当代逻辑：家族相似性

朱建平

内容提要 在过去两个世纪的时间里，逻辑学取得了令世人瞩目的进步。逻辑从一门研究具体推理模式——三段论，以及以定义、谬误和悖论为主题的古老学科，发展为一门以演绎推理的形式系统为核心，以对科学和日常概念、对语言的推理论证结构进行分析和评价为目标的现代科学。逻辑的应用也从哲学和自然语言的传统主题扩展到数学、语言学、计算机科学、人工智能、认知科学，甚至经济博弈论等众多领域。人们见证了逻辑指数般的高速增长，见证了基本逻辑的发展以及在实践领域的广泛应用。

关键词 当代逻辑 逻辑的多样性与统一性 家族相似

〔中图分类号〕B81—09 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕0447—662X（2020）06—0020—06

一

随着“逻辑”这一概念涵义的巨大变化，历史上人们对逻辑的任务和目标的看法也已经发生了很大变化。在这种情况下，人们自然希望知道——例如，亚里士多德和弗雷格是否对共同的研究对象感兴趣，他们所谈论的是否是一个共同的研究领域。透过逻辑史，人们会发现，当代逻辑学科是一个高度多元，同时又高度和谐的领域，逻辑从业者既可以有广阔的研究题材和领域的选择，同时，也可以毫无困难地识认出那些在精神和气质方面属于逻辑的研究和他们的同僚。作为一名逻辑的从业者，我们注意到有一个宽广的视角——通过考察主要逻辑概念和逻辑系统的演变有助于引发逻辑的和谐性：尽管差异存在，但我们仍然可以谈及某些共同兴趣之所在。正是它们的存在证明了作为一个统一学科的逻辑以及与之相关的学科（如逻辑哲学和逻辑史）研究领域的合法性。

在逻辑史的不同时期，逻辑学家的兴趣始终是在那些非经验的，即那些意义并不是或者至少并不是无可置疑地建立在感觉经验基础之上的，能够被称为逻辑的概念或词汇方面。尽管在哪些术语或者词汇属于逻辑的这一问题上，历来就存有争议，而且随着逻辑的发展，争论的对象、焦点和方式也不断地改变，但不论是亚里士多德、波爱修、阿伯拉德、奥卡姆，还是波尔扎诺、康德、弗雷格和塔斯基，他们对什么是逻辑词汇（例如，范畴词和非范畴词的区别），什么是逻辑后承（如亚里士多德对后承关系的模态刻画、波尔扎诺对变量代入的处理，当代模型论句法学和语义学的刻画，以及不同形式系统对逻辑后承的不同要求），以及什么是逻辑真理等核心问题的兴趣始终未变。

然而，事情并非那么简单，无可否认的是，近二百年逻辑的迅速发展已经达到一个临界点，特别是人工智能对逻辑的巨大需求，以及这种逻辑的新颖性和反传统性，已经完全颠覆了已有的固定的逻辑版图，逻辑日程表的制定者已经由大学的哲学教授转变为数学家，并且目前又被人工智能学者所取代。考虑到他们的教育背景，留意他们做逻辑的方式，阅读时下的逻辑杂志，或者参加一次国际会议，与当代活跃的逻辑专家对话和交流，你就会发现当代逻辑的触角已经伸展到语言与认知各个方面，例如逻辑已经着手研究“在动态环境中规划理性的行动，或者为可移动的机器人建造常識推理”。对逻辑的理解也开始出现明显的分化：哲学家认为逻辑是哲学的一部分，但大多数数理逻辑学家否认这种说法，他们认为逻辑是数学的一部分，而当代人工智能学者则热衷于智能人的知识表征，倾向于逻辑与认知科学的联系。当代逻辑如同一个冒险故事，正行走在不同学科之间充满岔路的小径上。更重要的是，它的探险才刚刚开始。我们只知道它有悠久的历史，但没有人知道该如何评价它的现在，它的未来又是怎样的，它将走向何方。想一想亚里士多德的逻辑完整无损地存活了2000余年，最后能做到全身而退，在现代社会看来这真是一个童话。

