力Tcf，u；⑤端板抗弯极限承载力Tep，u；⑥螺栓抗拉极限承载力Bu。

3.1.1 柱腹板抗压极限承载力Fcw，C，u

对于无横向加劲肋的柱腹板，其抗压极限承载力Fcw，C，u的计算方法为

对于有横向加劲肋的柱腹板，其抗压极限承载力Fcw，C，u的计算方法为

式中：fu为节点所用钢材的抗拉强度；fus为加劲肋所用钢材的抗拉强度。

3.1.2 柱腹板抗拉极限承载力Fcw，T，u

对于无横向加劲肋的柱腹板，其抗拉极限承载力Fcw，T，u的计算方法为

对于有横向加劲肋的柱腹板，其抗拉极限承载力Fcw，T，u的计算方法为

3.1.3 柱腹板抗剪极限承载力Fcw，v，u

柱腹板抗剪极限承载力Fcw，v，u的计算方法为

式中：hcw为柱腹板的高度，hcw=hc-2tcf；hc为柱截面高度；tcf为柱翼缘厚度；tcw为柱腹板厚度。

3.1.4 端板抗弯极限承载力Tep，u

根据 EN 1993—1-8［3］，节点受拉区端板对应失效模式1和模式2（如图3a和3b所示）的抗弯承载力Tep，y，f1和Tep，y，f2的计算方法为

式中：Mp，ep为端板的全截面塑性抗弯承载力；fby为螺栓钢材屈服强度；As为螺栓的净截面面积；leff，ep为塑性铰线的计算长度；mep和nep，r分别为与端板等效的T型连接的螺栓轴线至翼缘根部的距离和螺栓轴线至翼缘边缘的距离。mep、nep，r及leff，ep的确定方法见EN 1993—1-8［3］。

其抗弯承载力Tep，y取Tep，y，f1和Tep，y，f2中的较小值，即

若考虑螺栓头与端板接触面之间的均布面应力对节点承载能力的影响，则节点受拉区端板对应失效模式1的抗弯承载力为

式中：dw为螺栓垫片的直径。

Jaspart［34］和Piluso等［35］基于材料的真实应力-应变本构关系（如图4所示）和节点受拉区端板抗弯承载力的计算方法，推导了端板对应失效模式1和失效模式 2 的抗弯极限承载力Tep，u，f1和Tep，u，f2的计算公式为

图4 材料的真实应力-应变曲线Fig.4 True stress-strain curve of material

其抗弯极限承载力Tep，u取Tep，u，f1和Tep，u，f2中的较小值，即

3.1.5 柱翼缘抗弯极限承载力Tcf，u

与端板抗弯极限承载力的计算方法相似，其抗弯极限承载力的计算方法为

式中：leff，cf为塑性铰线的计算长度；mcf和ncf，r分别为与柱翼缘等效的T型连接的螺栓轴线至翼缘根部的距离和螺栓轴线至翼缘边缘的距离。mcf、ncf，r及leff，cf的确定方法详见EN 1993—1-8［3］。

3.1.6 螺栓抗拉极限承载力Bu

螺栓的抗拉极限承载力计算方法见式（35）。

3.2 节点抗弯极限承载力的计算方法

对于常用的梁受拉翼缘上、下各一排螺栓的端板连接节点，各排螺栓处的抗拉极限承载力Fu，T，i为

式中：Tep，u，i、Tcf，u，i和 2Bu，i分别为第i排螺栓处的端板抗弯极限承载力、柱翼缘抗弯极限承载力和螺栓抗拉极限承载力。

则节点受拉区的极限承载力Fu，T为

节点受压区的极限承载力Fu，C为

节点受剪区的极限承载力Fu，v为

若节点的失效模式为节点受拉区破坏，则节点的抗弯极限承载力Mmax，T可由下式计算：

若节点的失效模式为节点受压区破坏，则节点的抗弯极限承载力Mmax，C可由下式计算：

若节点的失效模式为节点受剪区破坏，则节点的抗弯极限承载力Mmax，v可由下式计算：

节点抗弯极限承载力Mmax取Mmax，T、Mmax，C和Mmax，v中的最小值，即

4 屈服后刚度的计算方法

对于端板连接节点屈服后刚度kp，王卫永等［25］假定节点在受力变形过程中不发生应变强化，即假定kp=0。然而，从节点的M-θ曲线（图1）可看出，曲线存在明显的应变强化段；Yee等［18］也明确指出，当节点的失效模式为柱腹板受压区破坏时，节点往往具有明显的后屈曲强度，即节点会发生应变强化，故假定kp=0不甚合理。Yee等［18］给出了节点屈服后刚度kp的计算方法，但该计算方法较为复杂。井泉［36］采用Yee等［18］提出的四参数指数模型（如式（1）所示）对普通钢端板连接节点的M-θ曲线进行拟合，结果表明，kp取初始刚度kini的1/50较为合理。因此，本文采用文献［36］的建议，取kp=0.02kini。

由文献［21，32］可知，形状参数c对式（1）计算结果的影响较小，可忽略，故取c=0。

5 弯矩-转角曲线截断方法

式（1）描述的是节点承受的弯矩M与节点转角θ间的关系，θ无限大时，式（1）计算得到的M也会无限大，从而使M-θ曲线的预测结果无限长。然而，节点的承载能力和转动能力都是有限的。为准确模拟节点的实际力学行为，有必要在预测曲线上确定截断点L，预测曲线在该点截断，如图5所示。

