基于膜理论的细胞压痕力学模型

王 悦 徐献忠 刘 铭 刘梦云

(郑州大学力学与安全工程学院，郑州450001)

细胞是构成生物体的基本单位，也是能够产生力的主动力学系统[1]。在生物体成长的过程中，细胞不停地承受由外部环境或内部环境引起的力学刺激，并通过改变自己的生物学行为(例如生长、分化、信号转导、基因表达和细胞外基质产生的改变等)来对这些刺激作出积极的响应。当力学刺激超过细胞的适应能力时，会导致细胞损伤、病变或死亡。因此，研究细胞的力学性能，对于理解细胞的结构和功能，探索细胞行为内在机制具有十分重要的意义。

过去几十年，许多学者已经对细胞的生物力学特性进行了大量的探索研究，特别是单细胞的力学信息越来越受到重视[2-5]。通过对不同种类单细胞的监测和实验，得到形态结构、物理特性的变化，从而为量化药物、检测和识别细胞提供了有价值的见解[6-8]。事实上，在微观尺度对种类繁多且形态各异的细胞进行研究是一个较大的难题。随着科技的发展和研究的深入，人们建立了一系列实验方法和力学模型来对细胞的性质进行表征。常用的实验方法有微吸管、光镊、磁镊、光学展宽器、原子力显微镜等，可以在纳米尺度上对单细胞进行操作。力学模型大致分为微结构模型和连续介质模型两大类，分别从不同角度解释细胞的力学响应，并将其转化为数学表征。虽然如此，在关于细胞变形行为的解释，细胞膜表面的应力应变分布，不同细胞力学特性参数的对比等方面，这些实验模型仍然存在着诸多不足和挑战。因此，本文基于细胞膜结构理论和细胞压痕实验提出了一种可用于分析细胞压痕实验中变形的力学模型，并根据几何相似性原理，通过宏观球体压痕试验对模型进行了模拟和验证，从而为单细胞的生物力学研究提供一种新的思路。

1 理论模型

细胞主要由细胞膜、细胞质、细胞核以及其他细胞器组成。当细胞受到力学刺激时，各个组成部分都会产生机械抵抗进而形成整体的力学响应。然而，机械力从细胞膜传递到细胞质、细胞核以及其他细胞器的过程是动态且复杂的，目前对其内在机制的理解还不够清晰。

在单细胞力学特性研究中，压痕实验是应用较为广泛的测量方法。由于细胞小而柔软，压头或探针常常被设计成球形，以保证实验过程中细胞不受到损伤。在对压痕实验数据进行拟合分析时，Hertz模型形式简单，应用较为广泛。例如，吴志超[9]用自制的小球探针在液态环境下对转移性不同的肺癌细胞进行了纳米压痕实验，并利用Hertz 接触方程对实验结果进行了非线性拟合，研究了细胞的力学特性参数对癌变转移的影响；Nguyen等[10]利用原子力显微镜(atomic force microscopy, AFM)研究了单个软骨细胞的黏弹性特性，探讨了细胞内液体对细胞力学响应的重要作用。然而，该模型基于一般工程材料的均质线弹性和小应变假设，无法充分体现细胞的力学特性，且由于压痕深度与细胞高度相差不大，数据的拟合还会产生较大偏差。由于许多悬浮细胞、刚传代的癌细胞[11]、软骨细胞等都呈球状，可将细胞简化为一个内部充满液体，外部由不可压缩、均质、各向同性的球形膜包裹的实体。根据生物膜的结构及常用处理方法[12]，我们假设：(1) 细胞呈球形，变形前后均为旋转对称体。(2) 细胞膜由不可压缩、均质、各向同性的材料组成，变形前厚度均一。(3)细胞质不可压缩，即细胞体积不变。因此，在本文的细胞模型中，细胞膜的材料属性是可变的，对于压痕深度也没有明确的限制，更贴近于压痕实验中细胞的真实情形。

