“实数”常见错解剖析

诸广平

同学们，“实数”是相当基础而又重要的内容.这一章有很多概念需要同学们去仔细揣摩，同学们千万不要怕麻烦，一旦弄清了，你就会发现“实数”其实很简单.什么是无理数？实数是什么？怎么分类？平方根、算术平方根及立方根怎么理解？近似数精确到哪一位？这些问题都没有你想象的那么难.下面请诸老师对一些典型错误进行剖析，希望帮同学们更好地掌握知识，为将来的学习打下坚实的基础.

一、概念模糊不清

例1下列各式计算正确的是（ ）.

A.3⁰=0

B.- |-3| =-3

C.3^-1=-3

D.√9=±3

错解：选D.

剖析：本题考查了零指数幂、绝对值、负指数幂、算术平方根的概念.任何非零数的零次幂都等于1.负指数幂呢？同学们只要记住，它等于正指数幂的倒数.求数的绝对值也好，求式的绝对值也好，必须根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”来求.平方根的概念必须要这样去理解：正数有两个平方根，它们是一对相反数，其中正的平方根称为这个数的算术平方根;零的平方根和算术平方根都是零：负数没有平方根.D选项的意思是求9的算术平方根，因此答案是3.那么D选项应该怎么改呢？

±√9=±3，即9的平方根是+3，或者把3前面的“±”去掉，即9的算术平方根是3，就对了.

正解：选B.

剖析：把求绝对值、去括号两步并成一步来进行计算，不犯错才怪呢，本题第一步要做两件事：求一个立方根，去一个绝对值符号.至于加减运算，还没有轮到呢！因此第一步的正确算法应该写成：原式=-1 -4 √3 -（√3—1）.接下来第二步是去括号，第三步才是加减运算，同学们，这类计算题出现错误，绝大部分是运算时跳步骤造成的，我们在计算时，一定要按部就班，一步一个脚印进行.这样不仅不容易出错，而且即使出错了.我们也便于检查究竟是哪一步出错了.

四、对数形关系理解不透

例4在如图1所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C，A两点表示的实数分别是√5和1，则点B表示的实数为___，错解：1一√5.

剖析：实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说每一个实数都可以在数轴上找到一个点和它相对应.要确定这个点表示的实数，其实和学习有理数时的方法是一样的：在原点左侧为负，在原点右侧为正;然后再看这个点与原点的距离（也就是这个数的绝对值），就能确定这个数啦.

正解：因为点C与点B关于点A对称，所以AB=AC=√5一1.即点B在点A左侧（√5—1）个单位长度处，所以点B在原点左侧（√5 -2）个单位长度处，所以点B表示的实数为2-、/了.

五、对近似数的精确度以及按精克确度取近似数认识不到位

例5下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？

（1） 2.40万;（2）5.2x10⁴.

错解：（1）百分位;（2）十分位.

剖析：带有单位的近似数或者用科学记数法表示的近似数和一般的近似数不一样，它究竟精确到哪一位，需要结合其单位或数量级来考虑，第1个近似数，它是精确到“0”这一位，但这个数位不表示0.01，而是0.01万，即百位;第2个近似数，它是精确到“2”这一位，但这个数位不是表示0.1，而是表示O.lx104.即千位.

正解：（1）百位;（2）千位.

例6用四舍五入法对26 802取近似数，要求精确到千位.

错解：27 000.

剖析：千位是“6”所在数位，对“6”后面的数进行四舍五人，写成27显然是不合理的，但是写成27 000也不合理，因为这样一来，就变成精确到个位啦，是不是？為了解决这个问题，我们往往采用科学记数法来达到目的，

正解：2.7x10⁴.

练一练

1.（-2）²的算术平方根是（ ）.

A.2

B. 土2

C.-2

D.√2

2.设a=- |-2|，b一（一1），c=3√-27，则a，b，c中最大实数与最小实数的差是 .

3.已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，b的立方根是-2.求-b -a的算术平方根.

参考答案：

1.A 2.4 3.2.