玩转 高考题——直线与圆锥曲线的位置关系篇

苏 玖

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE x⊥ 轴，垂足为E，连结QE 并延长交C 于点G．

(i)证明：△PQG 是直角三角形；(ii)求△PQG 面积的最大值．

点拨 第（2）小题的逆命题是否成立呢？请看改编题1.

改编1

点拨 由原题知只要证明P，C 横坐标相同即可，离心率为何值时，PA ⊥ PB呢？请看改编题2.

改编2

过原点的直线交椭圆于P，A 两点，其中P 在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B.若PA PB⊥ ，试求椭圆的离心率.

点拨 如果过点P 作垂线得到的PB 与PA 不垂直，那么考虑过线段OP 上某一特殊点作x 轴的垂线，例如过OP 中点作x 轴的垂线，结论成立吗？请看改编题3.

改编3

点 拨 当PA 与PB 垂直时，点P 在以AB 为直径的圆上，当两条弦不垂直时，探究点P 与以AB 为直径的圆的位置关系？请看改编题4.

图1

改编4

点拨 本题仍然利用直线BA 与BP 的斜率之积为定值，再用数量积研究∠APB 的取值范围，结合平面几何知识便可以得出结论.如果过P 向y 轴作垂线，请看改编题5.

改编5

点拨 还是利用两条直线的斜率之积为定值得出结论，但如果过P 点既向x 轴作垂线，又向y 轴作垂线，得到两条新的弦斜率之间有没有关系呢？请看改编题6.

改编6

答案与解析

图2

图3

敲黑板

高考题（1） 是 根据苏教版选修1-1 选修2-1P39 习题改编的，而（2）则是2011 年江苏卷第18（2）题，但命题者又让思维多走一步，求三角形的面积最大值． 所以同学们不要只顾着刷题，而要把课本题和历年高考题真正弄懂弄透．

小试牛刀请根据上述问题，类比椭圆中的结论，对双曲线提出3 个类似的正确命题，并证明.