为了模拟细胞的变形，我们首先取出一个微分膜单元(图1)进行受力分析，柱坐标(ρ,η,ϕ)用来定义膜变形后的形状[13]。xm和xc是该膜单元的主轴；s是沿着经线方向的弧长；θ表示膜表面任意一点的法线与η轴的夹角。Rm和Rc表示主曲率半径；Tmm和Tcc表示主张力；Tmc是剪切力；σm和σc是膜单元在xm和xc方向上受到的净剪切应力；P是作用在膜单元法线方向上的净压力。

图1 膜单元的受力分析

对于生物细胞而言，其半径通常远大于膜的厚度，由板壳理论可知，当膜厚很小时，弯曲刚度对变形的贡献可以忽略。当微分膜单元平衡时，其在三个垂直独立方向上的合力为零，即

其中，m，c，n分别表示膜单元在经线，纬线以及法线方向上的相应分量。代入关系式dxm=ρdϕ以及dxc= ds，可得轴对称膜的平衡方程为

在细胞压痕试验中，力通常对称加载到细胞表面上。此时，σc和Tmc都为零，从而上述平衡方程可以简化为

其中，Tm和Tc为主张力；Km和Kc为主曲率。主张力依赖于所选择的表征细胞膜属性的本征材料，且可以表示为细胞形状以及材料特性的函数，主曲率取决于细胞的形态，因此，求得细胞的形态变化是描述细胞膜应力变化的关键。

图2 为细胞变形前后的几何模型示意图。我们用球坐标(r,θ,ψ)来描述细胞变形前的形状(细实线部分)，用柱坐标(ρ,θ,η)来描述变形后的形状(粗实线部分)，根据几何关系可得

式中，γ为球心连线与η轴的夹角；ρB为细胞与基底的接触半径；RJ是以J点为球心的球体半径；ηE是E点在η轴上的坐标距离。压痕深度(等同于细胞在竖直方向上的整体变形)与细胞结构尺寸之间的关系可表示为

式中，h为压痕深度；R为细胞初始半径；r为球形压头半径。变形前的球形细胞体积为

由旋转对称可得变形后的细胞体积

其中，V1，V2分别为平面图形ABCDK与EDGF绕η轴旋转构成旋转体的体积；V3为压头底部球缺的体积。

图2 压痕试验过程细胞整体变形的几何模型

根据细胞体积不变假设，式(10)与式(11)相等，联立式(7)∼式(14)即为细胞变形的方程组。在具体条件下给定细胞初始半径R和压头半径r，求解可得细胞的几何尺寸变化。

根据变形前后坐标的定义有

主 曲 率Km和Kc以 及 主 伸 长 比λm和λc可 以 表述如下

其中，撇号在文中均代表对角度ψ的导数，符号“±”应确保相应值为正。

在图2中，施加外力的AB和EL段定义为接触区，其他区域如BC，CD，DE段称为非接触区。对于AB段，接触面为平面，则需满足

对于EL段，接触面为压头的球冠，需满足

由于力平衡，接触区的净压力P等于零，在式(20)成立的前提下平衡方程式(6)自动满足，但方程式(5)仍然有效。不考虑压头与细胞膜之间的摩擦，也就是σm=0。联立方程式(5)和式(6)，式(16)∼式(21)，最终可得接触区AB段的控制方程为

接触区EL段的控制方程为

对非接触区有

其中，“+”用于BC和CD段，“−”用于DE段。控制方程式(22)∼式(28)中，δ=λcsinψ，f1=∂Tm/∂λm，f2=∂Tm/∂λc，f3=Tc−Tm。在具体条件下，给定细胞的材料特性，由细胞的几何模型计算得到细胞的几何尺寸，从而确定控制方程的边界条件及中间点的值，再利用标准四阶Runge–Kutta法即可求解得到细胞的变形，细胞内的压力，细胞膜表面应力及张力分布等信息。特别的，压痕力可以表示为

