高中数学解题中“算两次”思想的应用探析

【摘 要】为提升高中生数学解题效率，教师要渗透“算两次”解题思想，为学生提供更多解题思路，提高学生数学学习质量。本文就高中数学解题中“算两次”思想方法的应用进行探析。

【关键词】高中数学;解题教学：解题思想;算两次

“算两次”数学解题思想应用非常普遍，但教师尚未对其进行一定的归纳研究，没有引导学生掌握该思想的解题精髓。笔者结合教学经验对该解题思想进行一定剖析。

1   算两次

1.1  数学定义

该数学解题思想基于富比尼原理开展教学应用，目前在数学教育工作中应用较多。其解题本质主要是，通过“两个领域”对某一量进行“连续计算两次”，以推导出等量关系式。基于“两个领域”与“连续计算两次”的过程，则将该解题思想定义为“算两次”解题思想。

1.2  逻辑思路

部分数学学者在研究该解题思想时，提出了解题的基本逻辑思路。基于两个领域对问题进行分析思考，假定两个领域都可以得出相应结果，则可以得出一个关于问题的等式[1]。

该数学解题思想，不仅体现了对问题进行多领域计算思考，还体现了引导学生转化视角对问题进行主动研究，提高学生数学学习效果。学生基于该数学思想开展学习思考，可以拓展自身的发散思维，细化数学内容之间的逻辑关联，构建数学知识框架。学生通过掌握该数学思想，可以灵活高效地解决很多数学问题。同时灵活运用该思想可以很好提升学生解决问题的综合能力，增强学生综合学习实力。

2   教学应用

2.1  公式推导渗透

在高中数学学习中，学生需掌握很多基础定理与公式，因为很多公式定理都是基于基础公式推导而来。在讲授具体数学定理与公式推导时，教师需对教学方式进行一定创新，合理渗透“算两次”教学思想，引导学生对数学定理与公式进行推导。通过多视域思考分析，构建等量公式与不等量公式，以证明数学推导公式的科学性与正确性。通过掌握“算两次”思想理论，学生可以不断拓展自身学习思考视域，提高自身解决数学问题的综合能力。

如高中数学人教A版教材，引导学生对“指数函数、对数函数、幂函数”进行学习，在函数定理推导时，教师可以渗透“算两次”数学思想，让学生从多个领域进行推导思考。

教师列出三组数据，每组数据的内部逻辑关系分别为：一次函数、二次函数、指数函数。由于学生在初中掌握了一次函数与二次函数的相关知识，因此可以快速绘制出数据对应的图象。教师基于学生已知的信息，让学生尝试绘制指数函数数据的图象;基于指数函数图象界定等量公式，引导学生对指数函数的基本数学定理与公式进行理解。

学生通过图形等量思考理解掌握了指数函数。在对对数函数与幂函数进行自主学习思考时，学生则可以基于“算两次”数学思想，分析指数函数、对数函数、幂函数之间的数学公式关系，合理应用“算两次”思想进行转化推导，以学习掌握相关数学内容，提高数学学习质量[2]。

2.2  例题解答引导

“算两次”数学思想起源于教学，即在教学过程中产生了该数学思想后不断挖掘完善，并得到了更为广泛的教学应用。在很多数学知识点教学中，都可以合理應用该数学思想。而为了引导学生深入学习该数学思想，教师可以基于数学知识点，开展例题教学引导，让学生在解决相关例题时，发现“算两次”的基本数学理论，并逐渐挖掘该数学思想的解题思路步骤。

如开展人教A版高中数学立体几何教学时，教师基于三棱锥的数学知识点，设计三棱锥体积的求解例题。学生结合立体几何中点面距计算使用的等体积方式进行思考，分析三棱锥的几何特点，以每个面都相等的几何基本特性，进行两次求解三棱锥体积公式罗列，并构建等式求解棱锥高，主动推导出“算两次”数学思想[3]。

在“利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质”教学引导时，教师指导学生进行图象“算两次”思考，最终学生得出了正弦函数与余弦函数的基本性质：周期性、奇偶性、单调性。学生在思考分析时，通过图象变化构建等量关系式，很好地提高了该节课的学习效率。在自主推导学习角的差和余弦公式时，学生则可以基于“算两次”思想寻找突破点，通过向量的空间数量积计算与坐标计算方式进行等式推导，以推导出不同角差与和的余弦公式。而在学习“等差数列”求和公式时，教师可以引导学生基于“算两次”开展倒序等式求解，以推导出等差数列求和逻辑公式，提高学生学习质量与效率。

在实际数学教学时，“算两次”思想应用非常多，其保证了学生数学学习的效果，激发了学生数学学习的潜力，促使学生形成了多元化数学思想，促进了学生数学核心素养与综合学习质量的提升[4]。

2.3  类似试题归纳

在高中数学学习阶段，学生需练习大量习题，加强巩固相关数学内容。为提升学生解题效率，保证学生的习题练习效果，教师可以尝试进行“算两次”数学思想的教学引导。

教师将大量数学例题进行归纳总结，找出类似试题进行思路提炼，并引导学生对同类数学例题进行“思维风暴”，寻找新的解题思路与思考视角。教师可以合理引导学生，让学生尝试从多个视域对问题进行解析，探索不同的解题思路。对于错误的思路，教师不能直接批评，需要鼓励学生多进行尝试。学生出现新的思路，说明学生正在突破自己固有的解题模式，教师要不断鼓励、肯定。同时，学生可以从错误思路中摸索出解题的新路径，并逐渐掌握“算两次”数学思想。如对向量数量积、三棱锥体积、圆锥表面积、椭圆等相关问题求解时，学生则可以合理应用“算两次”思想，提高解题综合效率。

3   结束语

在开展“算两次”思想引导时，为保证教学质量，教师需基于具体数学问题与例题进行教学，引导学生在解题中掌握该数学思想，不断提高学生数学学习效率。

【参考文献】

[1]付秀凤.高中数学解题中“算两次”思想方法的应用探析[J].数学学习与研究，2015（13）.

[2]徐达育，钱军先.摭谈“算两次”方法在高中数学教学中的挖掘与提炼[J].福建中学数学，2015（11）.

[3]吴少然.谈谈“算两次”方法在高中数学教学中的应用——以苏教版《数学4》（必修）“三角函数与平面向量”的教学为例[J].中学数学教学参考，2016（22）.

[4]蒋科煜.高中数学教学中“算两次”思想方法的应用探析[J].西部素质教育，2016（223）.

【作者简介】

赵慧（1983～），女，聊城市东阿县刘集镇油坊村，学历：本科，中教二级，党员，高中数学一线教师。