举一反三，寻找最优解法——直线与圆锥曲线的位置关系篇

王思俭

例1 （2019 年全国Ⅰ卷改编）已知曲线C x y:2=4 ，D 为直线y=−1 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B．

（1）证明：直线AB 过定点；

（2）若以E(0,5)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．

小A：设D t( , 1)− ，斜率不存在时，不合适，因此，设过D的切线方程为代入曲线方程得

图1

小知识

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形叫阿基米德三角形，这里△ABD 即为阿基米德三角形．

小B：设切点为A x(1,y1)，B x(22,y )，求得的导数为于是两条切线的斜率分别为因此两条切线方程为联立方程得所以因为于是直线AB 的方程为即所以直线AB 过定点F(0,1).

方法大PK

y=−1 其实是抛物线的准线，定点F(0,1)是抛物线的焦点．对于第（1）小题，小A 的方法抽象，不易辨别清楚．小C 的思路简捷明快，为通性通法．

敲黑板

第（2）小题，小A、小B 的解题过程有问题吗？对了，他们的答案都不全，漏掉一解. 当直线ME斜率不存在时，k=0，

t=0.

方法大PK

第（2）小题，小C 的解法是常规思路，但算的慢一些；小A和小B的解法都是通法而且简洁明了．小B 的思路可以，

小C：当直线ME 斜率不存在时，k=0，t=0. 但四边形面积为12. 圆心E 到直线距离等于半径，即求得k =0 或k =±1.故所求的面积为12 或如果将看成整

变题1 已知曲线C : x2=4 y，D 为直线y=−1 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B．若以E(0, 11)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形EADB 的面积．

小A：先考虑k=0 时，四边形面积为24. 当k ≠0 时，由圆的切线性质得体就不烦琐．，解得k =±2，仿照上述方法求得，且点E，D 到直线AB 的距离均为，四边形面积为.故所求的面积为24 或

变题2 已知曲线C : x2=4 y，D 为直线y=−1 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B．当D 点变动时，求△ABD 面积的最小值．

小B：先求出 AB k= +4(1 )2，D k(2 , 1)− ，点D到直线AB的距离为，于是△ABD面积为

，因此当k=0 时，面积最小，最小值为4.

敲黑板

关键求出点D的坐标，当然也可以用D 的横坐标表示面积．

敲黑板

小C 分两种情况讨论，利用无关思想得出结论！

思考：在原题的条件下，以AB为直径的圆M 是否过定点？ 结论是：圆M 不过定点．（证明过程请同学们自行探索）

思考

变题4 的逆命题成立吗？结论是成立的．

你做以上题目是不是运算比较慢？检查自己有没有以下问题哦！

1.概念公式混淆不清．例如焦点与准线，椭圆方程与双曲线方程；

2.方法选择不当. 如设点坐标（是代数式、还是三角式），还是设直线方程（是y=kx+b，还是x=my+t）；

3.运算能力欠缺．如方程化简频频出错（漏项、漏系数等），代数式中字母混淆，丢三落四；

4. 心理素质差，不能静心．如字母稍微多一点、运算步骤稍微长一点，容易烦躁不安.