由此可以得到力–变形曲线，不同的细胞属性将会产生不同的力–变形关系。

2 球体压痕试验

2.1 材料与设备

在细胞压痕试验中，对于细胞变形信息的直接测定是非常困难的，而应力应变的实时监测更是具有挑战性。相比于微观的细胞，若能够在宏观尺度下进行研究，找到跨尺度的联系，就可以在一定程度上降低试验难度、提高试验精度，并作为一种补充手段与细胞压痕相互印证。根据几何相似性原理，我们选用弹性良好的乳胶球和聚氯乙烯(PVC)球进行试验，并在分析部分通过细胞理论模型进行验证，试验材料的选择和加载条件的设置均可看作是对细胞压痕试验的模拟。

实验设备有华龙万能试验机，静态应变测试分析系统等。由于在实验过程中球体所产生的变形远大于常规应变片的量程，且球面为曲面，无法直接进行测量。为此，我们设计制作了一种柔性变形传感器(图3(a))：(1)将应变片焊接于长条状薄金属片表面；(2)用强力胶水将弹力线分别粘贴在金属片两端，在室温下静置一段时间以便胶水固化；(3)制作完成后，利用万能试验机对其进行拉伸标定，将应变仪采集到的应变信号转化成传感器的变形信息(图3(b)显示了其中一组标定结果)。试验时，将这种柔性变形传感器环绕在球体表面即可监测曲面变形。

图3 传感器的制作与标定

2.2 试验过程

球体压痕试验共设置了4 种变量，分别是球体的材料(乳胶或PVC，对应于细胞类型)，球体周长(分别为620 mm，640 mm，660 mm，700 mm，对应于细胞大小)，加载速率和压痕深度。试验中将柔性变形传感器固定在球体赤道线处，用万能试验机分别对每种情况下的球体进行压痕试验，利用静态应变测试分析系统采集试验过程中的应变信号，并将其转化为球体赤道周长的变形信息。图4(a)和图4(b)分别为乳胶球(周长700 mm)压痕试验和PVC 球(周长640 mm)压痕试验。

图4 压痕试验

3 结果与分析

图5 给出了不同球体的压痕曲线(图例给出了球体的周长)。从图5 中可以看出，相同的材料，对于同样大小的压头，压痕力随球体变大而减小，其原因可能是对于同样的压痕深度，较小的球体内压较高，因此需要更大的压痕力。除此之外，PVC球的压痕力明显大于乳胶球的压痕力，这是因为PVC球的膜较厚(1.25 mm)，其抗拉刚度大于乳胶球膜，PVC球膜从手感上比乳胶球更硬一些，也说明了这一点。

图5 不同球体的压痕曲线

在不同的加载条件下，利用Matlab求解球体变形方程组。输入球体半径R和压头半径r，计算得到接触半径ρB和两侧球体半径RJ，再由式(30)可得球体赤道处的理论变形

图6显示了周长660 mm、加载速率150 mm/min、压痕深度60 mm 的乳胶球的理论计算结果与压痕试验测得的球体实际变形。趋势线的比例系数和拟合系数R2表征了理论计算结果与实验数据的吻合程度，二者越接近于1，吻合程度越高。从图6可以看出，理论模型能够较好地描述该组试验中球体的变形。经过对各组试验拟合结果的统计分析发现，趋势线的比例系数取值在0.98∼1.01 之间，拟合系数均在0.99 以上。由此证明本文提出的细胞压痕理论分析模型可以很好地描述乳胶球和PVC 球的变形行为。

由于细胞的材料属性呈现高度非线性，不能使用简单的弹性模量来表征。基于理论部分对细胞膜作出的均质、各向同性及不可压缩假设，可用应变能密度函数来表示其本构关系。对于试验中的乳胶球和PVC球，选用Mooney–Rivlin本构模型来描述它们的材料特性[14]，其函数表达式为