相比上文的颠覆性，本文的目标则小得多：试图在逻辑历史演进的脉络中，通过梳理历史上出现的主要逻辑类型，从而对逻辑的一元论与多元论、经典逻辑与非经典逻辑的关系，以及不同逻辑分支之间的发展界限做一番宏观的考察。

二

亚里士多德的《前分析篇》产生了历史上第一个演绎逻辑类型——三段论的逻辑，他同时也规划了归纳逻辑的相关事宜。这样，从逻辑诞生的那天起，就为不同类型的逻辑发展埋下了伏笔。事实正是如此，仅在希腊化时期，麦加拉学者狄奥多鲁·克鲁努斯和他的学生费罗就发展出一种迥异于亚里士多德的逻辑。他们的影响导致了斯多葛学者克里西普斯的命题逻辑，这种逻辑以命题而不是词项为基本元素。至此，演绎逻辑的不同类型开始出现。后者以其新颖的推理类型和丰富精致的语义学创新而与亚里士多德的逻辑呈鼎足之势。以至于斯多葛逻辑是否受到漫步学派的影响成为逻辑史热议的话题。

亚里士多德的词项逻辑与斯多葛的命题逻辑一度被看作是不相容和彼此竞争的。早在盖伦时期，逻辑学家就意识到亚里士多德和斯多葛的逻辑都不能充分分析一些有效论证。但后来的注释家和教科书作者将二者合并为传统逻辑。传统逻辑主要由三段论和某些命题逻辑（如假言推理的肯定前件式和否定后件式、析取三段论）以及非形式逻辑、谬误和定义等部分组成。

中世纪逻辑贯彻继承了亚里士多德和斯多葛逻辑的基本框架，其他的那些进步则主要是通过扩展古代逻辑概念的方式而取得的。例如，亚里士多德并不允许量化谓词短语。他引用例如“Every mall is every animal”的不合法性来论证他的观点，因为这不是一个真命题。但是“No mail is every animal”是真的，它有一个量化的谓词。而中世纪逻辑学家开始自由地使用这种形式。他们也开始构造一些涉及整个谓词的否定句等等。一旦一个单称词项被允许出现在过去只有量化的普通名词允许出现的地方，一旦等同的可传递性的例子能够被用公式表达，它也会被承认是逻辑有效的原理。所有的这一切导致一个丰富的逻辑系统的诞生，这一系统能够从少数基本的逻辑原理导出其他众多的命题。

中世纪逻辑是在自然语言——拉丁语中阐述的，这其中除了语法形式之外，没有逻辑形式。逻辑学家们基本上是通过规定拉丁语是如何被理解的方式而从事逻辑的研究，例如，语词的表层次序决定着它们的语义学范围（或辖域）。这一特点影响到整个理论——从起点到终点——的发展。的确，中世纪逻辑有某些人工自然语言的味道，在中世纪这种语言已不是任何人的母语。作为第二语言，任何一个人都需从学校中来学习。然而，就我们的目的而言，重要的是，它有一种自然语言的语法结构。

除了有效推理规则的集合，以及关注这些规则的学科和科学之外，“逻辑”一词还意味着满足某些精确性要求的特定的言语。它也意味着关注这种语言或这类语言研究的一个领域。自19世纪以来，这样一个构造和研究形式语言的研究领域典型地被称为逻辑。

三

符号逻辑就是这样一种逻辑。符号逻辑的开拓者致力于建构一种比自然语言更精确的人工语言。在20世纪那些被称之为逻辑的语言已经作为自然语言的模型被加以使用。新逻辑以一种更精确而又开阔的方式取代旧逻辑，成为语言分析和研究的工具。但应当指出，诸如莱布尼茨和弗雷格这些现代逻辑的开拓者并没有将逻辑作为自然语言研究工具的意图，反之，他们希望建构一种更精确、缺乏自然语言典型具有的模糊性作为思想媒介的人工语言来代替自然语言。

