板的局部屈曲及屈曲后极限承载力分析

肖军 丛磊 王海城 郭湘

摘要：板的局部屈曲受截面类型控制，Eurocode规范根据板的局部屈曲的情况划分了四种截面，其中截面类型I～III的承载能力由于构件整体失稳而降低，类型IV截面承载能力因板的局部屈曲而削弱。针对类型IV截面，板的屈曲临界荷载及最大极限荷载进行了算例计算。研究表明：①受压板首先发生局部屈曲，在屈曲区域退出工作后，外部框架继续承载直至材料屈服;②屈曲后最大极限荷载较屈曲临界荷载提高约36%;③考虑加劲肋的板的极限承载力较无加劲肋的板有较大程度的提高。

Abstract： The local buckling of the plate is controlled by the type of section. The Eurocode proposes four sections according to the local buckling of the plate， of which the bearing capacity of the type I～III is reduced because of the global buckling， and the bearing capacity of type IV section is weakened by the local buckling of the plate. The buckling critical load and the maximum ultimate load of the type IV section plate are calculated. The research shows that： ①the local buckling of the compression plate is first occurred， and the external frame continues to bear until the material yield after the buckling region exit;②the maximum ultimate load after buckling is about 36% higher than that of the critical buckling load;③the ultimate bearing capacity of plates considering stiffeners is greatly improved compared with those without stiffeners.

關键词：受压板;局部屈曲;屈服;极限荷载

Key words： compression plate;local buckling;yield;ultimate load

中图分类号：U442                                        文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2020）15-0145-04

0  引言

屈曲是一种不稳定的现象，当宽厚比较大的薄壁板（平的或者弯曲的都有可能）承受轴向压力（即压缩）时，就有可能发生这种现象[1]。在一个特定的临界荷载下，板有可能在横向面外方向突然失稳。如果结构单元够粗壮，则其承载能力是由材料的屈服强度所控制，而不是屈曲强度。相反，如果结构长细比较大或者是薄壁结构，屈曲强度由所谓的长细比所控制——屈曲长度与圆柱或者支柱整体失稳的回转半径之比，或者加载宽度与板局部屈曲的厚度之比。板的屈曲与受压柱或杆的整体失稳正好相反，也不同于梁的侧向扭转失稳，板的局部屈曲有一种屈曲后的承载能力，即使得屈曲后进一步承载成为可能。一块内部超静定的板，在屈曲后不会马上发生崩溃，反而会达到一个更高的加载水平[2～4]。

一种增大长细比较大且薄壁形式板的承载力的方法是借助于加劲肋，它能最小化受压区的自由间距。薄板梁桥，或者船体主要在纵向和横向上进行加强，以提高其承载能力。倘若加劲肋足够强，板的屈曲就会被限制在加劲肋之间的区域。这些被加劲肋分隔开的板的最大承载能力取决于板的局部屈曲的同时，还应考虑板的屈曲后效应。

本文首先介绍欧规关于四种截面类型的分类，而后以未考虑加劲肋的板的屈曲临界荷载和最大极限荷载的对比分析来说明板的屈曲后强度储备，同时对比不考虑和考虑加筋的板的屈曲临界荷载及屈曲后最大极限荷载分析来说明加劲肋对板的稳定性的影响。

1  四种截面类型

Eurocode规范[5]根据局部屈曲的情况划分了4种截面类型。区别各种截面类型的参数主要是各个构件的宽厚比。宽厚比的大小决定了塑性转动的能力，对于承受弯矩的主梁也就是其受拉侧伸长，另一侧压缩（有屈曲的可能）的能力。Eurocode规范规定的4种截面类型针对的是如下定义的受弯梁的情况。极限状态下最大的可能承载能力是由如下条件所决定（其中下标c表示最大承载能力取决于承受压应力的能力，即考虑局部屈曲的情况）：

