数学学习错误的教育意蕴及其分类应对（下）

山东淄博师范高等专科学校 张良朋

（接2019年第11期第7页）

（二）认知性错误及其教学应对

认知性错误属于学习探究性错误，主要是指学生在学习探究阶段因不当的思考方法和学习策略而引发的错误，从形态上分析属于过程性错误。

学生完成学习任务的过程其实是一个自主进行问题解决的过程。这个过程的关键步骤有两个：一是对题目提供的信息进行合适的知识表征，二是运用认知迁移规律实施有效的问题解决。在知识表征阶段，主要决定学生能否以合适的信息结构重组已有信息，进而给第二阶段的认知迁移提供合适的解题原型进行知识匹配，这是能否高效解决问题的前提条件。在认知迁移阶段，主要决定学生运用的解决问题的每个策略是否合理可靠并能彼此间构成指向最终目标的解题链，这是能否顺利实施解决问题方案的保障条件。

数学史上，“哥尼斯堡七桥问题”曾经难倒过很多人，后来被大数学家欧拉轻松解决。显然，在“哥尼斯堡七桥问题”的解决过程中最具突破意义的一步是欧拉把它表征为与之等价的“一笔画”问题，使原来毫无头绪的问题变得清晰明朗。而“一笔画”问题解决起来并不太困难，“哥尼斯堡七桥问题”遂得以顺利解决。这充分表明问题表征对顺利解决问题的重要性。

有一个小学数学的例子也充分表明了知识表征对有效解决问题的重要性。

题目：有水果糖4千克，每千克3.2元；奶糖5千克，每千克4.8元；芝麻糖11千克，每千克6.4元。将这些糖混合成什锦糖，这种什锦糖平均每千克多少元？

在交流解题方法时，有个学生提出算式可以这样列（方法①）：（3.2+4.8+6.4）÷3＝4.8（元）。

令人意外的是，这种解法得到了大多数学生的认可，说这样做简洁明了。此时，教师要求学生按照一般方法进行计算。经过计算（方法②），学生发现结果不一样。

问题出在哪里了呢？在教师的引导下，学生通过改变各种糖的数量再次计算，发现用方法①解答的结果始终是不变的，方法②解答的结果是随着每种糖数量的变化而变化的。可见方法①是错误的。此时，好多学生仍不理解第一种方法为什么是错的，变得十分困惑。教师引导学生对两种解法进行比较，经过反复辨析，学生终于明白这种“加权平均数问题”与以前学的算术平均数问题类型不同，生搬硬套是不可行的。表面上看是因学生审题不仔细、思维不灵活导致错误，其实从一开始学生的题目表征就出错了，所以紧接着的解题活动都变成了白费工夫。

基于上述分析，学生的认知性错误主要分为两类：一类是题目表征性错误，一类是认知迁移性错误。

1.题目表征性错误的应对策略

题目表征性错误的主要症状有：

（1）根据“关键词”进行无意义的题目表征

如在解答应用题时，抓关键字词对分析、解答应用题有一定的帮助，但过度使用会导致学生思维僵化，产生错误的题目表征导致解法出错。比如：有的学生认为题目中问“一共”表示用加法来做，问“还剩”表示用减法来做。有的教师总结了分数乘除法应用题的解题技巧。第一步，先看关键词“占” “比” “是”，关键词后为“单位1”。第二步，对照“单位1”，再去定分率，比“单位1”多，用1加分率；比“单位1”少，用1减分率。第三步，已知“单位1”，就用乘法做；若求“单位1”，除法来解决。运用这样的解题技巧，其实不是在引领学生进行真正的数学思维活动，它舍弃了对问题情境中隐含的抽象数量关系的分析，把运算背后的数学意义置于可有可无的境地，解题被简化成了一个“简单对应，机械套用”的活动。

这两道例题能套用上述解题“技巧”求解吗?例1中没有“是、占、比”这些字词，学生怎样找到单位“1”呢?例2中“是”字后是黑兔，难道黑兔是题目中的单位“1”吗？显然，如果用所谓的解题“技巧”来解答例1、例2，学生会因不会找或找错单位“1”而出现不会做或做错的现象。学生解题频出错，硬套“技巧”惹的祸！