尽管符号逻辑（在数学中有其模型）直到19世纪才出现，但它很快就成为亚里士多德逻辑的主要竞争对手。后者认为自然语言反映推理和其他逻辑关系的逻辑形式，甚至反映实在的形式。传统的判断语法分析模式在19世纪末期遭到从数学中获取分析模型的数学家们的挑战。“函数”和“论元”（主目）成为逻辑词汇的一部分，表达关系的谓词和量词也进入到逻辑词汇表。在这种由弗雷格和皮尔斯所发展，由怀特海（Whitehead，1861-1947）和罗素在他们的《数学原理》中编辑加工的新逻辑中，逻辑推理规则获得新的处理，作为现代逻辑的开拓者，他们试图在人工语言中对这些规则给出严格而清晰的阐述。

至此，产生了逻辑史上的主要分水岭，我们由此见证了亚里士多德逻辑的三段论被一种表达上更为灵活、演绎上更为明晰的图形语言所取代。这是概念上的革命，但逻辑的目标没变，逻辑仍是和谐的。

符号逻辑是演绎思想的一个数学模型，如同现代概率论是涉及几率和不确定性情况的模型一样。实际上，我们能够呈现两种模型。第一是语句逻辑，一个非常简单但也是對演绎问题的解决很不充分的逻辑。它仅仅保留了真实生活中演绎的某些粗糙的性质。第二个是一阶逻辑，一个适宜于数学中的演绎问题的逻辑。这里的模型可理解为：当一个工作着的数学家断言一个特定语句从一阶逻辑系统或集合论的公理中推出，这位数学家意味着这一演绎是模型中的一条定理，或能够在模型中被翻译。

因逻辑概念的过度使用而引起的混乱发生于20世纪初的德语区，逻辑在一个比今天宽泛得多的意义上来理解。逻辑的问题与哲学、认识论、本体论、心理学和语言学彼此联系得非常紧密。其结果是，哲学家、心理学家和语言学家都写逻辑著作。按照现代的标准，这些著作充其量可算作是逻辑哲学的研究成果。

与德国哲学家试图通过引入心理学概念或者通过将它表达为一门“科学的理论”而修正传统逻辑形成鲜明对比的是，英国和德国的数学家却试图通过引入数学概念和思想，从而实现对逻辑的一场彻底的改革。然而，关于新兴数理逻辑的本质并没有一致的看法。这个新的逻辑领域被称为“逻辑代数”“逻辑斯蒂”“代数的逻辑”和“数理逻辑”。

数理逻辑是探讨形式逻辑在数学中应用的一个数学分支。它与元数学、数学基础和理论计算机有密切联系。数理逻辑统一的主题包括形式系统表达力和形式证明系统的演绎力量的研究。数理逻辑被划分为集合论、模型论、递归论和证明论等领域。这些领域共享逻辑，特别是一阶逻辑和在计算机科学中的可定义性的基本结果。

数理逻辑有时可与符号逻辑交换使用，有时它被用于指称那些数学家而不是哲学家更感兴趣的符号逻辑的某些领域。现代逻辑的创立者对数理逻辑的兴趣在于他们希望搞清楚数学家在他们作证明时到底预设了何种逻辑原理，他们也思考了算术是性质，以及它们能否被归结为逻辑的问题。数理逻辑出自严格的数学分析的愿望，它们给予建立在集合论基础上的带有量词的谓词逻辑和关系逻辑，以及详细地架构定义和实施证明的方法以重要地位。

