一类具有状态脉冲反馈控制的害虫治理模型

黄立壮，刘琼*,，陈武大仁，马艺铭

(1.北部湾大学理学院，广西钦州535011；2.广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004)

数学模型在农业生态学中应用非常广泛，尤其是在害虫防治方面，从早期文献[1-5]可以看出，生态学家一直在寻找理想的病虫害治理方法，他们试图通过建立数学模型，根据模型分析种群之间的性态，从而实施生物防治。生态数学爱好者对生物防治有极大的兴趣[6-7]。生物防治方法很多，例如利用微生物防治方法治理病虫害[8]。也有利用捕食性天敌捕食害虫，从而达到消灭病虫害[9]。人们发现利用单一的生物防治并不能有效地控制病虫害，有学者提出实施有害生物综合治理的方法(也称为IPM防治策略)，并取得一定成果[10-11]。

最近十多年以来，农业生产病虫害研究进入了一个新的阶段，病虫害防治取得了一些显著的成果，归纳起来主要有两类，第一类采用化学实施治理病虫害，但是随着时间推移，害虫体内产生抵抗耐药性，很难杀死害虫。同时，农药的使用也会对环境产生一定的危害。第二类实施害虫综合防治策略[9,12]，在害虫治理过程，不单纯使用农药，要结合实施释放害虫的天敌共同治理害虫，把害虫数量控制在农作物能承受的范围内(EI，也称为防治指标的阈值)，一旦害虫达不到这个阈值并不需要实施害虫治理。在害虫治理过程，天敌的投放和喷洒农药的过程，用微分方程刻画并不是十分准确，因为天敌的投放和喷洒农药的过程，包含两部分，瞬时和连续状态，此时宜采用半连续动力系统刻画，更能反映害虫治理的客观实际。从提出半连续动力系统理论应用于害虫治理以来，许多生态学家和数学爱好者热衷于半连续动力系统的害虫治理模型研究[13-14]。文献[15-16]研究了害虫治理的状态脉冲模型，系统研究了模型具有的性态，讨论了模型存在阶1周期解的充分条件以及存在阶1周期解轨道稳定的若干条件。从以上文献可以看出，学者建立病虫害脉冲微分方程基本涉及线性微分方程或非线性微分方程。对于含时滞脉冲微分方程治理模型研究成果相对少，文献[17]针对害虫治理的实际问题，建立了一类脉冲微分方程害虫治理模型,采用半连续动力系统几何理论以及微分方程定性理论，证明阶1周期解存在需要满足一定的参数条件，当存在阶1周期解时，采用新的几何方法证明其阶1周期解轨道是稳定的。

基于上述文献分析，下面笔者考虑一类具有状态脉冲反馈控制的害虫治理模型，研究建立的害虫治理模型阶1周期解存在的充分条件，在阶1周期解存在时，采用新的几何方法证明其轨道是渐近稳定的，这些研究结论可为害虫治理提供立理论参考依据。

在文献[17]考虑了如下模型。

(1)

(2)

其中b表示不饱和状态下害虫种群密度增长系数，c表示密度制约系数，相关的生物参数意义见系统(1),为了弄清系统(2)所具有的种群性态，下面作自变数变换，令dτ=(k+blnx(t))dt，为方便记忆，作变换后扔把τ记为t，则系统(2)化为如下等价系统:

(3)

(4)

为方便记忆，仍把u(t),v(t)分别记为x(t),y(t)，文中出现的x,y均指的是x(t),y(t)。则系统(4)改为如下系统。

(5)

由于系统(2)与系统(5)为等价系统，可通过研究系统(5)具有性态，便知道系统(2)所有的性态。

1 相关定义和引理

定义1考虑如下状态脉冲微分方程[18]:

(6)

定义2若在相集上N，∃p∈N且∃T1满足f(p,T1)=q1∈M{x,y}，而且脉冲映射φ(q1)=φ(f(p,T1))=p∈N{x,y}，则f(p,T1)称为阶1周期解[18]，其周期为T1，见图1。

定义3脉冲集用M表示，相集用N表示，脉冲集M以及相集N都是直线，见图2所示。设相集N与x轴的交点为Q，一条轨线从相集N上点E出发，交于脉冲集M上的点G，在脉冲映射作用下，交于相集N上点E1，则点E1为点E的后继点，相集N上点E1、E与x轴距离分别用e1、e表示，则点E的后继函数G(E)=e1-e。

图1 阶1周期解示意图Fig.1 Order-1 periodic solution diagram

图2 后继函数G(E)=e1-eFig.2 Successor function G(E)=e1-e

定义4假设Γ是系统(5)半连续动力系统周期解，若∀ε>0，3，∃δ>0,T1≥0,相集上点p邻域U(p,δ), ∀p1∈U(p,δ)，∀p1∈U(p,δ)，则以p1为初始点的半连续动力系统的轨线f(p1,t)，当t≥T1时，有ρ(f(p1,t),Γ)<ε，Γ称为是轨道稳定的。