（2）根据“标准式”进行单一化的题目表征

例如：张明家距学校500米，李刚家距学校800

（3）根据“常规做法”进行无变通的题目表征

例如，学习三角形面积计算问题，学生往往会先找出三角形的一条底和这条底上的高，再利用面积公式计算出面积，这种思维定式在学生大脑中早已根深蒂固。这种定式，对于解决已知底和高，再求三角形面积的问题，学生可以不假思索地给出正确的解题方案，但对于解决下面的变式问题，学生可能会束手无策了。请看曹培英老师的具体分析。

试根据下列条件，求下图梯形中阴影部分（三角形）的面积。

（1）已知梯形上底4厘米，下底8厘米，空白部分（三角形）面积为20平方厘米；

（2）已知梯形下底是上底的2倍，空白部分（三角形）的面积为24平方厘米。

解决问题（1），学生大多“舍近求远”，通过梯形上底和空白三角形的面积，求出两个三角形共同的高，再求阴影部分的面积，却没有想到，既然高相等，那么其中一个三角形的底是另一个的2倍，由此它们的面积关系当然也是2倍。

解决问题（2），多数学生一拿到题目，就陷入了寻找底和高来解决问题的思维套路之中，自然是做不出来的。也有个别学生见此法不通，想到先假设出上底的具体数据，再利用上底与下底的关系求出下底，再求出两个三角形共同的高，最后算出阴影部分的面积。这种烦琐的解法实际上还是“底高定式”的产物。

正是因为找不到合适的题目表征方式，才造成了学生解题无解、错解或只能获得效率不高的解。

克服题目表征性错误的策略主要有两个：

（1）有意识地发展符合“通性通法”的题目表征

数学教学的重要目标之一就是使学生掌握体现数学学科特色思维，符合数学“通性通法”要求的思维能力。这种思维能力是数学学科核心素养的核心标志。正如章建跃老师指出的，在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的数学基本性质，“通法”就是概念所蕴含的思想方法。解题教学中，注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才是追求数学教学的“长期利益”。如果教师过分强调某种特定的技巧、某些特殊的标志（其实都是人为的、非本质的规定），就会把学生的思维越教越死，使学生越学越笨，最终贻误了学生的长远发展。

例如，学习“归一问题”，学生容易将其解法与特定的情节内容、特定的叙述（如“照这样计算”）建立起联系。在初学阶段还能顺利过关，但由此形成的定式会阻碍归一算法应用范围的拓宽，进而影响学生的思维深度和思维灵活性。因而，需要教师适时变换问题情境，帮助学生实现解题方法的迁移。就解决问题的教学而言，淡化问题类型特征，强化数量关系分析，养成具体问题具体分析的学习观念，无疑是一种良好的数学学习素养，具有广泛的正迁移价值。

（2）提防过度“类型化”，要经常不断地回归到知识意义的源头

随着学习时间的延长，学生学习的经验愈加丰富，头脑中储存的“类型化”信息越来越多。这些“类型化”信息有力提升了学生对题目表征的速度，但同时也会限制学生灵活表征意识和水平的发展。在日常教学中，教师不能一味督促学生提高解题的速度、满足于解法的正确，要经常性地追问这样做的根据和意义。要让学生真正能思考起来，而不是一味地套用、练熟。特别是在刚开始学习一种新类型题目时，教师一定不能因贪图省时省事而放弃让学生经历多元表征的环节，过早地强加给学生一个所谓的成熟“范式”。

2.认知迁移性错误的应对策略

迁移是指已经获得的知识、技能和学习方法对学习新知识和新技能的影响。人们常说的举一反三、触类旁通就是一种迁移促进问题解决的实例。迁移有正负之分。一种知识技能的掌握，促进了另一种知识技能的有效掌握是正迁移。反之，产生干扰作用的就是负迁移。因此，迁移对解决问题有积极与消极的双重影响。

认知迁移性错误的主要症状有：

（1）不当扩大类推

把以前获得的某种解决问题的方法，类推到了一个新的领域中使用，却没有考虑到原题中的条件限制或只注意了形式上的相似性。类比思维是通过知识间的相似性，以及这种相似性间存在的可比较性得到启发的，是解决问题的重要思维方法。但类比思维根据并不充分，推理的过程跳跃性强，无法保证所推出的新结论是必然的。

比如：学生在学习乘除法以后，从乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c成功类推出（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c，又想当然地从a×（b＋c）＝a×b＋a×c中错误类推出a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c，从而使计算产生了错误，

