存贷利差及交易费条件下最优投资组合问题的研究

葛乃荣

一、引言

我国金融市场主要以银行等金融机构为主体，银行的利率政策对投资者的投资决策至关重要，当投资者的资产不足时可以选择向银行贷款从而进行投资，当投资者拥有的财富足够多时，在投资于风险资产的同时，剩余的资金可以存入银行或购买无风险债券，本文正是基于这一资产分配方案研究投资者的投资决策问题。另一方面，在我国A股市场中，个人投资者所占比重较大，因此，本文主要研究个人投资者的投资决策问题。早期文献中，经典的资产分配问题最早由Merton提出，但是没有考虑银行的存贷款利率不相等这一条件，他运用随机动态规划原理建立个人投资者的效用最大化模型，最后求出最优的显式表达；莫顿研究了在连续时间模型下投资者整个生命周期内的效用最大化问题；投资者除了将资产用于投资外，还可以消费，王秋媛在考虑存贷利差的条件下，研究投资者的消费效用最大化问题，运用贝尔曼动态规划原理和伊藤公式，得到了不同条件下的显式解。

在个人投资者买入或卖出股票时存在一定的交易费，我国股票市场中，交易费一般包括交易佣金、印花税和过户费等，其中，沪、深证券交易所收取的A股交易经手费按成交金额的0.0487%双边收取，这一因素同样会对投资决策产生影响。关于交易费的研究，早期文献主要从比例交易费和固定交易费入手，假设按照一定的比例收取交易费。随着近年来我国资本市场逐渐成熟，投资者手里有了一定积蓄后会将自己的资产用来投资股票，从这一点来说，本文的研究具有一定的现实意义，本文主要运用动态规划原理和伊藤公式计算投资者的最优消费和投资策略解，并分情况讨论投资者对应的决策选择。

二、模型和最优化问题

在投资组合优化研究中，一个重要的研究内容就是投资者投资于无风险的银行账户(或债券)和有风险的股票时，怎样分配其资金来获得期望效用的最大化。而投资者投资的最终目的是为了消费，所以在分配资金时要充分考虑消费的因素，因此从整个投资和消费的分配过程来看，这是一个动态的演进过程。

本文主要假定投资者的全部资产有两种投资方式，一种是投资于无风险资产，比如存入银行(或债券)，另一种投资于风险资产，比如股票。以前的文献考虑了存贷利率不等这一条件，但都没考虑交易费用。本文主要在存贷利差的条件基础上加进交易费，最终使投资者的期望效用最大化，进而实现其资产的最优配置。

考虑交易费用时投资者账户资金的变动情况，此时，投资者银行账户上的资金可用随机微分方程来表示，即存入银行资产与存款利率的乘积形成投资者获得的存款利息去除掉消费量和购买一定量的股票并加上卖出股票时获得的资本。而投资者证券账户上资产的随机微分方程可表示为：购买股票数与预期收益率的乘积即为购买股票获得的资本利得加上买入股票数并去除卖出的股票数。

因此，在t时刻投资者的净财富满足：当投资于股票的资产数大于零，总的财富包括存入银行的资金与买入股票的资金并扣除买入股票时按一定比例付出的交易费，相反，当投资于股票的资产数小于零时，此时，投资者现金流不足，需要卖掉部分股票以增加现金流，投资者总的财富，即银行账户上的资金数包括存入银行的资金数与卖出股票时的资本并扣除一定比例的交易费。其中，λ、μ分别表示购买和出售股票的比例交易费，并且购买和出售股票时按一定比例的交易费需满足在0到1之间，则在t时刻投资于股票的卖出价表示为：此时刻的股价扣除一部分的交易费，买入价可表示为：股价加上一部分的交易费，现在我们定义在t时刻股票交易量为S-(λ＋μ)(t)，即表示投资者因为交易费的增加而减少股票成交数，这里考虑投资者投资于股票获利的情况(亏损情况一样分析)，那么在t时刻的现金流为：股票交易量乘以投资者在t时刻卖出和买入股票价格之差，用R(t)表示，那么对R(t)用伊藤公式得财富的随机微分方程表示为：

其中，π(t)表示投资者投资于股票的数，f(t)表示股票预期收益率，W(t)代表投资者的总财富。分两种情况分析：当投资者总的财富比买入股票所需资金数大时，投资者无需向银行贷款，否则，没有足够资金时，需要向银行贷款。本文的目标是通过对投资者持有的资产在消费和投资之间如何分配以达到整个生命周期的效用最大化，即时刻t到T区间求消费的效用函数和残值函数的最大期望，并且这两个函数都是严格单调递增，且是凹函数，分别关于C、W是可微的，当买入股票时，根据动态规划原理可得对应的HJB方程，

而当卖出股票时，对应HJB方程，

Vw、Vww分别表示V关于W的一阶导、二阶导，从消费的效用函数和残值函数的性质可得到，值函数关于W的一阶导大于零，二阶导小于零，也就意味着值函数是一个递增的凹函数，上式左边关于消费C求一阶导可得最优消费解为：

根据上述第一种情形下的HJB方程可解得此时关于投资有两个最优解：

(1)如果投资者持有的总财富比两者较小的最优投资解小时，即没有足够资金用来购买股票，此时，最优决策方案是，保持消费不变，投资者应向银行贷款购买股票。

(2)如果投资者持有的总财富数处于两个最优解之间，那么此时投资者既不需要向银行贷款也没有剩余资金存入银行，最优的组合方案是，保持消费不变，将持有的所有财富都用来购买股票。

成孔设备采用液压步履式挤密灌注打桩机，外径为425 mm、夯锤重5 t，成孔依次逐排由外向内进行，隔排隔行，间隔1～2孔跳打方式。在钻杆上标注设计桩长位置，打桩完成后，检查其桩长、桩径、垂直度等满足验收要求后方可进行填料。

(3)如果投资者所拥有的财富比两者较大的最优解还大，那么说明投资者持有的资金数足够多，不需要考虑向银行贷款，除了将一部分资金用来购买股票外，还剩余一部分可以存入银行获得存款利息，这样可以达到资产的最优配置。

当投资者卖出股票，这种情况下同样可根据上面HJB方程得两个最优投资解：

三、结论

与传统Merton在连续时间模型下相比，由于交易费的引入，投资者选择买入或卖出的股票数会减少一部分，此外，当投资者投资于股票数小于零时，投资者面临的资产组合方案是保持消费不变，将持有资产存入银行或卖出股票，原因分析：此时，可能股市行情不好，投资者为了避免财产损失，会选择不进入股市，这也符合实际，因此，给投资者做出正确的投资决策带来了现实的指导意义。