让“问题串”点燃学生的思维

◇ 山东 韩庆学

数学思维历来围绕“问题”展开,问题一直被认为是数学的“心脏”.建构主义学习理论也认为,人的思维活动永远都是从问题开始的．本文结合教学中设计“问题串”的具体案例谈谈笔者的做法与看法,以期与同仁探讨．

1 让“问题串” 走进生活

新课程的重要理念就是让学生在现实生活的背景下学习数学,“数学即生活,生活即数学”,让学生感知数学的实用性,以此来激发他们学习数学的兴趣.于是,笔者尝试将数学“问题串”与学生的实际生活和已有的生活经验联系起来,为“问题串”提供丰富多彩的生活背景,这不仅为学生营造了轻松的学习氛围,而且大大激发了他们的求知欲．

案例1“反证法”的导入.

问题1公园里种了几棵李子树,树上硕果累累．公园里又散养了一群猴子,猴子喜欢吃甜的水果,可树上的李子一个也不少,为什么?

问题2如果李子是甜的,树上还会有李子吗?

问题3这个问题的推理采用了哪种方法?

问题4某宾馆在某晚上九点至十点发生了凶杀案,李某是嫌疑人,李某如何应用反证法来洗脱自己的罪名?

问题5找找生活中反证法的应用例子．

5个问题来源于现实生活,且环环相扣,对学生学习反证法的概念与应用起到了引导的作用,让学生亲身体验反证法概念的形成,使之自然地内化到认知结构中．

2 让“问题串”逐渐深入

人的思维总是从低层次逐渐走向高层次的．数学学习也是如此,既要注重基础,也要注意拓展、夯实.数学基础是发展数学能力的前提,而发展数学能力则是夯实数学基础的最终目的．所以,精彩的“问题串”应该是连贯的、层次分明的,它能激发学生自主探究意识,使他们通过探究加深对问题的认识,并能从特殊的数学现象中看透问题的本质,并找到一般的规律． 换言之,就是引导学生在学习中研究,在研究中学习．

案例2习题课“利用递推关系求数列通项”.

问题1等差数列与等比数列的通项公式是如何推导的?(起到复习作用.)

问题2若数列{an}满足an-an-1=f(n)(n≥2),且已知首项a1,你能推导{an}的通项公式吗?(类比等差数列通项公式的推导引出累加法.)

问题4若数列{an}满足an=3an-1+2,且已知首项a1,你能推导{an}的通项公式吗?(从特殊情况出发,通过构造法构造等比数列求数列通项.)

问题5若数列{an}满足an=pan-1+q(p,q为常数),且已知首项a1,你能推导{an}的通项公式吗?(寻求构造等比数列求数列通项的一般方法.)

由此可见,通过铺设这些小问题,可以让学生由浅入深地掌握解决一类问题的方法．这样既活跃了学生的思维,积极调动了学生学习的主动性,又顺理成章地实现了教学目的．

值得一提的是, 教师创设问题串要针对数学知识的系统性、逻辑性和学生的认知发展水平,立足于学生现有的数学知识和经历,防止出现抽象的问题让学生产生畏惧心理.问题要具有启发性,紧密地围绕主题,引导学生从基础题出发层层深入,有利于学生拾级而上,较快地提升综合能力．

3 让 “问题串”迈向多角度

培养学生的发散性思维是数学教学的目标之一．因此我们设置数学问题情境时要注意开放性,要从多层次、多角度设置疑问,这样的“问题串”才能引导学生深入思考,吸引学生积极动脑、拓展创新思维,培养学生触类旁通的能力,提升学生的核心素养．

案例3二元函数的最值问题.

题目已知a,b∈R,且a+b=3,求a2+b2-2a-2b的最大值．

条件等式下的多元最值问题一直是教学的一个难点,而突破这个难点,教师应施行启发式教学,通过多角度的问题串让学生从“无路可走”转向“条条大路通罗马”．

问题1设a2+b2-2a-2b=R,如何通过联立方程组消元，将问题转化为二次方程有解问题,从而利用判别式法使问题获解.(利用函数变方程渗透方程思想,培养学生思维的灵活性.)

问题2如果把a+b=3看成一条直线,把a2+b2-2a-2b=R看成一个圆,你能运用直线与圆的位置关系的有关知识解决这个问题吗?(渗透数形结合思想.)

问题3如果把a2+b2-2a-2b=R配方成(a-1)2+(b-1)2=R+2,你能把它转化为三角函数最值问题吗?(渗透换元思想.)

问题4在已知条件与欲求最值的表达式中,字母a与b有什么特征,可以用基本不等式求本题的最值吗?(渗透基本不等式的灵活应用.)

教师的职业生涯是由一节又一节的课组成的,而每一节课都是在一个又一个问题的产生与解决中完成的,精彩的问题串铸就了精彩的课堂,让数学教学生机盎然．