（1）

1.1 类型I

截面足够的粗壮（足够小的宽厚比或者良好的塑性转动能力）以至于有可能在超静定结构中形成一个塑性铰装置以平衡掉极限状态的弯矩差异，全截面高度全部塑化，如图1所示。

1.2 类型II

截面粗壮，但是不足以在超静定结构中形成塑性铰装置。设计弯矩的分布与弹性响应一致。然而，纵向弯矩最大的区域可以设计成在全截面高度全部塑化，这与类型I的截面形式是一致的。对于静定结构体系，类型I和类型II是没有区别的，如图2所示。

1.3 类型III

截面可以定义为半粗壮，在受压侧由于局部屈曲仅能发生部分塑化。如同截面类型II，设计弯矩分布与弹性响应一致，区别在于最大应变区域应力分布呈三角形，如图3所示。

针对不对称的截面形式（类型III），例如，较宽的受压翼缘（较受拉翼缘），有可能在受拉侧发生屈服;然而，受压侧的应力限值受制于最外侧纤维的屈服强度。当截面的腹板属于类型III截面，并且受压翼缘属于类型I或者类型II任一种时，Eurocode认为此时的截面属性是基于截面类型II的作用，即全截面屈服，但是在承受压力的腹板中心部分，这种性质（即全截面屈服）是被忽略的。

1.4 类型IV

截面是薄壁的，即宽厚比很大以至于屈曲会在最外层纤维达到屈服前发生。屈曲后储备效应使得最外层纤维在设计极限状态下达到屈服。在截面发生部分屈曲并退出工作的情况下（屈曲区域丧失刚度），截面应按照有效净截面积加以分析，如图4所示。

对于纯压柱体或者支撑杆件，截面类型I～III的承载能力由于构件整体失稳（欧拉失稳）而降低。除此之外，在类型IV截面形式中，承载能力还会因为板的局部屈曲而削弱。本文将主要针对截面类型IV进行板的屈曲分析和屈曲后承载力分析。

2  板的屈曲及屈曲后承载力分析

2.1 板的屈曲临界荷载

受压板示意如图5所示，其翘曲后中面的挠曲方程为[6，7]：

（2）

式中：，为单位宽度板的抗弯刚度;w为板中面的挠度。

式（2）的通解为：

（3）

式中：m—x方向板翘曲的半波数目;

n—y方向板翘曲的半波数目;

a—板的长度;

b—板的宽度;

Cmn—待定系数。

对于四边简支板，当n=1且令α=a/b时，得到板的临界屈曲应力为：

（4）

其中，k为屈曲影响系数，，其随着应力分布的形式和板的长宽比（a/b）而变化（不同长宽比下的k的取值见图6所示）;b/t表示板的宽厚比。

2.2 算例分析

与压杆不一样，板的力学性能展示了一种内部超静定特性：在板屈曲以后还可以内力重分布。其最大的承载能力由更为刚性的区域因其达到屈服强度fy而控制，这是由冯·卡门在1932年提出来的[8]。

接下来，分别对不带加劲肋的板和带加劲肋的板的屈曲临界荷载及最大极限荷载进行分析。

算例I：四边简支的不带加劲肋的板。板的宽度为500mm，长度2000mm，厚度6mm，见图7所示。钢材性能：屈服强度fv=275MPa，E=210GPa，μ=0.3。

