学好数学需要掌握四大“法宝”

□孙志滦

前后知识联系，学会融会贯通

数学是关于空间形式和数量关系的一门科学，具有抽象性、严谨性和应用广泛性的特点。同时，教学是以培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力为宗旨。所以说，要想学好数学，必须用联系的观点、发展的观点、辩证的观点来看待理论和实际问题。一句话，我们在学习每一部分数学知识时，都应该和前后知识建立联系，从中找到它们本质的关联。我们以初一数学第三章“一元一次方程”为例，看似平淡无奇的“简单方程”，其中蕴含着丰富的关联要素。

现在以经典的“鸡兔同笼”为例加以说明，看看如何用一题多解解决实际问题。对这个问题，可能有的学生会继续采用小学的算术法（两种），到了初中又有了一元一次方程和二元一次方程组的解法。

例题1：某农户积极发展庭院养殖，家中的大铁笼里面喂养了若干只鸡和兔子。从上面数有20个头，从下面数有56条腿，问该农户实际饲养了多少只鸡和多少只兔子？

（一）算术解法

将它们全部都当成鸡。则应该有40条腿，现在有56条腿，多出来的16条腿就是兔子的。一只兔子比一只鸡多2条腿，那么16条腿就对应8只兔子，于是鸡有12只。

将它们全部当成兔。则应该有80条腿，现在有56条腿，少了24条腿，少的腿就是鸡的。一只鸡比一只兔子少2条腿，那么24条腿就对应12只鸡。于是兔子有8只。

（二）一元一次方程解法

设有x只鸡，则有20-x只兔子，由题意可得：

2x+4（20-x）=56，即2x=24 ，x=12。

所以有鸡12只，有兔子8只。

（三）二元一次方程组解法

设有x只鸡，有y只兔子，由题意，

计算可得，有12只鸡和8只兔子。

掌握数学思想方法，灵活解决具体问题

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与数学能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。教师和家长要善于培养孩子学会灵活运用其解决问题，才能够有效提高他们的解题能力。

在初中的数学学习过程中，最常用到的数学思想方法有：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、整体思想、转化思想等。家长在辅导孩子功课时，要注意其在课本和教辅的例题、习题中的体现。学生们只要掌握了它们的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时触类旁通。下面我以数形结合的思想方法为例加以说明。

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）；或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数解形）的一种数学思想。

例题2：（中考真题）如图，直线y=k1x+b与双曲线交于A（1，2）、B（m，-1）两点。

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且 x1＜x2＜0＜x3，请直接写出 y1，y2，y3的大小关系式；

题意分析：本题属于反比例函数与一次函数的问题。

（1）主要锻炼学生的计算能力。只要将点A（1，2）代入双曲线求出k2的值，再将B（m，-1）代入所得解析式求出m的值，最后用待定系数法求出k1x和b的值，可得两函数解析式y=x+1。

（2）结合图象，根据反比例函数的增减性在不同分支上进行探讨。在第三象限内y随x的增大而减小，故y2＜y1＜0，又y3是正数，故y3＞0，y2＜y1＜y3。

几何解题变式训练，培养学生发散思维

思维的培养是一个内在的活动，而数学教学活动往往是外在的。这就需要借助一个好的链接，这个链接就是“变式训练”。所谓“变式训练”，就是在学生已有的知识储备下，有针对性地设计一组题，可以是一题多解、多题一解、多图一题、一题多变、逆向运用等方法，对初始题目加以发展变化，从逻辑推理上演绎出几个或一类问题的解法，通过对一类问题的研究，迅速将相关知识系统化、结构化、深入化，从而提高学生的解题能力。

例题3：已知长方形ABCD，BD为对角线，将△BCD沿BD翻折得到△BED。

（1）求证：AF=EF。

此问，可以运用全等三角形的方法证明三角形ABF和三角形EDF全等；也可以用等角对等边证出FB=FD，再由翻折AD=BC=EB，得出AD-FD=EB-FB即AF=EF。而且证三角形全等时也有两种方法，用直角三角形的斜边、直角边判定定理或角角边都可以证出。

（2）若连结AE，求证：AE∥BD。

在第一问的结论下，很快就可以根据等边对等角，得出角等，再结合三角形的内角和从而得出内错角相等，即两直线平行，得以证明结论。

（3）延长BA、DE，交于点P，求证：PB=PD。

这一问，又可以用不同的方法来证明，运用三角形的全等能够得出结论，运用等腰三角形等角对等边的判定定理也可以证出结论，还可以通过线段的和得出结论。总之，本题通过几何问题的一题多问，达到了训练学生发散思维的目的。

学习为了应用，应用中深化理解

注重生活中的应用是学好数学的一个窍门。有不少学生总以为数学是个老大难问题，不仅学习起来非常费脑筋，而且学会了也用不上。其实，这是对数学学科的误解。可以说，数学文化和人类文明的发展息息相关。正是因为在生活和生产实践中需要用数学知识解决问题，才有力地促进了数学学科的发展和建设。所以，从实践中引入数学，又回到现实中去解决问题，学以致用，这是数学的生命力，也是学生们学好数学的初衷。

教师在课程讲授中注意到了这些有机的联系，在此也提醒家长朋友，在辅导孩子的学习中，不要仅仅做表面的一些式子题，更应该重视对应用题的学习，这往往也是阶段考试和中考的重点内容之一。其中，函数思想的运用就是将一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数模型，从而用数学模型一般化地解决问题。

例题4：为解决中小学大班额问题，某县今年将改扩建部分中小学，计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元。

（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？

（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所。若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元。请问共有哪几种改扩建方案？

题意分析：

（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出每所学校所需资金的答案。

（2）要根据国家财政拨付资金不超过11800万元，地方财政投入资金不少于4000万元，列出不等式组，判断出不同的改造方案。

本题训练了一元一次不等式组、二元一次方程组的应用能力。解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求量的数量关系。