高三数学综合测试

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分)

1.集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={1,2,3,4},则A∩B=______.

2.已知复数z=a+bi(a、b∈R),且满足iz=9+i(其中i为虚数单位),则a+b=______.

3.某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间,有7人用时为6分钟,有14人用时7分钟,有15人用时为8分钟,还有4人用时为10分钟,则高二(4)班全体同学用餐平均用时为______分钟.

4.函数f(x)=(a-1)x-3(a>1,a≠2)过定点______.

5.等差数列{an}(公差不为0),其中a1,a2,a6成等比数列,则这个等比数列的公比为______.

6.小李参加有关“学习强国”的答题活动,要从4道题中随机抽取2道作答,小李会其中的3道题,则抽到的2道题小李都会的概率为______.

7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BC的中点,AB=1，AD=2,AA1=1,则点A到平面A1DE的距离是______.

8.在如图所示的流程图中,输出n的值为______.

9.圆C:(x+1)2+(y-2)2=4关于直线y=2x-1的对称圆的方程为______.

12.对于任意的正数a、b,不等式(2ab+a2)k≤4b2+4ab+3a2恒成立,则k的最大值为______.

14.函数f(x)=|x2-1|+x2+kx+9在区间(0,3)内有且仅有两个零点,则实数k的取值范围是______.

二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(1)角C的大小;

16.(本小题满分14分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,O为其中心,∆PAD为锐角三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,E为PD的中点,CD⊥DP.

(1)求证:OE∥平面PAB;

(2)求证:CD⊥PA.

(1)求∆PF1Q的周长;

(2)求∆PF1M面积的最大值.

18.(本小题满分16分)一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆,发酵馆内有一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形ABCD(如图所示),其中AD≥AB.结合现有的生产规模,设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,发酵池造价总费用不超过65 400元.

(1) 求发酵池AD边长的范围;

(2)在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道(b为常数).问:发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

20.(本小题满分16分)设函数f(x)=lnx-ax,a∈R,a≠0.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)=0有两个零点x1、x2(x1

(i)求a的取值范围;

三、附加题(本大题有4小题，每小题10分，计40分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

(1)求直线OC与DE所成角的余弦值;

(2)求二面角A-DE-C的正弦值.

参考答案

一、填空题

1.{1，3}；2.-8；3.7.5;4.(0,-2);

二、解答题

16.(1)连BD.因为ABCD为平行四边形，O为其中心，所以，O为BD中点.

又因为E为PD中点，所以OE∥PB.

又PB⊂平面PAB，OE⊄平面PAB，

所以，OE∥平面PAB.

(2)作PH⊥AD于H，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊥AD，PH⊂平面PAD，所以，PH⊥平面ABCD.

而CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PH.

又CD⊥PD，PD∩PH=P，

PD⊂平面PAD，PH⊂平面PAD，

所以，CD⊥平面PAD.

又PA⊂平面PAD，所以，CD⊥PA.

17.由2c=4,得c=2,F1(-2,0),F2(2,0).

因此，∆PF1Q的周长=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=12.

答：发酵池AD边长的范围是不小于15米，且不超过25米.

①b≥4时，S′(x)≥0,S(x)在[15,25]单调增，则x=15.即AB=AD=15米时，发酵馆的占地面积最小.

因为b1=1,b2=2，所以数列{bn}是以首项和公差均为1的等差数列，可得bn=n.

当a<0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)单调增.

设平面DEC的法向量为n=(x2,y2,z2),则

设二面角A-DE-C的平面角为α，则

23.当n=1时，设f(x)=ex-1-x,x∈(1,+∞)，则f′(x)=ex-1-1>0,f(x)在(1,+∞)单调增.

所以f(x)>f(1)=0,即ex-1>x,即n=1时，原命题成立.

综上，原命题得证.