旋转矢量法在简谐振动中的应用

【摘 要】本文通过实例，介绍了在处理简谐振动相关问题时运用旋转矢量法能够将一些复杂的运算转化为几何问题，从而简化问题，提高学生解决问题的效率。

【关键词】简谐振动;旋转矢量;相位

简谐振动中一个重要的知识点是简谐振动方程，学生在求解过程中最常用的是解析法，将已知条件代入方程，求解各个物理量。但是用这个方法求解初相时学生往往会判断不准，易出问题，从而觉得这是较难的一个知识点。而在教学中往往不可少的方法为旋转矢量法，这种方法，能有效帮助学生理清各物理量之间的相互关系和意义，还有助于简化简谐振动研究中的相关数学处理，便于计算[1]。

1   旋转矢量法

如图1所示，自轴的原点处作一矢量，并使其绕原点做角速度的匀速逆时针方向旋转。设在时，矢量的矢端在位置，与的夹角为;在时刻，矢量的矢端在位置。此时与的夹角为，矢量在轴上的投影为，它恰是沿轴作简谐振动的物体在时刻相对于原点的位移。因此，旋转矢量的矢端在轴上的投影点的运动，可表示物体在轴上的简谐振动。

由此，将旋转矢量与简谐振动的各物理量进行对比，如下。

矢量的长度相当于振动的振幅。

矢量逆时针旋转的角速度相当于振动的角频率。

在时刻，矢量与轴正方向的夹角相当于振动的初相。

在时刻，矢量与轴正方向的夹角相当于振动的相位。

2   旋转矢量法的应用

2.1  求初相

初相反映了物體的运动状态，是决定初始时刻振动物体运动状态的物理量。运用旋转矢量法，只需要找出该矢量在时刻，其与轴正方向的夹角，即该振动的初相[2]。

例1 一振子沿轴作振幅为，角频率的简谐振动，若初始状态分别为①;②，且正向运动;③;④，且正向运动。求不同状态的初相位。

解：根据题意，画出初始时刻各旋转矢量，如下图2所示。

按照旋转矢量图及几何运算可得。

（1）时，该旋转矢量与轴正方向重合，所以。

（2）时，该旋转矢量矢端的投影点在处，可判断出该旋转矢量的矢端位于第一或第四象限，由于处于正向运动状态，可判断出该旋转矢量的矢端位于第四象限，由，根据几何关系，可得。

（3）时，该旋转矢量与轴负方向重合，所以。

（4）时，该旋转矢量矢端的投影点在处，由于处于正向运动状态，可判断出该旋转矢量的矢端位于第三象限，由，根据几何关系，可得。

由以上例题可知，运用旋转矢量法求简谐振动的初相非常便捷。

2.2  判断同一运动两种运动状态所需要的时间

在给出旋转矢量定义时，规定其矢量是按逆时针匀速的转动，因此运用旋转矢量法能很方便地判断出同一简谐运动从一种运动状态变化到另一种运动状态所需要的时间[2]。

例2 一谐振子，其振幅为，周期为，从的位置分别运动到的位置和平衡位置，所用最短时间分别为多少？

解：根据题意，先画出如图3所示的运动矢量图，进而判断出旋转矢量的初始位置位于第四象限，所需要的最短时间可根据公式及，得和。

3   结束语

由以上案例可知，在处理简谐振动的过程中使用旋转矢量法，能够使简谐振动过程变得十分简单、易懂、易于计算和掌握。因此教师在教学中，除了对简谐振动的理论内容进行讲授之外，还更应该注重学习方法的讲解和训练，使学生能够使用较简单的方法去理解和掌握相关知识点，提高学生的学习效率。

【参考文献】

[1]马文蔚，周雨青.物理学简明教程[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2]柯尧.旋转矢量法在振动与波中的应用[J].物理通报，2015（8）.

【作者简介】

解振平（1983～），女，汉，河南周口人，讲师，研究生，研究方向：大学物理教学。