非线性单调方程组的投影法的收敛率再分析

许文杰，林海婵，欧宜贵

(海南大学 理学院，海南 海口 570228)

考虑如下一类非线性单调方程组问题

(1)

其中，X⊆Rn是一个非空闭凸集，F：Rn→Rn是连续的单调映射，即

(2)

(3)

其中，搜索方向dk由下式确定

(4)

(5)

1 预备知识

定义1[4]设Ω⊆Rn是非空闭凸集.从Rn到Ω的投影算子PΩ[x]定义为

(6)

关于投影算子PΩ[x]的特性，参考文献[4].

定义2[4]称映射F：Rn→Rn是强单调的，若存在常数μ>0，使得

(7)

显然，从式(7)和Cauchy-Schwarz不等式，可推知强单调映射F满足

(8)

引理1[1]设搜索方向dk由算法DFPA产生，则满足

(9)

及

(10)

(11)

2 收敛率分析

为了进一步分析算法DFPA的收敛率，假设：

A1映射F在X内是Lipschitz连续的，即存在常数L>0，使得

(12)

A2映射F：Rn→Rn是强单调的.

引理3[2]若假设A1成立，则算法DFPA在第k步迭代过程中，由线搜索准则(5)所确定的步长因子αk满足下列不等式

(13)

利用上述有关的结论，得到本文主要结果.

证明关于定理1的前一部分证明，参考文献[1]中的Theorem 2.1的证明.以下证明定理1的第二部分结论.

事实上，利用结论(10)和(13)，即可推得：存在正常数c1>0，使得

(14)

(15)

另一方面，由假设A1、式(10)及αk≤β，∀k，可推得

(16)

以及

(17)

其中，c2=max{L(β(1+2t)L+1)，(c1μ)2}.从而，结合式(15)～(17)，并利用式(11)，可推出：存在正常数c3>0，使得

(18)

证毕.

3 一般算法模型框架及具体的数值试验

对已有求解问题(1)的无导数投影方法和本文以上的分析，可以构造如下更一般的求解问题(1)算法模型框架.

一般算法模型框架(GDFPA)：

Step3用某种方法来构造搜索方向dk，使其满足

(19)

和

(20)

其中，c4>0和c5>0是2个常数；

Step4计算试验点zk=xk+αkdk，其中步长因子αk由线搜索方案(5)确定；

Step5更新迭代点.令

(21)

Step6令k：=k+1，转Step1.

注2 对于Step2中的的dk具体构造方法，参考文献[2]的有关讨论.受文献[5]的启发,给出一种构造dk的方法，即

(22)

(23)

引理4 若dk的由式(22)和(23)定义，则对所有的k，有

(24)

和

(25)

证明若k=0，则式(24)和(25)显然成立.

若1≤k

以及

表明不等式(24)和(25)在1≤k

同理，当k≥m，可类似于上述情形的证明方法推出不等式(24)和(25)也成立.

综上所述，不等式(24)和(25)对于任意的k均成立

注3 由引理4的结论可知，由式(22)和(23)定义的dk满足条件式(19)和(20).此外，从引理4的证明过程还可以看出，结论(24)和(25)并不需要“强单调假设”.

关于算法GDFPA的收敛性特性，在此仅给出结论，而其详细的分析和讨论，参考本文先前的分析和讨论，在此略去.

为了验证算法模型GDFPA的可行性，选取了以下2个问题来进行数值试验：

表1 数值试验结果

从表1的测试结果可以看出，只要给出满足条件的搜索方向，可以得到问题所需精度的解.

4 小 结

对算法DFPA的局部收敛速率进行讨论.在一定的条件下，证明了本文方法所产生的迭代序列至少是线性收敛的，此结果要优于先前结论.同时，还给出了具有相同收敛特性的求解单调方程组的无导数投影法的更一般算法模型框架.