浅谈列方程解应用题

在小学数学的学习中，学生学过各类应用题的算术解法，如百分数问题，相遇问题，追赶问题等等。中学数学，从一元一次方程开始，也会不断遇到各类应用题，但初中开始一般是要求列方程来解应用题。

用算术方法来解应用题，实际上是通过推理得到一个用运算符号联系起已知数字的式子，用它来表示所求的未知数。在一些条件比较复杂或者条件不太明显的问题中，要列出这样的式子，就比较困难了。而用方程来解应用题，就克服了这个难点，我们只要假设一两个未知数，就可以直接或比较直接的把题中的条件用直译的方式列出等式，进而解出未知数，完成应用题。

在学习列一元一次方程解应用题时，我们也是详细分了许多类型：几何问题，配套问题，分配问题，行程问题，追赶问题等等。实际上这些问题我们常使用的就是两种方法，一种是列表法，一种的线段图法。

一、列表法

列方程解应用题，首先在审题时把题目里的已知量、未知量以及它们间存在的数量关系整理出来。当题目两个或两个以上主体时，我们经常采用表格的形式来把题目中的条件整理出来，这样往往会给我们的解题带来便利。在我们常见的题目中，根据题意常列有3×4，4×4等表格。

一般表格的第一行与第一列，分别标记为公式的关系量，及题目主体名称。接下来把已知的数据条件填入表格对应位置，余下的未知量需要用未知数来填充，至于设哪个量为未知数，表格中的未知量均可作为选择，但我们一般情况下是题目要求哪个未知量，就设它为未知数。若要求多个未知量，先选设其中一个。

例1：学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米/秒的平均速度跑了大部分路程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒.问小刚在冲刺阶段花了多少时间？

跑步问题涉及的是路程、速度、时间三个关系量，题中跑步过程分为大部分路程与冲刺两部分主体。我们据此可得表格，并填入已知数据：

题中的等量关系有：

（1）大部分路程+冲刺路程=400米;

（2）大部分时间+冲刺时间=1.05秒;

（3）路程=速度×时间。

表格中一共有4个未知量，由于题目要求的是冲刺时间，因此，我们用x来表示未知量，从对应的的等量关系（2）表示出大部分路程的时间，为1.05-x。接下来，由关系（3），可表示出两部分路程分别为6（1.05-x），8x，到此，可把表格补充完整。

此时，我们可以发现，还有一个等量关系没有用到，即关系（1）：大部分路程+冲刺路程=400米，最后我们根据这个关系来列得方程：6（1.05-x）+8x=400。也就是，把表格中最后得到的一组量代入未用到的等量关系里，可列得方程。

解：设冲刺时间为x秒，

依题可得：6（1.05-x）+8x=400

……

例2：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半少9，求这个两位数。

题中的等量关系有：

（1）十位的数字比个位的数字大5;

（2）新两位数比原两位数的一半小9;

（3）十位数字×10+个位数字=两位数。

此题中，如果直接把要求的两位数设为x，会发现列出的方程就比较复杂。此时，我们就需要间接设元。

用等量关系（1）（3）可表示出表格中的量，再依据余下的等量关系（2）列方程，可得：

解：设个位数字为x，则十位数字为x+5

……

借助表格列方程，首先找出题中的量，及等量关系（包挌公式）。用多数的等量关系填充表格，再根据余下的一个等量关系来列出方程，进而求解。

二、线段图法（图示法）

在一些应用题中，等量关系是不容易得到，用列表法来分析时，有可能因找不出其中的等量关系而束手无策。此时，可以用线段来对题目做进一步的分析。

例3：某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均可生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

第一个等量关系：生产螺钉的人数+生产螺母的人数=22;第二个关系“一个螺钉要配两个螺母”，易误解成“螺钉的数量=2倍螺母的数量”。我们用线段图来表示一螺钉对两螺母，可得这其中的数量关系：螺母的数量是螺钉的数量的2倍。

由此可确定题中的两个等量关系：

（1）生产螺钉的人数+生产螺母的人数=22

（2）螺母的数量=螺钉的数量×2

关系（1）用来设未知数，再由关系（2）列方程。

解：设x人生产螺钉，则（22-x）人生产螺母。

依题得：

……

当题目中的比例关系多而杂时，也可以选择用线段图来分析题目。

例4：某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠。在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的，零售票每张16元，共售出零售票的一半;如果在六月份内，团体票按每张16元出售，零售票按每张21元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么，预计本次售票总收入为13710元。请你根据以上信息，求出本次演唱会的总票数。

这个题目，看起来比较繁琐，但是如果利用线段图示来分析，每一次的售票情况就一目了然：从图里可以看出，四部分的售票总和即为总票数，且各部分的比例也能清楚的体现出来。

由此，我们可以得到如下方程：

解：设本次演唱会的总票数为x张，

依题得：……

例5：A、B两地相距12千米，甲从A地到B地，在B地停留半小时后，又从B地返回A地。乙从B地到A地，在A地停留40分钟后，又从A地返回B地。已知两人同时分别从A、B两地出发，经过4小时后，在他们各自返回的路上相遇。如果甲的速度比乙的速度每小时快千米，求两人的速度。

这个问题看起来条件也比较复杂，我们还是画一个线段图来分析：

从图里可以看出，当两人相遇时，两人的路程之和為A、B两地距离的3倍，即：

甲的路程+乙的路程=12×3。

根据：路程=速度×时间，我们可以设出速度，由题中条件算得时间，即可表示出甲、乙两人的路程，代入即可得到方程。

解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为（）千米/小时。

依题得：

……

列表法与线段图法，掌握了这两种应用的分析方法，在今后学习其他类型的方程，如方程组，分式方程是，就会感觉到更加的游刃有余。

作者简介

万啊琼（1986.2-）女，汉，福建泉州籍贯，中学二级，本科学历;研究方向：为中学数学教学。