数学知识在高考物理解题中的应用

谭肃

【摘 要】数学知识在物理学中有着大量的应用，特别是在力学计算方面和图像分析方面。数学中的极限、概率统计、三角函数、正弦定理、向量的加减法、函数的单调性以及求导的思想等贯穿在整个物理学中。所以在解物理题目时，要是能很好地运用数学方面的知识和技巧会让解题变得更加方便和准确[1]。这样既能起到高效解题的作用，同时也是对各个学科核心素养能力的一种综合性提升。

【关键词】高考物理题;数学定理;核心素养

在解物理题目中，要是能很好地运用数学方面的知识和技巧会让解题变得更加方便和准确。下面就以全国卷的两道高考题为例。

1   正弦定理的应用

（2017全国卷一21）如图1，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

常规解析：

对重物进行受力分析，初始位置OM绳子的张力TOM为重力G，MN绳子上的张力TMN为0。向上拉MN绳子的过程中，根据受力分析图（如图2所示）以及小球的重力始终不变的条件可以得出OM绳子上的张力TOM先从重力G增大到TOM，再从TOM减小到TOM′，所以TOM先增大后减小;而MN绳子上的张力TMN从初始的0增大到TMN，再增加到TMN′，所以TMN逐渐增大，所以选AD。此方法为常规作图法。

应用正弦定理解题：

通过数学的正弦定理以及函数的增减性可以直观地得出结论，并做出正确答案。

2   导数的应用

（2018全国卷三20）如图4（a），在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i的变化如图4（b）所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势

A.在时为零

B.在时改变方向

C.在时最大，且沿顺时针方向

D.在时最大，且沿顺时针方向

常规解答：

根据右手螺旋定则，楞次定律（感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化），以及i-t图像可知，在处，图像的斜率为零，即电流的变化率为零，所以PQ导线中的电流产生的磁场没有变化（包括大小和方向），所以没有磁通量的变化，进而没有感应电流和感应电动势的产生，A选项正确;同理，在时刻，图像的斜率为一个负值，导线中的电流向上且在减小，根据右手螺旋定则，楞次定律以及法拉第电磁感应定律，可判断R线框中的感应电流为顺时针，所以C对，B错;同理根据右手螺旋定则，楞次定律以及法拉第电磁感应定律可以判断在t=T时刻R框中的感应电流方向为逆时针，再由图像可知在t=T时刻，图像的斜率为最大值，所以D选项错误。答案为AC。

应用数学函数求导解题：

根据法拉第电磁感应定律，R框中的感应电动势，磁通量φ与PQ导线中的电流成正比，则即感应电动势，所以感应电动势E与PQ导线电流对时间t的导数成正比。再由图象和题意可知，，则，其中的取值范围是大于-1小于1。当时，，所以E=0，A选项正确;当时，，其绝对值为最大值1，所以感应电动势E取最大值，再根据右手螺旋定则和楞次定律，可判断此时感应电流的方向为顺时针，C选项正确，B选项错误;当t=T时，，为最大值，所以感应电动势E取最大值，再根据右手螺旋定则和楞次定律，可判断此时感应电流的方向为逆时针，D选项错误。答案为AC。

通过对正弦电流关于时间的求导之后，直接得出感应电动势关于时间的表达式，根据表达式大小的绝对值判断感应电动势的大小情况，以及表达式的正负情况判断感应电动势的方向情况。

综上所述，在高考物理题中，如果学生对高中数学所有的知识点都已经很好地掌握，那么对灵活地运用数学知识去解高考物理题能起到高效解题的作用。

【参考文献】

[1]曲一線.5年高考3年模拟高考物理[M].北京：教育科学出版社，首都师范大学出版社，2019.