基于空间缆索悬索桥初始平衡态的数值分析方法

谢维超 黄 鹏 银庆友

(1.中国市政工程中南设计研究总院有限公司 武汉 430014；2.中国中铁一局集团有限公司第三工程分公司 宝鸡 721000)

悬索桥是由主缆、索鞍、加劲梁、吊索、塔墩，以及锚碇等主要构件组成的柔性结构桥梁。由于主缆的“柔性”，悬索桥在施工阶段中会出现较大的几何变形。因此，必须考虑结构的大位移(几何非线性)特性。同样在进行成桥运营阶段分析时，由于其几何非线性特性，叠加原理不再适用，导致荷载不能互相组合。这给悬索桥的结构验算带来相当大的困扰。

目前对于悬索桥的计算一般采用线性化有限位移法。悬索桥施工阶段及成桥运营阶段受力的计算结果表明，主缆承受的80%以上的轴力均由恒载产生，恒载以外其他荷载的影响很小。在给主缆及吊索施加了足够张力的成桥运营阶段，其他荷载(车辆荷载、风荷载等)作用下的结构效应显示为线性。所以在做悬索桥的成桥运营阶段分析时，可以将初始平衡状态下(施工完后的成桥状态)的主缆和吊索的张力转换为几何刚度，对于今后运营荷载做线性化分析。这种方法称为线性化有限位移法。

因此，悬索桥初始平衡状态(成桥状态)是成桥运营阶段线性化分析的基础。由于主缆的几何非线性特征，悬索桥初始平衡态下的主缆空间坐标及内力求解就变得十分困难。鉴于此，本文介绍一种基于节段悬链线方程的空间缆索悬索桥初始平衡态求解的数值分析方法。

1 计算假定

在主缆的分析计算过程中, 采用下列3 条假定[1]。①主缆材料线弹性, 符合胡克定律；②主缆是理想柔性索, 只能承受拉力，截面抗弯刚度对缆形的影响忽略不计；③不考虑变形前后主缆横截面积的变化，即变形前后的自重集度不变。

基于以上假定, 主缆的自重恒载沿索为恒量, 主缆曲线在自重作用下呈悬链线, 且满足线性应力-应变关系。

2 节段主缆悬链线迭代方程

主缆节段受力状态见图1。

图1 上端点为坐标原点主缆受力状态

图1中A、B分别为主梁相邻两吊索的吊点，以上吊点B点为原点，纵向为X轴，竖向为Z轴，建立直角坐标系。A、B点的纵向距离为L，高差为h。主缆的自重线集为q，沿索长均匀分布。A、B点的主缆拉力分别为TA、TB，取主缆上任一段BC为脱离体，长度为s，C点主缆拉力为T，建立平衡方程(1)和(2)。

∑x=0，Tcosα-TBcosαB=0

(1)

∑z=0，Tsinα+qs-TBsinαB=0

(2)

求解方程(1)、(2)得悬链线方程[2]，见式(3)。

(3)

A、B点高差h见式(4)。

(4)

A点斜率kA见式(5)。

(5)

受力后主缆长度见式(6)。

(6)

主缆的无应力索长[3]见式(7)。

(7)

根据上述推导公式可知，若已知主缆B点斜率kB，由式(4)～式(7)可得h、kA、S、Sy。这将是后面整个主缆线形数值迭代的基础公式。

(8)

(9)

(10)

(11)

图2 下端点为坐标原点主缆受力状态

3 悬索桥初始平衡态求解

合理的悬索桥初始平衡态一般是加劲梁以吊索点为支点，表现出多跨连续梁的受力状态。主缆在桥塔索鞍处边、中跨两侧的水平力相等。桥塔不受弯矩，处于轴心受压的状态。其初始平衡态的求解顺序是先求出加劲梁在多跨连续梁受力状态下各吊索点的支反力，然后以此支反力作为吊索下锚点的竖向力求出吊索在主缆处的上锚点竖向力(吊索上锚点竖向力等于下锚点竖向力与吊索自重之和)，最后根据吊索对主缆的竖向力求出主缆的成桥线形和无应力长度。

利用midas软件求解初始平衡态的步骤是：首先建立以吊索下锚点为支座边界的加劲梁模型，利用最小弯曲能量法[4]将加劲梁的抗弯刚度缩小10-4～10-5。在自重及二期恒载下的支反力即为吊索下锚点成桥时的竖向力。同时求出梁的平衡单元节点内力；然后由于吊索内力比吊索自重内力要大得多，计算可先不考虑吊索自重，可取吊索上锚点竖向力与下锚点竖向力相同；最后根据主缆在各吊索点的竖向力求出主缆的成桥线形和无应力长度。由平衡单元节点内力、吊索内力、主缆的成桥线形和无应力长度建立全桥的初始平衡态。

