高考中双曲线问题的解法初探

摘要：双曲线问题是高考中较为常见的题型，且难度较大，所以其研究价值尤为突出.本文在查阅了相关资料的基础上，归纳总结了几类常见题型及其一般解法，并结合近几年高考中出现的题目，对其解法一一做了解析.

关键词：高考;双曲线问题;解法

引言

高考作为高中学子乃至中小学学生的一人生重要分水岭，对于广大学生而言是非常重要的，不仅关乎着学生的命运及前途，也是作为教育部门及教育者的一项重大考验.高中数学由于其作为基础学科，在高考中不仅直接关系着其他学科逻辑思维能力和运算解题，同时它本身在高考以及学生的未来发展中占有举足轻重的地位.而在高考数学中，解析几何问题也占有相当多的分值，已经超过了25%左右，故学好高中的几何知识不仅是为了在高考中取得好的成绩;同时，也是培养学生构建空间几何能力和运用解析几何解决实际问题的关键所在.高中解析几何主要的内容以及高考的重难点就在于对圆锥曲线性质的简单应用及解决较为复杂和综合性较高的实际问题.同时由于圆锥曲线问题的多样性和复杂性，故解决此类问题的思路以及方法也非常的多;对于学生的计算能力，逻辑思维能力与应变能力的要求也比较高.本文主要致力于研究高考数学中常见的圆锥曲线中双曲线问题的几类题型和解法，为总结高考考点，方便理清实际教学重难点，更好的为今后的教学工作做好准备.

一、双曲线预备知识

1.双曲线定义

定义1把平面内的到两个定点，的距离的差等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，，为双曲线的两个焦点，为焦距.

2.双曲线標准方程

设为双曲线上一点，，坐标为，;

有定义知双曲线便是集合，

又，，

故，整理得，

类比于椭圆方程建立过程令，得，

同理得当焦点位于轴时双曲线的方程形式是

2.双曲线相关性质

（1）定义域

（2）对称性双曲线关于原点和坐标轴对称，其中关于原点是成中心对称的.

（3）顶点在双曲线方程中

令，得，可得双曲线和轴有两个交点，，分别叫做双曲线的顶点.

令，得，这个方程明显是没有实数根的，那么此时双曲与轴是不存在交点的，但我们依然把，作于轴上，方便下一步研究，我们规定线段叫双曲线的实轴，大小为;线段叫做双曲线的虚轴，大小为.

（4）渐近线

（5）离心率

二、双曲线在高考中的典型例题及其解法

1.根据定义及各参数关系解题

双曲线定义和双曲线各参数之间的关系是解决双曲线问题的重要依托，对它们准确的理解与运用对学好双曲线乃至整个圆锥曲线起到了至关重要得作用;而其于高考中运用的主要体现在关于简单双曲线简单问题的考察，一般的题型会集中在选择题和双曲线大题的第一小题.下面就实例进行分析.

例1[2018浙江卷]

解析：根据双曲线方程我们可以确定焦点位于X轴上，再由双曲线方程及参数性质我们可求解。

例2[2018理数全国卷二]双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（;）

解析：我们已经知道离心率，可由离心率与a，c的关系立式求解。

2.待定系数法

待定系数法主要用于求解双曲线的标准方程.常见于大题第一小题，作为双曲线问题中的基础题出现，较为考察学生对于双线定义及性质的了解以及应用.就实例如下.

例3[2008天津，理21]已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是.

（Ⅰ）求双曲线的方程;

解析 由题设条件可知，又，则，联立方程组可求解.

设双曲线的方程为.

由题设得，解得，所以双曲线方程为

3.数形结合

数从量反映问题，形从直观反映问题.数形结合，可以做到取长补短，优势互补，往往能有效地解决问题.在对于双曲线问题的研究，几何关系结合数量关系可以更为直观清楚地让学生更为综合地应用学过的知识，同时从侧面降低问题的难度以及了解数形结合的重要性，用时拓宽学生的思维.就实例如下.

例4[2017课标1，理]已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若=60°，则的离心率为_____.

