局域共振型圆柱壳类声子晶体带隙特性研究

黄洪赛,冉冀林,陈凯伦,张雅梦,刘长利

(华东理工大学机械与动力工程学院，上海 200237)

0 引 言

近年来，声物理领域的“局域共振型声子晶体”新概念、新原理的提出为解决圆柱壳类结构的振动控制问题提供了新的思路。已有研究表明，局域共振型结构中可以产生显著的弹性波带隙[1]，利用其带隙可以实现对振动的控制，具有广阔的应用前景，近年来吸引了国内外学者的广泛兴趣。Wang等[2]提出了一种在细长梁上周期性附加谐振子的准一维结构，研究了在该结构中纵向弹性波的传播。王刚等[3]构造了一种由有机玻璃和橡胶/铜块振子构成的周期结构细直梁，研究了该细直梁的能带结构，以及有限周期条件下的振动传输特性。Gao等[4]在欧拉-伯努利梁上周期性离散附加动力吸振器，研究了该结构控制弯曲波传播的应用。Xiao等[5]在均匀板上附着二维周期性弹簧质量共振器阵列，构成了局域共振结构，研究了弯曲波在局部共振薄板中的传播特性。与梁和板类声子晶体相比，对圆柱壳类声子晶体的结构弯曲波传播特性的研究还不多见。

圆柱壳类结构广泛应用在航天航空、船舶与航海、土木建筑、化工领域等工程领域[6]。这些壳体结构承受风、地震、波浪、气动力等动载荷，由此导致的振动和噪声，影响设备的工作性能，缩短设备的寿命，导致安全事故。李雁飞等[7]设计了一种具有轴向周期结构的装备外壳，研究了其对弯曲波的振动特性。Shen等[8]提出一种轴向周期分布不同结构或材料的管路，研究了周期管路的声振传播。鞠海燕等[9]研究了轴向一维周期性等厚度圆柱壳体和变厚度壳体的能带结构。罗金雨等[10]提出了一种布拉格散射型圆柱壳类声子晶体结构，获得了沿轴线和圆周两个方向的带隙。王兴国等[11]提出了一种径向声子晶体柱壳结构，分析了流体阻抗对柱壳隔声特性的影响。Nateghi等[12]等提出了一种局域共振型圆柱弯曲壳，研究了曲率对其能带结构的影响。但是，这些研究[7-11]中设计的圆柱壳类声子晶体都产生Bragg带隙，而没有涉及到局域共振型圆柱壳类声子晶体的研究。

与这些研究不同的是，本文提出了一种局域共振型圆柱壳类声子晶体结构，是通过在圆柱壳圆周方向布置弹簧振子实现的。分析了声子晶体的圆柱壳质量与弹簧振子的质量比、弹簧振子的刚度和元胞宽度对带隙的影响，以及有限周期圆柱壳结构的传输特性。研究结果为圆柱壳结构的减振设计提供了理论参考。

1 局域共振结构及其能带

1.1 局域共振结构

图1为本文提出的周期结构圆柱壳及相应的元胞，弹簧振子(图中的黑点，周向的个数为N)沿周向等间隔地分布在元胞上，元胞沿轴向周期排列形成局域共振圆柱壳类声子晶体结构。元胞的中面半径为R，厚度为h，轴向宽度为a，弹簧振子的质量为mR，刚度为kR，圆柱壳质量m与弹簧振子总质量之比为γ。

1.2 元胞的能带结构

本节根据元胞的边界力与位移的周期性约束条件建立本征场，计算元胞的本征频率，得到其能带结构。

局域共振型圆柱壳类声子晶体的周期常数为单个结构的长度a，且根据Floquet-Bloch定理，通过周期性边界条件可以用单个周期的结构表示整体结构。圆柱壳边界上的位移u(x)，包含x,y,z三个方向的位移，根据Neumann的边界条件来控制周期性边界条件上的位移u，并且相位关系与相邻元胞的边界条件决定，可以表示为(1)式：

u(z+na)=u(z)e-iqna

(1)