对于空间缆索，不仅要已知吊索的竖向力，还需得到吊索的横向力。主缆的横向力可在主缆横向坐标迭代计算中得出。本文先将主缆的Z向(竖向)坐标和Y向(横向)坐标分别求解。在此基础上再将2个方向合并考虑计算，以加快数值迭代收敛速度。

4 主缆的竖向坐标迭代分析方法

在主缆竖向坐标的计算中，主缆的各吊索点的X向(纵向)坐标、后锚点和索鞍处的理想IP点的空间坐标和中跨跨中最低点竖向坐标(垂度)是已知的。由于一般中跨是对称布置的，所以最低点是在1/2中跨处。

主缆竖向坐标迭代分析的顺序为跨中至桥塔，再由桥塔至边跨后锚点。对于中跨取其一半，采用图2推导得出的迭代式(8)～式(11)，从下向上计算。具体流程见图3。

图3 主缆竖向坐标迭代流程图

5 主缆的横向坐标迭代分析方法

空间缆悬索桥主缆具有三维线形原因是主缆桥塔IP点、主缆边跨后锚点和吊索下锚点这三者的横桥向位置不在同一直线上造成的。当吊索张拉后，吊索力的横向分力使主缆向内收紧或向外扩张。整个主缆的平面投影线形为两吊索间主缆的水平面投影，为直线，各节间主缆水平投影与X轴(纵向)呈不同夹角的折线。

图4 吊索受力横断面图

图5为相邻2节段主缆i、主缆i+1的水平面投影。

图5 主缆水平受力图

主缆横向坐标迭代分析的顺序也是跨中至桥塔，再由桥塔至边跨后锚点。可先给出跨中最低点横向坐标初始值，依次求出各吊索的横向坐标直至桥塔处。若桥塔处横向坐标与计算求解的结果相差较大，则修改跨中最低点横向坐标直至两者的差值小于收敛值，迭代收敛结束。

6 主缆的竖、横向合算迭代分析

对空间缆索而言，由于节段(两吊索间)只有自重作用，因此，缆段总是在一个铅垂面上，只是主缆各节段在水平面上的投影与桥轴线的夹角不同[5]。此时，只要将主缆水平力分解为沿桥轴线和垂直于桥轴线2个方向的分力，确定了这2个水平分力，即确定了缆段所在铅垂面的空间走向，弹性悬链线方程在这个铅垂面上也是适用的。

由于主缆竖向线形计算时，主缆的受力长度和无应力长度未考虑横向位移影响。在主缆空间线形分析中，节段主缆在纵、横向坐标迭代的基础上以水平面投影为方向重新计算即可。本文基于上述方法用Fortran90编制空间缆线形计算程序CSASBSC。以宝鸡联盟路渭河大桥为实例，计算主缆成桥线形，并用midas软件建立非线性独立模型检验计算结果。

7 实例分析

宝鸡联盟路渭河大桥是一座跨径为50 m+95 m+200 m+95 m+50 m的自锚式悬索桥。中跨跨径为200 m，垂度为40 m。边跨后锚点横向距离为21.76 m，索鞍IP点横向距离为25.4 m。后锚点距索鞍IP点竖向高差为49.14 m，距离桥塔的纵向距离为94.5 m。主缆由19股索股组成，每索股由91根直径为5.3 mm镀锌或镀锌铝高强钢丝组成，钢丝标准抗拉强度不小于1 770 MPa。加劲梁的一期恒载及二期恒载合计为208.7 kN/m。

利用空间缆线形计算程序CSASBSC可计算出主缆的空间坐标及节段主缆无应力长度，节段主缆无应力长度见表1。

表1 节段无应力长度

各吊索对主缆的竖向力和横向力见图6。

图6 各吊索在上锚点对主缆的节点力(单位：kN)

用midas建立主缆模型，考虑几何非线性及平衡单元节点内力，计算主缆位移结果，见图7。

图7 主缆平衡态位移(单位：mm)

由图7可见，midas计算位移为0 mm，证明主缆平衡态是正确的。全桥平衡态主梁、主塔弯矩内力图见图8。

图8 全桥平衡态主梁弯矩图(单位：kN·m)

由图8可见，主梁最大弯矩为2 439 kN·m，最小弯矩为-2 424 kN·m。主梁弯矩均匀，主塔处于轴心受压状态。说明全桥初始平衡态是合理的。

8 结语

本文利用节段主缆悬链线方程得出空间缆索悬索桥初始平衡态的数值分析方法。由于实际节段主缆是悬链线，因此本文方法具有极高的精度。同时，理论上来说此方法可以得出任何总体布置需求的悬索桥初始平衡态。如中跨跨中无吊索、索鞍高程不同造成的中跨不对称形式等。对于中跨不对称形式只需找出中跨的最低点，剩下求解过程就和对称结构相同了，这些是midas计算软件无法实现的。这为今后悬索桥形式设计的多样性提供了可能。