浅谈列基尔霍夫回路电压方程的简易方法

摘 要：分析了目前大多数电工教材中讲解、使用基尔霍夫回路电压方程的不足，利用电位升降的观点来解释基尔霍夫回路电压定律，把比较电压方向及电动势方向的问题统一到确定电位升、降的问题上来，直接从电路中任意一点出发，按任意方向绕一周回到起点，则按照电位升取正、电位降取负的原则，直接列出方程，使得基尔霍夫回路电压定律理解起来更简单，使用起来更方便。

关键词：基尔霍夫回路电压定律;ΣU=0;电位升降

1    回路电压定律的内容

基尔霍夫回路电压定律的内容是：在电路的任何闭合回路中，各段电压的代数和等于零。表达式为∑U=0。从本质上来说，基尔霍夫回路电压定律的内容是很容易理解的：当从电路的任意一点出发，沿任意路徑绕行，必然伴随着电位的升高和降低，当绕行一周回到起点构成一个闭合回路时，由于同一瞬间电位的单值性，同一点电位必然是相等的，则电位升、降的代数和必然为零。

2    问题的提出

基尔霍夫回路电压定律的应用主要是列回路电压方程。按照表达式∑U=0，方程的右边等于零不用考虑，关键是方程的左边∑U，即电压的代数和如何列。各段电压的表达式也好办，对无源器件无非是应用欧姆定律U=IR，对电源直接应用其电动势E，但现在不容易确定的是各段电压谁取正谁取负，即哪些电压应采用加法、哪些电压应采用减法不太明确。为了解决这个问题，人们又提出了定律的另一个表述方式：在电路的任何闭合回路中，其各个电阻上电压的代数和等于各个电动势的代数和。表达式为∑IR=∑E。列方程步骤如下：

（1）首先选定各支路电流的正方向。

（2）任意选定沿回路的绕行方向。

（3）比较电阻上电流正方向与绕行方向是否一致，若一致，则该电阻上的电压取正，反之取负。

（4）比较各个电动势的正方向与绕行方向是否一致，若电动势方向与绕行方向一致，则该电动势取正，反之取负。

例如，如图1电路所示，如何列出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个回路的回路电压方程呢？

解：（1）首先选定各支路电流的正方向，如图1所示。

（2）任意选定沿回路的绕行方向，如图1所示。

（3）利用∑IR=∑E列方程。对回路Ⅰ有两个电阻、两个电动势，分别比较绕行方向与两个电阻中电流方向是否一致，再分别比较绕行方向与两个电动势方向是否一致，列方程如下：

回路Ⅰ：I1R1+I2R2=E2-E1。

同理对Ⅱ、Ⅲ回路：

回路Ⅱ：I3R3+I4R4-I2R2=E3-E2-E4。

回路Ⅲ：I5R5-I4R4=E4。

问题到此似乎已经解决了，但仔细分析就会发现，这种方法是通过确定电流、电动势、绕行3个方向，并反复比较3个方向的关系来确定各段电压的正负的，非常麻烦，学生掌握起来也确实有一定的难度，而且需要学生的物理概念非常清楚：电动势的方向与电压降的方向是相反的，即电动势的方向是从电动势的负极指向正极。

上述方法使用起来至少有3处不方便的地方：

（1）需选择绕行方向。

（2）对电阻而言，电流方向与绕行方向一致，电压取正，反之取负，即取电压降为正;而对电动势而言，电动势方向与绕行方向一致取正，反之取负，即取电压升为正，一升一降，不便理解记忆，并且个别学生对电动势方向的正确判定并未很好地掌握。

（3）列方程分左右两边，则绕行时至少需绕行两次，并且是跳跃式的，容易遗漏。

由于步骤较多，规定复杂，不便理解、记忆，所以基尔霍夫回路电压定律一直是学生很难逾越的难关。那么，有没有更好、更简便的解决方法呢？

3    解决问题的思路

基尔霍夫回路电压方程中包含了无源器件（如电阻）的电压，也同时包含了电源的电动势。

由于电阻的电压正方向规定为电压降的方向，电动势的正方向规定为负极指向正极，即电压升高的方向。两个方向一升一降，如果同时放在方程的左边，则列出的方程是错误的。如果放在方程的左右两边，则又会造成上述步骤多、不易掌握的缺点。

利用电位升降的观点就可以轻松地解决这个难题：两点间电压又叫作两点间电位之差，即UAB=UA-UB，如果A点电位UA大于B点电位UB，则UAB为正，反之UAB为负。

可见电压的正负与两点间电位的变化有关，两点间电位的变化只有两种情况：电位升高和电位降低。

按照这个思路，就可以把确定电压正负的问题转化为确定电位升降的问题。按照人们的习惯，电位升高即为正，电位降低即为负。那么现在的问题就是：确定电位升降的方法是什么？是否足够简便？

众所周知，在电路中，对无源器件如电阻，电流总是从高电位流向低电位（类似水流），即沿电流方向电位降低，逆电流方向电位升高。则顺电流方向电压取正，逆电流方向电压取负。而对电动势来说，每个人都知道：电源的正极电位比负极电位高。则从电源的正极到负极，电位降低取负;从电源的负极到正极，电位升高取正。这样，把确定电压方向和电动势方向的问题统一到确定电位升、降的问题上，不需要再选择回路的绕行方向，不需要再明确电压和电动势的正方向是如何规定的，直接从回路的任意一点出发，沿任意方向绕行，每通过一个器件就按上述方法确定是电位升高了还是电位降低了，升高取正号，降低取负号，并把得到的带有正负号的电压统统放到方程的左边，方程的右边一定为零。

4    解决问题的步骤

我们仍然使用∑U=0这个公式。对任意待求电路来说，按照回路电压定律，从电路任意一点出发，沿任意方向绕行一周，电位升高和降低的代数和为零。首先仍然需要选定各个支路的电流方向，不需要再选绕行方向，也不需要再明确电动势的方向，直接从电路中任意一点出发，按任意方向绕一周回到起点，则按照电位升取正、电位降取负的原则，直接列出方程。

同上例，分别列出图2所示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个回路的回路电压方程。

解：回路Ⅰ：-E1-I1R1-I2R2+E2=0;

回路Ⅱ：-E2+I2R2+E3-I3R3-I4R4-E4=0;

回路Ⅲ：E4+I4R4-I5R5=0。

可见，所列方程与前面所列完全相同。该方法基本克服了原方法中的缺点，其优点如下：

（1）无需选择绕行方向，只要绕行一周，怎么绕、从哪绕都可以;

（2）无需进行两个方向的比较;

（3）只需绕行一次即可。

5    结语

综上所述，基尔霍夫回路电压定律用电位升降的观点来解释，思路十分清晰，具体使用起来也不复杂，掌握起来十分简便。从笔者的教学实践来看，原来需多次讲解、反复练习的基尔霍夫回路电压定律，经一次课讲解、练习，绝大多数学生都掌握住了，较之以前，效果好了，效率也提高了。

收稿日期：2020-03-30

作者简介：王继先（1969—），男，河南开封人，工程硕士，高级讲师，主要从事工业电气自动化方面的教学和科研工作。