其中z代表轴线方向上的坐标，n为周期个数，q表示轴线方向的波矢，而根据Bloch定理[13]，对于一维的结构波矢只需遍历在如图2的不可约Brillouin区[0,π/a]的取值就可以代替所有波矢，再对应每一个波矢q值求其特征频率，得到能带结构。由于周期性，波矢在[-π/a,0]中计算的特征频率可以由[0,π/a]根据对称性得到。

根据Bloch定理可知，每一个Bloch波矢对应一种传播特性的本征弹性波，当对于所有波矢(qa)对应的特征频率都不出现的频率范围时，表示相应频率下的弹性波无法在结构中传播，这样的频率范围称为带隙。

圆柱壳采用环氧树脂材料，材料参数如表1所示，取R=0.187 75 m,h=0.011 5 m,a=0.059 m,γ=2,kR=9.495 43×105N/m,N=10,mR=m/20=0.048 kg。利用COMSOL Multiphysics对图1所示的结构建立有限元模型，使用集总机械系统来构建弹簧振子单元的刚度与质量，并在圆柱壳轴向方向使用Floquet周期性边界条件。

表1 圆柱壳材料参数Table 1 Material parameters of cylindrical shell

图3是圆柱壳元胞的前32个特征频率的能带图。虚线为不含弹簧振子的圆柱壳能带结构，实线为本文提出的局域共振型圆柱壳类声子晶体的能带结构，阴影区域为元胞的两条带隙。由图可知，不含弹簧振子圆柱壳的能带结构不存在带隙，说明带隙是由附加的弹簧振子与圆柱壳耦合引起的。元胞结构共有两条带隙，一条是频率范围为0～371 Hz，带宽为371 Hz，记为带隙1，另一条是频率范围为650～980 Hz，带宽为330 Hz，记为带隙2。

2 带隙影响因素分析

本节研究了影响带隙特性的三个关键因素，圆柱壳与弹簧振子的质量比γ，弹簧振子刚度kR，元胞轴向长度a。

2.1 圆柱壳与弹簧振子的质量比

本节分析中，圆柱壳质量m和弹簧振子刚度kR不变，通过改变质量比调节弹簧振子的谐振频率，讨论局域共振圆柱壳声子晶体的带隙特性。

图4是质量比对带隙特性的影响。星号标记、圆形标记和三角标记分别为带隙1的截止频率、带隙2截止频率和带隙2起始频率随着质量比变化的曲线。

首先，由图4可知质量比对带隙2特性的影响。随着谐振频率增大，即弹簧振子质量减小，带隙2的起始频率向带隙2的截止频率靠近，说明随着弹簧振子质量减小，带隙2越来越窄。这是由于弹簧振子的质量越大，与圆柱壳的耦合作用强度越大，达到两个子系统反向振动的频率变高，因此带隙2变宽。

其次，由图4还可知质量比对带隙1特性的影响。随着谐振频率增大，带隙1截止频率的上升速度减慢，这是因为随着弹簧振子质量减小，弹簧振子与圆柱壳之间的耦合作用随着弹簧振子质量减小而减小。

2.2 弹簧振子刚度

本节分析中，圆柱壳与弹簧振子质量比不变γ，通过改变弹簧振子刚度kR来调节谐振频率，研究弹簧振子刚度对带隙特性的影响，如图5所示。

首先，由图5可知刚度对带隙2特性的影响。随着谐振频率增大，即弹簧振子刚度增大，带隙2逐渐上移，并且其带隙宽度逐渐减小。但是当fR=850 Hz时，带隙截止频率不再变化，这是由于弹簧振子对于圆柱壳的耦合作用趋向于附加质量的作用，弹簧振子质量不变，导致整体结构不再改变，所以其截止频率趋于常数。

其次，由图5还可知刚度对带隙1特性的影响。随着谐振频率增大，带隙宽度逐渐变宽并趋于收敛，这是因为弹簧振子的刚度增大，导致弹簧振子趋向于刚性连接在圆柱壳上，局域共振型结构对带隙1截止频率的影响变小。

综上所述，质量比和弹簧刚度分别对带隙的影响结果表明，增大弹簧振子的质量或减小其刚度，可以拓宽带隙2的宽度。带隙2与带隙1之间的间隔随着谐振频率的增大而减小，这是由于谐振频率增大，弹簧振子对圆柱壳的影响的耦合作用减小。

