立体几何

一、填空题

1.设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列三个命题：

① 若α⊥β，l⊥β，则l∥α；

② 若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；

③ 若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.

其中正确命题的序号是________.

2.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.④若l⊥α，m∥α，则l⊥m.其中真命题是_________（写出所有真命题的序号）.

3.（2019 江 苏 卷第9题）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.

（第3题）

4.（2018年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.

（第4题）

5.如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件________时，有AC⊥B1D1（写出你认为正确的一种条件即可）.

（第5题）

6.祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为.（填上你认为正确的序号）

（第6题）

8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥DABC1的体积为________.

（第8题）

二、解答题

9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1.

求证：（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC.

10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，是AB的中点.

（1） 求 证：BC1∥ 平面A1CD；

（2）若点P在线段BB1上，且求证：AP⊥平面A1CD.

（第10题）

11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点.

（1） 求 证：PC∥ 平面BDE；

（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB.

（第11题）

12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若 ∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

（第12题）

三、挑战高考（2019年江苏卷第16题）

13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC.

求证：（1）A1B1∥ 平面DEC1；

（2）BE⊥C1E.

（第13题）