（2）拘泥已有成见

研究表明，在解决问题时，学生大多倾向于通过“模仿”已做过题型的解题方法去解决类似的新题目，即使是碰到不同类型的，仅说法或形式上存在相似性的题目，也会不假思索地套用原有的解法进行解答，从而产生错误。

比如，有这样一道题：右图是人民医院包扎用的三角巾。现在有一块长18米，宽0.9米的白布，可以做多少块三角巾？学生读题、分析、学习求解得：

①长方形面积：18×0.9＝16.2（平方米）；

②三角形面积：0.9×0.9÷2＝0.405（平方米）；

③三角巾块数：16.2÷0.405＝40（块）。

接着教师引导学生列综合算式：

（18×0.9）÷（0.9×0.9÷2）＝40（块）。

最后教师小结：像这样，求一个平面图形包含有几个另一个平面图形的问题，只要用“大平面图形的面积除以小平面图形的面积”就行了。倘若把原题中的长是“18 米”改为“8. 1 米”,宽是“0. 9米”改为“2 米”，其余条件不变。那么，这块白布能做多少块三角巾呢? 如按这位教师总结的规律去做,此题三角巾块数是：（8.1×2） ÷（0.9 ×0.9÷2） =40 （块） 。但在实际裁剪中,只能做36 块三角巾（碎布拼凑的三角巾不在此列）。教师总结的这种解题方法，其实是一种狭隘的思维“成见”，没有考虑到题目中的数据特征、实际裁剪的方式方法及原材料能否被全部利用都会直接影响问题解决的方式及最终结果。当学生自认为手握解题利器无往不胜时，迎接他的却注定是一个错误的结局。

（3）习惯就事论事

在解决问题时，学生往往不能超越已有经验的狭隘性（知识的概括水平不高），把曾经用过的方法按照情境条件的相似性进行选取，不能真正从问题的数学本质出发选择方法。

例如，这样一道应用题：“甲、乙两地相距50千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了全程的，这时这辆汽车离甲地有多远？”学生在解答的时候往往会这样列式这是因为学生以前做过与此情节类似的题目，求解“汽车离乙地还有多远？”这种先前经验的多次出现，使学生不由自主地沿用了过往的思维路径，导致解题错误一而再再而三地发生。

（4）消极思维定式

学生在解决问题之前，必须收集相关信息，积累相关经验。在这个过程中，学生可能受到已有知识经验的影响，使所收集的信息异化成自己所期待的，而不是问题中的原有信息，从而产生消极的思维定式。

例如，学生在做惯了像“飞腾电器厂有职工270名，男、女职工人数的比是5∶4。这个厂的男、女职工各有多少名？”这样的按比例分配应用题后，假如再碰到下面这道按比例分配应用题：小明期终考试语、数、外三门的平均分是80分，语、数、外这三门的分数比是9∶8∶7。小明这次考试三门的分数各是多少分？学生往往会不假思索地这样解答从而闹出笑话。这正是学生的消极思维定式在作祟。

克服认知迁移性错误的应对策略主要有：

（1）加强对比性训练，提高学生把握题目深层意义的能力

认知迁移主要根据的是相似性原理，所以有时就会被知识之间的“表面”相似性所蒙蔽，导致负迁移的产生。通过对比性训练，就能把那些相异性因素和本质性因素分别凸显出来，从而使学生对题目深层意义的把握能力有效提升。

（2）组织辨错、析错活动，提高学生的纠错能力

有专家说，如果我们不审视我们的错误，我们就无法从错误中学习。同样，如果学生没有学会辨错、析错和纠错，就不可能真正做到“吃一堑,长一智”。教师应积极引导学生开展辨错、析错、思错、改错活动，促使他们理解错误、反思错误、利用错误、纠正错误。课后可引导学生编制“错题集”“纠错本”“病例册”，写“学科改错日记”等,真正实现一“错”多得，把错误“绊脚石”加工成成功“垫脚石”，充分发挥错误中蕴含的教育价值，让学生在错误中得到进步与提高。