符号逻辑或数理逻辑也被称为现代逻辑。自亚里士多德以来，逻辑一直是哲学的一部分。大约自1850年以来，数学家布尔发展了现代符号逻辑。在20世纪，逻辑仍在哲学系内被继续，但它的主要推动力已转向数学、计算机科学和人工智能。现代逻辑是一种令人着迷的混合物，它运用数学来理解数学推理，现代逻辑比亚里士多德的三段论更灵活，它完全能够处理概率和不确定性的世界，这是科学的真正目标。逻辑并不是对科学揭示了的世界的限制，而是探索可能性不可或缺的工具，在这个意义上，它是自由文明和自由思想不可或缺的要素。

演绎逻辑又可划分为经典逻辑和非经典逻辑。经典逻辑并不是指古代逻辑或古典逻辑，也非指亚里士多德的逻辑。从历史上看，它源于19世纪布尔和德摩根的工作以及皮尔士的工作，然而，它的发展和成熟却是在弗雷格和罗素、怀特海的开创性工作之后。经典逻辑赋予语言、真以及后承关系最简单的假设，因而是一种最强的逻辑。它涵盖了命题和量词逻辑，经典或标准逻辑在关于何种论证是有效的处理方面与弗雷格和罗素的系统是一致的，而在符号化和证明的技术方面则存在着差异。

“非经典逻辑”是经典逻辑的扩展逻辑或异常逻辑系统。从逻辑史的角度看，“非经典逻辑”首先是被两种力量——哲学和数学所推动或是其相互作用的结果。

哲学的扩展：哲学扩展的结果是一系列建立在经典逻辑基础之上，并与经典逻辑原则不相矛盾的哲学逻辑系统的出现。这些系统通过增加新的非外延（非真值函项）概念（算子）而大大增强了经典语言的表达力。主要逻辑系统包括价值论逻辑、模态逻辑、信念逻辑、道义逻辑、命令句逻辑、无穷逻辑、部分整体逻辑、问题逻辑、二阶逻辑、时态逻辑和认知逻辑。虽然经典的扩展受到哲学动机方面的支配，但它的应用和影响已远远超出了哲学而进入到计算机科学、人工智能、计算语言学，甚至经济学博弈论等广阔领域，成为最为活跃而多产的一个领域。

数学的扩展：数学的扩展是建立在经典逻辑基础之上，并与经典逻辑的原则不相矛盾，基于数学的兴趣而发展起来的一种逻辑系统。它们包括算术和几何的公理化，以及高阶逻辑和集合论。集合论和高阶逻辑更像是数学而非逻辑，但由于二者对现代逻辑的研究极为重要和关键（哥德尔的不完全性定理就是关于包括高阶逻辑和集合论在内的经典逻辑的重要结论），人们把集合论作为逻辑的一部分。

异常逻辑：异常逻辑（又被称为“择代逻辑”）是基于对数学推理和后承关系的思考而提出的一种本质上不同于经典逻辑的系统。它们包括自由逻辑、直觉主义逻辑、多值逻辑、超协调逻辑、相对同一的逻辑和相干逻辑。异常逻辑主要对经典逻辑关于“真”或“后承”概念提出挑战。例如，对排中律（“每一句子要么真要么假”）和有效性仅由真假关系决定的经典逻辑的基本原则提出挑战。例如，直觉主义逻辑对“真”和逻辑联结词及逻辑算子的意义有不同理解。

即便我们取狭义的演绎推理作为我们关于“逻辑”一词的基本涵义，在其中仍有一些容易引起争议的问题。蒯因表明，我们将逻辑限定于经典符号逻辑，是因为在他看来，这部分内容的逻辑所关注的是诸如“并且”“或者”和“并非”这种出现于每一学科领域中的题材中立的词项，因而基本上是没有争议的。而像诸如模态逻辑、道义逻辑这些关于逻辑的哲学扩展，如果它们是合法的，那么它们应被视为哲学的一部分。像集合论和算术的公理化扩展是数学的一部分，而异常逻辑是非法的。