假定截面类型属于类型III，则板的宽厚比应满足：，然而实际的宽厚比：，因而截面类型属于类型IV。

由于？叟1，取k=4，则临界屈曲应力为：

屈曲临界荷载为：

采用Abaqus有限元程序计算得到其一阶屈曲临界荷载为321.0kN，屈曲模态见图8所示。

综上所述，根据经典理论，板将在超过33t的压力作用下才屈曲（即所谓的屈曲分叉点）。然而，由于初始缺陷和残余应力的存在，真实的屈曲荷载将会低于计算荷载。

然而，当板发生屈曲后，屈曲的区域退出工作，应力发生重分布而转移到外侧未屈曲的板条上，如图9所示。

根据冯·卡门假设，研究一块板的屈曲后强度，需要给出更为刚性的区域的有效宽度。

折减系数ρ为：

有效宽度为：

在获取有效宽度后，板的极限承载力为：

同样地，采用Abaqus首先进行屈曲模态分析，而后引入不同程度初始缺陷并考虑弹塑性，分析得到不同初始缺陷下板的最大极限荷载如图10所示。

由图10可见，最大承载能力从屈曲荷载的约33t（甚至更低）增长到最小约45t，与冯·卡门理论得到的计算值吻合较好。由此可见，屈曲后储备强度较屈曲临界荷载至少增长了大约36%。

算例II：在算例I板上横向间隔500mm设置一道加劲肋，纵向在板中心位置处设置一道加劲肋，如图11所示。

如果仅考虑横向加劲肋（如图11a），由于加劲肋将板等分成4个等大的矩形单元，因而每一块嵌套版的长宽比都是a/b=1，这将不会改变板的临界屈曲荷载——屈曲相关系数k，仍旧为4。对于这些无加劲肋的板，屈曲将会在这些矩形的嵌套板中形成，无论是否存在加劲肋，如图12所示。

如果加劲肋布置得更密一些的话，嵌套板的长宽比a/b就会小于1，这将会使得屈曲系数k增大。同样地，其极限荷载也等同于无加劲肋的情况。

如果在考虑横向加劲肋基础上考虑纵向加劲肋（如图11b所示），在屈曲分析基础上考虑不同的初始缺陷分析得到对应的极限荷载如图13所示。

由图13可见，由于考虑了纵向加劲肋，板的极限承载力较无加劲肋的板提高了约50%。

3  结语

本文在介绍Eurocode关于板的四种截面类型基础上，针对截面类型IV板的屈曲临界荷载及最大极限荷载进行了分析对比，得到以下结论：

①受压板首先发生局部屈曲，在屈曲区域退出工作后，外部框架继续承载直至材料屈服; ②屈曲后最大极限荷载较屈曲临界荷载提高约36%;③考虑加劲肋的板的极限承载力较无加劲肋的板有较大程度的提高。

综合而言，在由板所组成的结构中，选择一种在任意局部屈曲前就完全塑化的截面形式是不经济的，在薄壁结构中应该尽量考虑板件屈曲后的强度储备;同时，应当设置适当的加劲肋以提高板的屈曲临界荷载和最大极限荷载。

参考文献：

[1]Allen H G， Bulson P S. Background to Buckling[M]. McGraw-Hill Book Co， 1980.

[2]康孝先.薄板的曲后性能和梁腹板拉力场理论研究[D].西南交通大学，2005.

[3]康孝先，强士中.工字梁腹板拉力场理论的修正[J].西南交通大学学报，2008，43（1）：77-81.

[4]丁阳，刘锡良.《钢结构设计规范》（GB50017—2002）焊接工字梁腹板的局部稳定和考虑屈曲后强度的计算[J].建筑结构学报，2002，23（3）：52-59.

[5]Standards B. Eurocode 3 - Design Of Steel Structures - Part 1-5： Plated Structural Elements[S]. EN 1993-1-5：2006.

[6]Chin C， Albermani F， Kitipornchai S. Finite elemnt method for buckling analysis of plate structures[J]. Journal of Structural Engineering， 1993， 119（4）：1048-1068.

[7]Chatterjee S. The Design of Modern Steel Bridges， 2nd Edition[M]. BSP Professional Books， 1991.

[8]Von Karman. The Strength of Thin Plate in Compression[J]. Trans Asme， 1932， 54.

收稿日期：2020年3月10日。

基金項目：湖南省交通运输厅科技项目（编号：201615）。

作者简介：肖军（1987-），男，四川广安人，工学博士。