（3）引导学生进行思维调节活动，提高学生的元认知水平

事实上，在问题获得最终解决之前，我们很难对解题活动的过程发展和细节表现做出十分精准的预测。恰恰相反，随着解题活动的开展和深入，由于新的关系的暴露及自我的进一步卷入，已有的想法很可能会发生改变，即如一些原先被认为很有希望的解题途径可能被揭示为没有前途的“死胡同”。另外，人们也可能会产生一些新的想法，一些事先没有想到的解题途径突然在头脑中出现了，从而对原来的解题途径做出必要的调节是不可避免的。思维调节的目的就在于使解题进程不至于偏离正确轨道太远，使解题系统从不平衡趋向平衡，从旧的平衡趋向新的平衡。因此，学习者在解题过程中应当经常问自己：“我的解题方案是否可行？实施这个方案困难有多大？是否存在更简便的解题途径？我现在面临的困难是什么？我可能会出现什么样的错误？错误的症结在哪？面对错误，有效改进的方法是什么？如果陷入停顿，我是否有必要返回从头再检查一遍？我现在已经进行到哪一步？已经取得了哪些成果？这些成果对进一步求解问题有什么作用？我现在是否比原来更接近目标了？接下来我应当克服什么困难？我选择的‘次目标’是否与终极目标一致？等等。”

（三）情意性错误及其教学应对

情意性错误主要是指学生在学习活动中因不当的态度和习惯而引发的错误，从形态上分析属于意向性错误。

在学习活动中，学生出错的诱因除了知识性和认知性上的，情意性上的影响也十分明显。这种错误与学生的性格特征、生活环境息息相关，渗透在学习活动中的每个环节，克服起来更加困难，需要更多的时间和更坚韧的努力。

常见的情意性错误主要有五种表现形态：

（1）畏缩保守型

在学习活动中，学习者不愿意主动学习，很少发表个人意见，怕被别人批评，即使有不一样的想法（哪怕是正确的）也没有勇气发表，“不求有功但求无过”。这种畏首畏尾的学习心理导致学生拘泥于已有成见，无法洞察问题的真正核心和本质，往往在烦琐、机械的推演中举步维艰，最终付出学习失败的代价。

（2）粗心大意型

在学习活动中，学习者表现得冒冒失失，常常未加思索就开口发表意见，做事欠周详，漏洞特别多，不能长时间专注于一件事情的解决上，常常在“小沟里翻船”。

（3）过度紧张型

在学习活动中，学习者表现得十分恐慌、犹犹豫豫，即使心里想明白了嘴上仍说得语无伦次，对别人的看法过于敏感且往往视作一种威胁，常常怀疑自己，总是不能充分展示自己的学习水平。这极大地降低了这类学生的学习效能感，造成大量意想不到的错误。

（4）不够坚韧型

在学习活动中，学习者克服困难的决心不够大，遇到错误时还未真正投入努力就打退堂鼓，做事情（尤其是耗时较长、困难较大的）很少坚持到底，离学习成功总是差那么一点点。

（5）过度自我型

在学习活动中，学习者固执地维护自己的观点和做法，要求别人听自己的，却听不进别人的意见或建议，不能顾及别人的内心感受，很少让步，很难沟通，缺乏真正的合作精神。过度自我者缺乏开放的思维态度，不能有效吸纳和利用他人提供的新信息，事实上，过于自我的观念会将学习者置于狭隘的学习境地，不但无助于问题的有效解决，反而会衍生出更多的错误，重犯错误的概率很高。

针对上述情意性错误，应对的策略主要有：

（1）宽容纳错

在学校，学生们大多都很惧怕出现错误，因为出错被认为是不光彩的事情，应该受到批评甚至惩罚。有的教师怀着“恨铁不成钢”的心态对学生的错误报以怒吼、斥责、讽刺，在这样的环境中，谁还会愿意与错误扯上关系呢？这样对待错误，其实恰恰掩盖了真实的问题，也错失了教育的契机。出错，是学习过程中的正常现象，是每个学生的权利。教室，是允许学生出现错误的地方。改变错误观，应从教师做起。错误资源化，应从宽容错误、善待错误开始。在心理安全和心理自由的教室里，才能最大限度地激发学生主动学习的精神，塑造积极学习的班级学习文化。教师应注意运用同理心组织自己的评价语言，比如：（1）当初老师学这部分内容时，就老是出错，还没你现在表现好。不过，老师很会改错啊！你肯定也能行！（2）错了不要紧，改了就是好学生。再想想，看自己能不能改好了。（3）错误已经出了，后悔没什么用。关键是找到原因，改正错误，踏着错误继续前进！

