基本不等式及其应用

黄星铭

基本不等式成立条件是：; 当且仅当时等号成立。所以，应用基本不等式时要注意“一正二定三相等”。“一正”是指使用基本不等式的各项必须是正数;“二定”是指含变数的各项的和或乘积必须是常数;“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大值或最小值。

一、“錯用”基本不等式，有看点

三、混合基本不等式、柯西不等式、放缩法、导数等求最值

基本不等式除了求“最值”外，还具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准用基本不等式的切入点。

四、用基本不等式探讨不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

1.恒成立问题

若在区间D上存在最值，则

不等式在区间D上恒成立;

不等式在区间D上恒成立;

2.能成立问题

若在区间D上存在最值，则

不等式在区间D上能成立;

不等式在区间D上能成立;

注意：“能成立”与“恒成立”的问题均要求出“最值”，但是所需要的“最值”正好相反！

3.恰成立问题

不等式恰在区间D上成立的解集为D;

不等式恰在区间D上成立的解集为D;

注意：恰成立问题不刻意求出“最值”，它关注的是不等式的解集要在“D”内。

基本不等式的应用广泛，运用起来要求灵活转化，要抓牢“一正二定三相等”这一成立条件。若在求解过程不满足“一正二定三相等”时，可用“函数的单调性”来求解。