解析 如图一，利用点到渐近线的距离公式，考虑图中三角函数关系联立方程可求得，由得所以.

图一

如图一所示，作，因圆与双曲线的一条渐近线交于、两个点，则、为渐近线上的两个点，且，.

而，所以=30°

点到直线的距离

在中，代入计算得

，即。由得

所以.

例5[2013大纲全国，理21]已知双曲线：的左、右焦点分别为，离心率为3，直线与双曲线的两个交点间的距离长度为.

（1）求，;

（2）设过的直线与的左、右两支分别交于，两点，且=，证明：，，成等比数列。

（1）解析 已知离心率可求得双曲线方程，将代入，求得.可求，

由题设知=3，即=9，故

所以的方程为.

将代入上式，求得.

由题设知，，解得.

所以，.

（2）解析 由（1）知，，C的方程为

①

由题意可设的方程为，，

代入①并化简得.

设，，则，，，.

于是===，

===.

由=得=，即=.

故，解得=，从而=.

由于===，

===，

故=-==，

==.

因而=，所以，，成等比数列。

4.双曲线与圆等几何图形综合考察

学生在中小学除学习双曲线知识外，学生还要学习了圆等几何图形的定义及性质，并要做到应用这些几何图形的定义以及性质解决一些简单的问题;而高考是对于学生综合能力的考察，这里的综合当然也包括综合利用众多图形关系解决实际问题.在这一小结中，主要陈述综合利用双曲线和其他几何图形.这是双曲线问题中较为困难的，不仅要求学生对于众多几何图形，包括双曲线的有足够的认识，并且能做到明确地区分它们之间的不同，同时，又能充分利用它们的几何关系给出正确的解法和答案.这类问题困难程度较大，需要学生在掌握基础知识的前提下，发掘它们的关系，善于思维，精于从图形中找到解题的关键，善于较为复杂的运算.就实例如下.

例6[2016高考天津理数]已知双曲线，以原点为圆心，双曲线实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、、、四点，四边形的的面积为，则双曲线的方程为（;）

（A）（B）（C）（D）

解析：

根据双曲线的对称性，我们假设A点位于第一象限，，

∴，

∴，故双曲线的方程为，故选D.

例7[2017课标II，理9]若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（;）

A.2;;;B.;;;C.;;;D.

解析：

由圆与双曲线的位置关系可以得双曲线的渐近线是：，

圆心到渐近线距离为：，

不妨设点到直线的距离：，

即：，整理可得：，双曲线的离心率.

故选A.

结语

高考中双曲线问题一直是考察着重于学生对于高中几何知识的掌握程度，并综合于对于解题能力与思维能力，在这些年的高考试卷上考察的方式很多多是以选择题与压轴解答题的形式出现.利用双曲线是在高考中是解决双曲线简单问题的常用方法，例如对于一般的选择题或大题第一小问;但对于一般较为复杂的问题就特别讲究解题的技巧与对于双曲线以及相关知识的理解程度.如在解决直线与圆锥曲线相交问题时，一向采用设出方程但不求出具体数值，然后利用韦达定理得出相应数值关系，可以说韦达定理起到了一个代换的作用如例5.同时在解决高考中较为困难的双曲线大题时，要利用的知识不仅有高中几何知识，常见的有勾股定理，圆上的点到圆心的距离相同等知识.在高考中一般的较为困难的是对于双曲线与圆等图形的综合考察，学生应该在了解这些几何图形的性质的前提下，联系几何知识做到技巧性的应用.在高考中一般的较为困难的是对于双曲线与圆等图形的综合考察，学生应该在了解这些几何图形的性质的前提下，联系几何知识做到技巧性的应用.可以说学生要真正掌握圆锥曲线问题需要的知识积累与解题技巧大庞大的.本文就常见的题型及方法由以下归纳的：数形结合 待定系数法 利用双曲线与圆等图形的性质的方法.

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作者简介

陈幸（1996.9—），男，汉族，四川绵阳人，本科在读，四川民族学院理工学院，研究方向：数学与应用数学。