（2）理解错误

有一个十分精辟的观点：错误只有被理解、被认识后才能体现它的价值，也只有这时“失败才会是成功之母”。错误中潜藏的教育价值只有在理解的空间中才能释放出来。不明白学生为什么出错，不了解错误表现背后的积极因素，看不到错误中隐含的教育资源，只会出现误解和误用。理解了错误，学生才能逐步学会怎样对待错误，学会如何汲取错误中积极有益的东西而摒除消极有害的东西。如下引导语可供教师参考：（1）这个错得有价值（这真是个高明的错误）！你这一错，全班同学都会引起注意了。谢谢你！（2）你的结果错了，但解决问题的方法没有全错。再检查一下，是哪个环节出了问题呢？（3）为什么会出现这样的错误呢？我们大家一起来帮这位同学找一找原因。

（3）利用错误

贝恩布里奇曾说过：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”错误是学生学习过程中的相伴产物，是一种具有特殊教育作用的学习资源，是一种宝贵的教学资源。华应龙老师告诉我们：“在这样一种融错教育中，积淀下来的就是学生创新的人格，在学习的过程，他不但掌握了知识，而且还养成了敢于尝试的良好习惯，错了、失败了，他会去分析，然后再不断地探索。这种教育能帮助学生磨炼出百折不挠的意志品质。”教师在教学中，应充分发掘错误中的积极教育因子，让“差错”显露出它的价值，将其转化为有利于达成教学任务、促进学生发展的教学资源。当学生认识到学习错误的可贵之处，并能有意识地利用学习错误这块垫脚石时，标志着他们的情意水平已然跃升到了新的境界。

第一，从错教起，把错误作为教学素材。

学生出错了，势必会在学生原本平和的心理上激荡起比较强烈的认知和情绪体验。如果以学生的错误“作品”作为素材对之进行教学法上的加工，就能够产生“以子之矛，攻子之盾”的教学效应，有力地促进学生认知的完善和思维的发展，增强学生对错误潜在价值的识别和利用能力。

第二，教师出错，培养学生的自查习惯。

课堂是允许学生出错的地方，这已逐渐成为广大教师的共识。如果教师出错了呢？显然，其触发的心理效应一定会更加热烈、持久和广泛。作为教师，如果能够利用学生的这种特殊心理效应故意犯点错，肯定能引发学生对错误的特别关注，有效提升他们自我检查、自我改错的意识和质量，进而培养起自觉自查、自纠自改的习惯。

第三，交流错误，引导全班共同发展。

通过交流错误，错误就会由“个别”学生的专有资源转化成“集体”所有的共享资源，能促使各个层次的学生投入辨识错误、剖析错误、修正错误、反思错误的学习活动中。错误不再被犯错者遮遮掩掩，而是成为大家愿意公开谈论的话题和借以继续攀升的学习阶梯，在良性互动中，学生得以相互激发、彼此激励、交互提醒、互相滋养、协同发展。

第四，制造错误，推动学生的深度发展。

英国学者爱德华·德波诺认为：从A处到B处，驾车者常常因为车速过快而忽视了路旁还有一个C点（尽管C点有一条更好的路通向B），从A到B的路越顺畅，C点被忽略的可能性就越大，这就是注意的滑过现象。这就是说，如果学生的学习过程太过顺畅，反而不利于学生的充分发展。因此，教师在课堂上有意制造错误，使“错误”与“正确”发生激烈的正面交锋，有助于触及和消解学生真实的思维矛盾，促使其充分内化知识本质，从多个角度切实提升素养发展层次。

第五，反思错误，提升学生的自我教育水平。

情意性错误，很大程度上是因为学生注意力难以集中、粗心大意造成的，同学习个体不良的学习习惯密切相关。克服这种错误，必须从培养良好的学习习惯着手，这是一个长期且艰巨的过程。靠教师不断地说教，“做作业要认真细致，不能粗心大意”“下次不能再错了，再错必定重罚”，往往收效甚微。化解问题的关键还是要发挥学生的主体作用，让他们学会自己发现错误，反思出错的原因，找寻改错的路径，发挥错误的价值。经常让学生反思、改正自己的错误，让他们自己教育自己，就能逐步达到促其养成正确的错误观和高超的析错、改错、用错能力的育人目标。