大多数当代逻辑学家倾向于使用一种广义方式下的逻辑概念。演绎逻辑通常被认为除了包括经典符号逻辑和传统三段论逻辑之外，还包括逻辑的哲学扩展（如模态逻辑和道义逻辑）异常逻辑，甚至有时包括它的数学扩展（如集合论）。逻辑被视为至少是三学科——哲学、数学和计算机科学的部分，它们分别从不同角度处理逻辑问题。任何企图给出“逻辑”词项一个清晰和终极边界的做法都过于人为。

然而，逻辑的多样性所导致的问题很快就显现出来：后来继起的逻辑系统与在先的逻辑（这里主要指标准经典逻辑）系统的关系是怎样的？新近逻辑的殊异性应用和不同的形式系统是如此的引人注目，以至于它们很快被赋予一专门名称——“择代逻辑”。

四

择代逻辑的产生和发展由外部和内部两种因素促成。长期以来，尤其是近一个世纪以来，逻辑面对着的不仅是诸如数学、哲学，甚至还包括物理学、计算机科学、经济学或者语言学等相邻学科的发展。其结果是逻辑必须反映这些不同学科的不同推理所带来的新思想、新关切和新的逻辑实践。例如，现代认知和动态逻辑从信息、计算和行为等超出经典的基本关切方面获得了主要的原动力。次协调逻辑起源于对人类实际论证的严肃关切，而非单调推理反映了人工智能领域常识推理的基本特征。除了这些外部的影响之外，逻辑议事日程和对经典问题与结果的评价方式的改变，说明来自逻辑领域的内部动力也是不可忽視的。例如，直觉主义逻辑反映了对“判断”与“真”的不同于经典逻辑的理解，相干逻辑产生于对经典后承关系的批评，而更早期的多值逻辑则提出了一种对亚里士多德的二值逻辑导致宿命论的解决。在这一多值思考的背景下，经典逻辑作为多值逻辑的一个特例而存在。

但在众多逻辑系统之中，哪些是“择代逻辑”（alternative logic，又称非经典逻辑或变异逻辑），哪些是经典逻辑的扩展，这之间的界限并不是十分清楚。而且这一用法本身会带来诸多的误解。在某些当代逻辑学家的眼中，现代逻辑系统的多样性只是标志着逻辑学科健康发展的一种自然状态，并不意味着是用一种或者几种逻辑替代另一种逻辑，或者彼此之间的相互竞争。但在另一些逻辑学家看来，经典和择代（或变异或非经典）逻辑之间却是一种真正的相互竞争的关系。

即便竞争关系存在，这些择代逻辑之间也不是互斥的，而在某种程度上是互补的。例如，真势模态逻辑可以与道义逻辑或者认知逻辑等很好地结合，最终是希望能够表达和分析混合模态论证和断定（例如“应该”蕴涵“可以”）。也可以发展相干或者直觉主义模态逻辑，使那些关于后承关系的观点与模态词的研究相融合，就像相干直觉主义集合论与高阶逻辑所做的那样。然而在每种特定逻辑中，人们也会面对大量不同的逻辑系统。存在着无数的模态逻辑系统——其实大多数逻辑系统也许只有数学意义。即便如此，也有许多系统具有重大的哲学意义。它们都是正确的吗？能够选出一种真正刻画“必然”的逻辑吗？尽管有许多模态逻辑，但是在前几年有一位逻辑学家认为S4是真正刻画了“必然”的逻辑系统，现在都承认该规律，然而直觉主义逻辑和多值逻辑都否认它，那么这条逻辑规律到底是真的还是假的呢？如何回答这个问题就好像迫使人们在倾向于一种逻辑而远离另一种逻辑之间做出选择。经典逻辑与直觉主义逻辑都承认“真值蕴涵怪论”推理模式的有效性，它的意思是矛盾蕴涵一切，即如果P且非P，则Q。然而这正是相干逻辑所反对的。它不能被两种逻辑所确认。一种逻辑认为它是对的，另一种逻辑认为它是错的。

