浅谈在三角函数中灵活运用‘1’解题

张卫峰

三角函数是高中数学教材中的一个重点内容，也是高考数学常考的知识点，也是学习地理学，物理学中力学电磁学的基础，就像张景中院士指出：“在中学数学课程中，三角函数的内容至关重要，三角函数不仅是连接几何与代数的一座桥梁，还是沟通初等数学与高等数学的一条通道。”因此掌握三角函数的恒等变形方面的技巧，不仅在考试中能够为解题节省很多时间，而且对学习数学知识和其他学科知识的学习都有着重要的意义。本篇论文只简要的从下面几个方面浅谈如何灵活巧妙利用三角函数恒等变形处理“1”并解决相关问题。

1 利用特殊角的三角函数值等于1解题

在三角函数中，有一些特殊角的三角函数值等于1，例如，，，等，下面主要以常见常考的和为例来谈运用公式解题。

1利用（）解题。

例1.化简

分析：可能会有很多同学认为这已经是最简形式，其实它还有更简单的形式——利用两角和的正切公式变化，这就需要对原式中的相关“1”用代换。

解：原式.

例2.求值

分析：第一种思路，利用代换式子中的“1”来求解;第二种思路，先根据两角和公式求的值，然后代入中求值。

解法1：===

解法2：∵==

∴====.

例3已知=，求的值.

分析：只要深入挖掘题意，找到，联想到公式=，问题便可迎刃而解。

解：∵===

∴===

例4.计算。

分析：当时，=

==2

解：原式=

=

2.利用解题.

例5求的值.

分析：由诱导公式=可得，=和===，而=1和，两个不相关的式子，通过“1”联系起来，便可对求值迎刃而解，起到事半功陪的效果。

解：===

====

2 利用含有“1”的三角函数等式进行解题

在三角函数中，许多等式中都含有“1”，例如，=1，等多个等式，但是就以最常考最常用的和=1为例来谈灵活处理“1”，进行解题。

1.利用进行解题.

例6.求的值.

分析：我们观察问题中的八个角，可以发现这些角两两互余的重要特征，便可联想到诱导公式=并灵活运用，可将问题转化到处理，问题便可轻松解决。

解：原式=

=

=

=

例7  计算

分析：此题看似老吃天，无处下爪。只要我们善于观察发现这一个重要特征，解决本题也就容易了，但当我们计算下去时会发现出现形式的式子，这样我们就会联想到诱导公式得到，从而就可得到，此问题就变得简单易懂。

解：∵

∴

例8  求证=

分析：此题中即含有正切有含有余切，要解决此问题，我们就要找到正切余切的联系点问题就变简单多了。若从左到右考虑化简证明，则是遵循化繁为简的原则，潜在的“1”是解决此问题的关键。

证明：式左=

=

=

∵式右=

∴

例9  在中，求证

证明：当为直角三角形时，等式显然成立。

当为非直角三角形时，

==

∵

∴=

∴

2利用=1进行解题

例10（2009辽宁高考题）已知，则=（   ）

A.         B      C       D

分析：利用已知條件，我们很容易想到这道题需要进行“弦化切”，因此，我们利用已知整式中分母为“1”的条件，将“1”转化为，从而进行解答。

解：

=

∵，∴，故选D

例11（2015年四川）已知则的值是__________

解：因为所以

∵

∴当时，.

例12  （2009年高考江西卷第5题）若则的值为（   ）.

（A）          （B）          （C）        （D）-2

分析  运用解题.

解析  因为，所以

∴，选（D）.

例13化简.

分析：原式分子中根号内出现的是的2倍，由此可以联想到将“1”代换为，从而可用完全平方公式。

解：原式=

例14 求的值.

分析：

解：原式

例15求证=

分析：若式子左边中的“1”用来代替，则可使式子左边的分子配方变成，再将分母分解因式，分子分母便可约分化简。

证明：∵式左=

∴

例16 已知，化简.

分析：对于含二次根式的代数式化简，主要是将根号下的被开方数配方成完全平方式，在利用二次根式的性质=进行化简。观察此题，利用进行代换.

解：原式=

=

=

=（∵，∴）

=.