2.3 元胞的轴向宽度

本节分析元胞的轴向宽度a对带隙特性的影响。弹簧振子的质量与圆柱壳质量之比γ和刚度kR不变，以轴向宽度a=0.059 m为基本长度，分析局域共振圆柱壳从a～6a的带隙特性。图6是元胞的轴向宽度对带隙特性的影响，星号标记实线表示局域共振型圆柱壳带隙1截止频率，三角标记实线表示该结构的带隙2的起始频率，圆形标记实线表示带隙2的截止频率。由图可知，随着轴向宽度增大，带隙2的起始频率和截止频率以及带隙1的截止频率逐渐减小。

3 传输特性

本节采用位移传递率分析有限周期圆柱壳结构的传输特性。位移传递率定义为传递到基础的位移与激振位移之比，反映结构对位移的传递关系。计算不同简谐激励下局域共振圆柱壳的位移传递率，对比激励频率在带隙范围内和带隙范围外的传递损失，分析局域共振型圆柱壳的减振性能。

图7是激励和响应点分布示意图，有限周期圆柱壳结构由10个元胞组成，圆柱壳上的黑点表示弹簧振子，虚线的小圆圈代表激励和响应点的位置。圆柱壳两端的边界设置为径向自由运动，切向和轴向固定。激励为单位位移的简谐激励，方向沿圆柱壳的径向，激励频率范围为10～2 800 Hz。响应点在圆柱壳另一端，响应点1是激励点沿轴线方向(z方向)10个元胞周期距离的点，响应点2则是响应点1沿圆周方向旋转180°的点。

本文仅考虑径向位移传递率。图8(a)是元胞的能带结构，图8(b)为有限周期局域共振圆柱壳在简谐点载荷下，响应点1、2的位移传递率。由图可知，在图8(a)的带隙650～980 Hz范围，和带隙210～372 Hz范围对应了图8(b)中位移传递率小于零的频率范围，表示响应点的位移明显小于激励点位移。说明当激励频率在元胞的带隙范围内时，圆柱壳的振动位移明显衰减。这验证了弹性波频率在带隙范围内时，在局域共振圆柱壳声子晶体内传播会受到抑制的特性。

图9(a), (b), (c), (d)分别表示简谐点载荷频率为200 Hz, 500 Hz, 800 Hz, 1 200 Hz的振动响应。由图可知，图9(a)和(c)的点载荷频率分别处于带隙1和带隙2范围内，振动都明显只局限在激励点附近，但不同的是,低频的带隙1范围内的振动并无放大，而在带隙2内的振动则只是在激励点附近被放大。图9(b)和(d)的点载荷频率处于通带范围内，振动明显遍布在整个圆柱壳，整体位移明显加剧。进一步验证了带隙范围内弹性波传播受到抑制的特性。

4 结 论

本文提出了一种通过在圆柱壳圆周方向布置弹簧振子的局域共振型圆柱壳类声子晶体结构，分析了声子晶体的圆柱壳质量与弹簧振子的质量比、弹簧振子的刚度和元胞宽度对带隙的影响，以及有限周期圆柱壳结构的传输特性，得到结论如下：

(1)在轴线方向和圆周方向都周期性布置弹簧振子的局域共振单元的圆柱壳结构，形成了两条低频带隙，其中带隙1具有极低的带隙范围。对有限周期圆柱壳结构的传输特性分析，验证了局域共振型圆柱壳声子晶体在带隙范围内的抑制振动的能力。

(2)弹簧振子的质量和刚度对带隙影响的研究结果表明，增大弹簧振子的质量或减小其刚度，可以拓宽带隙2的宽度。随着谐振频率的增大，带隙1与带隙2之间的间隔减小，这是由于谐振频率增大，弹簧振子对圆柱壳的影响的耦合作用减小。

(3)宽度对带隙影响的研究结果表明，随着元胞的轴向宽度增大，带隙2的起始频率和截止频率以及带隙1的截止频率逐渐减小。