引理1后继函数G(E)是连续的[18]。

引理2设连续动力系统(X,Π)，若∃x1,x2∈M,M是脉冲相集，使得后继函数G(x1)·G(x2)<0, 则在x1,x2之间∃E使得G(E)=0。由零点定理可得，则在x1,x2之间必有过E的阶1周期解[19]。

引理3(Bendixon-Dulac判别法)考虑系统

(7)

引理4考虑如下线性脉冲函数状态脉冲系统[20]。

(8)

若半连续动力系统(8)有如图1的阶1周期解pq1，且满足如下条件：

①P(x,y),Q(x,y)对x,y有连续偏导数；

②系统(8)有阶1周期解pq1且其周期为T；

③微分方程轨线与相集N仅有一个交点p，而且在p点相交不相切；

④轨线pq1与脉冲q1线p构成简单凸闭曲线。

2 连续系统正平衡点的定性分析

在系统(5)中，当β=0时，系统变成如下连续的微分方程：

(9)

令:

(10)

2.1 平衡点的存在性及稳定性

定理1系统(5)唯一的正平衡点E*(x1,y1)是局部渐近稳定的。

综上分析可得,系统(5)仅有的正平衡点E*(x1,y1)是局部渐近稳定的。

图3 系统(5)一致有界区域ΩFig.3 System (5) uniformly bounded domain Ω

定理3系统(5)唯一的正平衡点E*(x1,y1)是全局渐近稳定的。

3 阶1周期解的存在性及其稳定性

由前面分析可知，当正参数k,a,b,c,r取不同值时，则系统(5)唯一的正平衡点E*(x1,y1)是稳定的焦点或者是稳定结点，下面分别讨论。

3.1 焦点型时阶1周期解的存在性

当01时，lnh>0，根据正平衡点横坐标x1与脉冲集lnh的关系一共分三种情况，下面以定理的形式给出，见如下定理：

定理4①若0

②若(1-β)lnh

③若x1<(1-β)lnh

图4 系统(5)满足0

图5 系统(5)满足0

②采用①相同的方法可证，若(1-β)lnh

图6 系统(5)满足(1-β)lnh

③若x1<(1-β)lnh

图7 系统(5)满足x1<(1-β)lnh

轨线L1,L2与相集、脉冲集均不相交，由前面分析可知，唯一的正平衡点是全局渐近稳定。系统所有的轨线均趋向于这个平衡点，由此可得，在平衡点附近存在一个吸引域，经过充分长的时间，这些轨线停留在吸引域内部，不再跑出吸引域外面。也就是说害虫的危害水平处在经济阀值下，害虫数量达不到设定监控上限，不需要对害虫进行脉冲控制，也不需要对害虫进行治理。

3.2 结点型时阶1周期解的存在性

根据前面分析，同样有，当h>1时，lnh>0，根据正平衡点横坐标x1与脉冲集lnh的关系只有一种情况，存在阶1周期解，下面以定理的形式给出，见下定理：

定理5若0

当0

3.3 阶1周期解稳定性

设系统(5)的阶1周期为T,满足定理4和定理5阶1周期解存在条件时，它的阶1周期解轨道T稳定性，由如下定理确定。

定理6若系统(5)存在阶1周期解，则阶1周期解T的轨道是渐近稳定的。

证明只要系统(5)满足引理4的四个条件即可，下面进行验证。

①可见P(x,y)=r-rcky-rbcxy对x,y有连续偏导数，Q(x,y)=ax-ay对x,y有连续偏导数；

②系统(5)有阶1周期解EE1且其周期为T,从图4、图5、图6、图8均可以看出；

③微分方程轨线与相集N仅有一个交点p，而且在p点相交不相切，从图4、图5、图6、图8轨线的几何结构可以看出。

④从图4、图5、图6、图8可以看出轨线EE1与脉冲E1线E构成简单凸闭曲线；

4 结语

论文建立了一类具有状态脉冲反馈控制的害虫治理模型,利用半连续动力系统几何理论探究害虫治理模型阶1周期解存在的若干充分条件,借用脉冲微分方程理论证明系统存在阶1周期解情况下,其 阶1周期解轨道是稳定的。 从种群的生态意义来说，害虫数量在平衡点附近处于稳定状态时，害虫种群数量永远达不到设定的经济阈值，不需要人工脉冲干预。假如害虫数量达到设定的经济阈值，影响害虫种群的动态平衡，则需要实施人工脉冲干预，使害虫数量控制在经济阈值之下，从而实现害虫数量处于周期性稳定的动态平衡中，这对保护种群的良性发展具有重要的现实意义。