从节点承载能力的角度出发，截断点的纵坐标Mlim不应大于按第3节计算方法得到的节点抗弯极限承载力Mmax；现有研究认为，θ达到0.05 rad可视为节点拥有足够的转动能力［25，37］，所以从变形的角度出发，截断点的横坐标θlim不应超过0.05 rad。

因此，本文提出预测曲线的截断方法如下：①按第3节计算方法得到节点的抗弯极限承载力Mmax；② 将θ=0.05 rad代入式（1），求得节点弯矩M0.05，若M0.05≤Mmax，则θlim=0.05 rad，Mlim=M0.05；若M0.05＞Mmax，则Mlim=Mmax，将Mmax代入式（1），即可求得θlim；③ 由①和②确定了截断点L（θlim，Mlim），预测曲线在该点截断。

图5 M-θ曲线的截断Fig.5 Truncation of M-θ curve

6 模型准确性验证

为验证所提出的kini、Mmax、kp和c计算方法的准确性，以及采用式（1）预测高强钢端板连接节点在常温、火灾下、火灾后M-θ曲线的合理性，与3组常温下［26-27］、3组火灾下［30-31］及 4组火灾后［26］的Q690和Q960高强钢端板连接节点足尺试验结果进行了对比。

6.1 试验的kini、Mmax和kp

采用提出的初始刚度kini和抗弯极限承载力Mmax计算方法计算文献［26-29］各试验试件，得到计算值kini，cal和Mmax，cal，如表 1所示。表 1同时列出节点初始刚度kini和抗弯极限承载力Mmax的试验值kini，ep和Mmax，ep，以及采用 EN 1993—1-8［3］计算得到的节点初始刚度kini，EN。

表1 文献［26-29］各试验试件的kini和Mmax试验和计算结果Tab.1 Test and calculation results of kini and Mmax of various test specimens in Refs.[26-29]

从表1可看出，Q960高强钢端板连接节点的Mmax，cal和Mmax，ep较接近，相对误差在 5% 以内；Q690高强钢端板连接节点的Mmax，ep大约是Mmax，cal的 1.2倍，这与ξ的计算结果有关，即与钢材本构模型的选取有关；除了Q960高强钢在火灾下的情况，其余节点的kini，cal高于试验值kini，ep，但都比kini，EN更接近试验值kini，ep。因此，提出的节点初始刚度kini和抗弯极限承载力Mmax的计算方法能够较为准确地预测高强钢端板连接节点在常温、火灾下及火灾后的力学行为。同时由第 4 节可知，各试验试件的kp，cal=0.02kini，cal，ccal=0。

6.2 M-θ曲线的对比

将第6.1节得到的作者前期足尺试验研究中［26-29］各试验试件的初始刚度计算值kini，cal、抗弯极限承载力计算值Mmax，cal、屈服后刚度计算值kp，cal和形状系数计算值ccal代入式（1），得到M与θ的表达式。然后，采用第5节的曲线截断方法确定截断点L，并在该点截断曲线，从而绘出各试验试件M-θ曲线的预测结果，其与试验结果的对比如图6所示。

由图6可知，高强钢端板连接节点的数学模型和试验结果较吻合；火灾后Q690高强钢端板连接节点的Mmax，cal略低于Mmax，ep，即数学模型预测的M-θ曲线峰值低于试验结果，因此模型对火灾后Q690的预测结果偏于安全，这可能与Q690钢材材性的离散性和Q690钢材火灾后材性试验（本文模型的材性输入数据）的准确性有关。综上所述，本文提出的节点屈服后刚度kp和形状系数c的计算方法以及采用式（1）预测高强钢端板连接节点在常温、火灾下及火灾后的M-θ曲线是合理的。

7 结论

本文提出了高强钢端板连接节点在常温、火灾下及火灾后的初始刚度kini、屈服后刚度kp和抗弯极限承载力Mmax的计算方法，将kini、kp、Mmax和c代入Yee等提出的四参数指数模型，得到节点M-θ曲线的预测结果，将初始刚度kini和抗弯极限承载力Mmax的计算结果以及节点M-θ曲线的预测结果，与作者前期的Q690与Q960节点足尺试验结果进行对比，研究结果表明：

（1）Mmax的计算结果与试验值较吻合，其中Q960的相对误差在5%以内；kini的计算结果比EN 1993—1-8的结果更接近试验值。所提出的节点初始刚度kini和抗弯极限承载力Mmax的计算方法能够较为准确地预测Q690与Q960高强钢端板连接节点在常温、火灾下及火灾后的力学行为。

（2）对于Q960高强钢端板连接节点，预测曲线与试验曲线较吻合；对于Q690高强钢端板连接节点，预测曲线的峰值略低于试验曲线的峰值，该预测结果偏于安全。由此可见，本文提出的屈服后刚度kp的计算方法以及采用Yee等提出的四参数指数模型预测高强钢端板连接节点在常温、火灾下及火灾后的M-θ曲线是合理的。

本文研究成果可为Q690与Q960高强钢端板连接节点在常温下、火灾下及火灾后力学性能的预测与评定提供参考，为Q690与Q960高强钢梁柱节点的抗火设计、优化设计及火灾后评估，乃至高强钢在土木工程领域的合理应用提供理论依据。