其中，W表示应变能；C10和C01是材料常数，单位与应力相同。对于弹性材料，E=6(C10+C01)。I1和I2是应变不变量，且可以表示成主伸长比的函数

膜的主应力σi和主张力Ti可由应变能密度函数表示为

其中，t为膜的厚度。将式(35)代入式(22)∼式(28)中，根据几何模型得到的边界条件求解。

图6 球体赤道线的变形随压痕深度的变化

对于周长620 mm、压痕深度70 mm 的乳胶球，模型参数为C10= 0.23 MPa，C01= 0.19 MPa，t= 0.16 mm，图7 显示了球体压痕力随压痕深度变化的实验数据和模拟结果，较高的吻合度进一步说明了细胞模型的适用性。将材料参数换算成杨氏模量，则E乳胶=2.52 MPa，EPVC=4.11 MPa。

图7 球体压痕力随压痕深度的变化

为了验证宏观(球体)试验的有效性，分别将一组PVC 球和几种细胞的压痕曲线进行归一化处理(见图8，数据分别来源于PVC球压痕试验和参考文献)。从图8中可以看出，PVC球与淋巴瘤细胞[15]、Anip-973 肺癌细胞[9]及软骨细胞[10]的力学响应具有一定的相似性。因此，利用宏观球体的压痕试验去模拟细胞的力学行为是可行的，这种不同尺度下的类比研究方法作为一种补充手段，将会为单细胞的研究提供有价值的信息。

图8 PVC 球和几种细胞的归一化压痕曲线

图9 给出了分别运用Hertz 模型和细胞压痕模型对单个软骨细胞的压痕曲线实验数据的拟合结果(模型参数分别为：R= 8.5µm，r= 2.5µm，C10=55.6 Pa，C01=11.12 Pa)。

结果显示细胞压痕模型的拟合系数R2高达0.999 2，而Hertz 模型的拟合系数仅有0.993 5，证明了细胞压痕模型对于软骨细胞力学特性描述的适用性。Hertz 模型在细胞大变形时忽略了尺寸效应，计算结果表示的是作为均质细胞假设的整体弹性性能，与细胞的真实力学响应有一定差别；细胞压痕模型的计算结果表示的是细胞膜的弹性性能，比较符合真实的细胞结构及其变形行为。根据新的模型及计算理论，我们计算了当压痕深度为2µm时软骨细胞细胞膜表面的应力分布(如图10所示)。

图9 两种模型对单个软骨细胞压痕曲线的拟合效果比较

图10 细胞膜表面的应力分布

结果表明膜表面的应力并不均一且在赤道面和压头接触面上有两个明显的峰值。由此可以推测，随着压痕深度及压痕力的增大，细胞膜的破裂将会发生在赤道面或压头接触面上，压头与细胞的相对大小决定了破裂的具体位置。

总之，本文提出的细胞力学模型能够较好地描述压痕实验中细胞的力学响应，通过对力–变形曲线的拟合能够得到细胞的力学特性参数，进一步分析可得细胞膜表面的应力分布等。另外，对于模型中细胞的体积限制，只需要加入一个适当取值的系数即可考虑生物膜的渗透效应。

4 结论与展望

本文基于细胞膜结构理论和细胞压痕实验提出了一种细胞力学模型，并通过宏观球体(乳胶球和PVC 球)压痕试验对细胞压痕进行了模拟，得到了表征不同球体膜力学特性的参数，验证了模型的适用性，同时展示出一种可用于细胞压痕相关研究的新思路。目前理论模型通过预测细胞的形态变化，获得细胞的材料属性，进一步分析可以得到细胞膜表面的应力分布和细胞内的压强变化等参数。总之，细胞力学特性的研究是一个多尺度跨学科的长期探索过程。由于活细胞的结构异质性和动态复杂性，仍然需要加深对不同细胞结构及其性质的认识，并尝试建立统一的方法和理论体系，为生物材料、医学、生命科学等领域的发展奠定坚实的基础。