反比例函数教学中的探究与应用

银集

反比例函数有很多很精彩的性质，例如在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作X轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1和S2则 S1=S2=|k|，还有反比例函数的图象既是軸对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x ，y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点，若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。设在平面内有反比例函数和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4km≥0（不小于0）等等这些都是每次考试的重点。在初中阶段教学中还经常碰到有关反比例函数与一次函数相交问题，也是中考热门话题，下面用一道练习题引入对双曲线与直线相交问题进行简单的探究.

又因为DM=NC，那我们将直线向原点平移，则线段MN不断缩短，于是存在一个点使线段缩成一个点，记为H点，此时线段与双曲线相切，根据上面的结论可得到HD=HE即点H是线段DE的中点，所以我们可以得到在直角坐标系中，直线与双曲线相切时切点是该直线被两坐标轴所截线段的中点，

以上结论在双曲线与直线的两个交点在同一象限内时成立，如果两个交点分别在不同象限时是否依然成立？直线与双曲线在不同象限内分别有一个交点时，我们也可以利用下面的方法证明。如图（2）所示，一次函数与反比例函数图象交于M，N两点上，点C，D分别是直线与y轴与x轴的交点。

设反比例函数关系式为：且则一次函数关系式为，过N点分别作y轴与x轴的垂线垂足为点B点F， 过M点分别作y轴与x轴的垂线垂足分别为点E点A.利用方程思想可以得到：

综上所述我们可以得到：如果一次函数与反比例函数图像在同一坐标系内有两个交点分别为点M，点N，则MD=CN即 Rt△AMD≌Rt△BCN。我们可以利用这个结论解决问题。例如：

又因为一次函数K=-1，所以△AED是等腰直角三角形.

数学的世界是精彩的，充满挑战的，我们遨游在精彩的数学世界里不能进宝藏而空返，当然这次探究还有很多不成熟的地方，相信双曲线与直线相交图形中的精彩性质远不止这些，这需要我们进一步探究。

参考文献

[1]徐若翰.研究双曲线与直线相交. 中学生数学.22期，2010年

[2]虞彩霞.双曲线中的一个有趣结论.中学大世界.07期，2009年

[3]盖仕广.一次函数的一个有趣性质 .数学教学.01期：32，2011年