面对择代逻辑的兴起，以及由之产生的不同逻辑系统问的评价问题，人们会在不同的层面不断地追问，是否存在着一种真正刻画后承关系的逻辑系统，而各种不同的逻辑系统在刻画后承关系这方面究竟是一种什么关系。显然，简单地归结为竞争关系是过于简单。问题本身可能是繁杂的，需要复杂的和复合的处理。例如，再考虑一下模态逻辑及其那么多有意思的系统。也许人们认为每一个系统都刻画了“必然”的一种不同的含义，因此它们之间实际上并不是竞争关系。同样，关于排中律人们可能会说经典逻辑学家和直觉主义者处理的仅仅是基于不同的析取和否定概念。因此，这再次说明，这里并没有真正的分歧。也许所有的逻辑系统都可以组成一个综合体，并且它们都是正确的。另一方面，这种一般性精神也许符合一些人的想法，但人们却怀疑这种思想歪曲了不同的逻辑所运用的方法和它们各自必须表达的观点。然而也有其他的答案，即允许多种逻辑同样正确，它们更多地是相互补充而不是相互竞争，没有多种“必然”概念，或者更重要的是没有多种“逻辑后承”概念。然而这些前理论的概念是如此地多变，以至于不可能用单一的逻辑系统来刻画。

五

总之，以择代逻辑为代表的各种非经典逻辑的出现乃是人类理智发展史上驱动逻辑变革的那些因素，在具体历史环境中，对它们所面临的逻辑发展中所遇到的问题，进行理智反思的结果。从这种意义上人们可以认为，现代逻辑是由许多背景不同、目标迥异，但又相互联系的思想家群体合力促成，这种异质因素决定了逻辑不存在一种通用的，或唯一合法，或可以作为其他逻辑的仲裁者的逻辑系统，甚至在可预见的将来也不可能会出现。但逻辑并未就此失去它引以为傲的和谐性，一种相互联系的“纽带”一直存在，历史上有过几次成功的整合，而当代逻辑的一个大趋势是通过算子表达的完全性，以及不同算子的组合方式，将逻辑在更大规模或更高层次上潜在地整合。我们虽然不能预知未来逻辑的发展，但我们深信逻辑发展的强大动力一方面来自于语言和思想的世界，而这个世界正被计算机、人工智能和认知科学所塑造，逻辑适逢其时地参与其中，就像它已经在语言学中通过形式语义学的方式，在认知科学中通过博弈论的方式，在科学哲学中通过省缺逻辑的方式，镌刻下自己的名字一样，它也必将在新一轮的整合中以一种新逻辑诞生的方式为这种整合刻下自己的名字。另一方面的动力来自于逻辑自身的技术发展，当技术发展达到一定水平，它们似乎也就具备了自我更新、自我校准——如同有自己目标一样有自己的前进逻辑。如同逻辑发展的不同传统各自贡献的基本概念和希望达到的最终目标虽然不尽相同，但也许正是这种混合交错的力量使现代逻辑成为最强大、最具生命力和最具可应用性的逻辑。

最后，从逻辑的历史发展来看，与其将逻辑的这种变化看作是科学理论进化和科学革命的一个特例，不如将其理解为如戴尔·杰凯特（Dale Jac-quette）所谓的后期维特根斯坦式的“家族相似性”。她说：“按照这种理解，不存在一个通用逻辑或者通用的逻辑概念，而是存在某种更像在不同逻辑之间的……家族相似性的东西……由此我们能够理解不同种类之间的逻辑之间的概念上的内在联系，并且还能洞悉它们在历史谱系上以及主题上的内在关联……逻辑就像一个城市有中心和郊区一样，在不同的方向上蓬勃发展，以服务于表达性与推理性的不同需求，但并没有结合成一个单一超级系统的期望。”

责任编辑：王晓洁