巧设问题情境 提升核心素养

陈详菲

(江苏省昆山市柏庐高级中学，215300)

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》提出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向, 创设合适的教学情境, 启发学生思考, 引导学生把握数学内容的本质”．世界上许多教育强国的课程设置均将情境化设计理念作为落实“素养本位”的有效手段．数学核心素养的发展离不开注重问题情境的课堂教学.本文通过问题情境入手进行合理的实证研究，以期提升学生分析问题、解决问题的能力，发展数学情感.

一、问题情境是情感与认知相结合的心理困境

在教学中创设合适的学习环境,使教学在优化的环境和积极的情感中开展,让学生的情感活动参与认知活动,以激活学习者的情境思维,获得知识、培养能力、发展智力．在这个过程中，学习者沉浸在能够觉察到的一种有目的但又不知如何达到这一目的的心理困境,这种心理困境便是问题情境.

问题情境—模式建构—问题解决与反思成为数学课堂教学活动的基本形式．通过问题情境的创设, 揭示数学产生和发展的过程或背景，以模仿数学家思维活动过程,挖掘数学认识动机、内在联系以及知识的产生和发展的情节，以引起学生的情感体验,促进学生主动参与,激发学生的数学思维.

二、问题情境的本质是启发学生思考

美国数学教育家帕默尔指出:“真正好的教学不能降低到技术层面,真正好的教学来自教师自身的认同和自身的完整．”对六大核心素养水平的要求，体现了数学学科核心素养的四个方面: 情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思．数学学科素养本质上反映的是数学的思维品质．因此,问题情境提出的关键就是要以“启发学生的数学思考”为根本目标.

三、问题情境设计的关键点

1. 问题情境设计的步骤

台湾作家林清玄在他的文章中写道,垦地播种,总是“花未发而草先萌,禾未绿而草先青．”为何?原来草早在耕种之前就已经存在,数学学习是一个从“有”到“更有”的过程．建构主义学习理论,就是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导其从旧知识中“生长”出新知识．所以在设计问题情境之前，首先要考察学生所要学的数学主题与之前所学习过的其他主题之间的关联,通过构建主题学习结构关系图(图1)，明确教学的联结点.

这里的联结点可以是知识上的拓展关系,方法论上的相同、转化、类比关系,思想层面上的同源关系等等．例如任意角的三角函数的定义是从直角三角函数的定义拓展而来,分数指数幂是从整数指数幂拓展而来;圆锥曲线的标准方程与圆的标准方程,直线的方程的求解方法是相同的;等差数列与等比数列在相关问题解决方法上是类比关系;指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等简单函数的定义,相关性质,以及用导数探讨复杂函数的性质的思想上的同源性．其次,思考并设计该主题学习过程中需要解决的核心问题及其顺序．再次,结合学生实际构建数学教学活动的每一个环节．将问题情境的设计贯穿教学的始终.

2. 问题情境设计的关键点

在问题情境设计中，常用的理论主要有:建构主义理论、情境认知与学习理论、奥苏泊尔有意义学习理论、弗莱登塔尔理论等;依据的基本原则有:主体性原则、认知与情意统一的原则、最近发展区原则、层次性和差异性原则、开放性原则、生活应用性原则等．所有的原理和原则不是让问题情境设计得面面俱到,问题情境的创设不能过度．其实，在问题设计中,把握数学教学是培养学生思维的活动,问题情境的本质是启发学生思考,问题情境中不断引导学生思维的碰撞这三个要点来设计问题情境,由此总结为以下三个设计关键点:

(1)从学生思维的难点处设计问题情境

数学教学培养学生的思维体现在哪里?学生能自己看懂的,能自己理解的,老师还用教吗?从课题的本质入手,从学生理解的难点处挖掘.

例如，“函数的单调性”第一课时的引入，其问题情境千变万化,归根结底要解决的难点是:如何合理地、顺其自然地引导学生理解数学问题的代数化,将文字语言转化为代数语言．这个问题解决好了,本节课就成功了.

问题如何用代数语言精确刻画“x增大,y也随之增大”这一特征?

子问题1怎样才能出现“x增大”这一过程,要体现一个数增大,至少要出现几个数?这些数如何代数化?

子问题2怎样才能出现“x增大,y也随之增大”这一特征?

子问题3一次函数y=2x+1,随x的增大,y如何变化?反应出函数的什么特征?

子问题4如何用代数语言精确表述一次函数y=2x+1单调递增的特征?

上述子问题2中,取x1=1,x2=2得到y1=3,y2=5,就说明y=2x+1是单调递增的函数,这种表达方式是否正确?能否用你学习过的函数说明？

设计意图x1,x2的任意性比较抽象,是高中阶段数学中第一次遇到“任意”一词的含义,这是个难点,必须引导学生去辨析,不断地举反例,让学生感受,经历.在课堂中要善于利用课堂上学生的错误作为教学资源,让学生探究错误的原因,探寻错误的根源,更加深入地理解概念蕴含的本质,进而培养学生的抽象能力和逻辑思维能力.

(2)在学生思维的拐点处设计问题情境

数学学习的唯一正确方法是学生将要学的东西自己去发现或创造出来.在这个过程中，学生不是独自前行,需要教师的“保驾护航”．对于一个问题,学生想到的解决思路不只一种,而其中有经过数学家们几百年时间才证明了的不能使用的方法,还需要学生按照这条思路进行下去?这便是学生思维的拐点,也是我们设计问题情境的关键点,只有突破了这个“点”,展现给学生的数学才是有生命力的传承.

例如，“函数的零点”一节中,学生很容易理解方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系．接下要学习零点存在定理．如何判断函数零点的存在,学生有两条思路,一种将问题转化为求方程的根,另一种为求函数图象和x轴的交点．为什么零点存在定理要从图象的角度来研究呢?其实挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次及以上方程没有根式解．所以第一种方法作为通法学生是进行不下去的.

问题情境设计如下:

问题1函数f(x)=x5+x-1是否存在零点?你有什么样的思路?

对于学生提出第一种方法后,教师向学生介绍数学史的相关知识.

问题2带着确定有无交点的任务,再回顾一下画图的过程,是否需要把整个图象都画出来?有无更好的解决办法?

问题3一个函数y=f(x)的区间(a,b),满足什么条件会有零点?

设计意图在这个问题情境中,培养了学生善于思考,严谨求实的科学精神,同时认识了数学的文化价值.

(3) 从学生思维的发散点处设计问题情境

促进学生实践能力和创新意识的发展是新课程的基本理念,创新意识的发展离不开创造性思维的培养,创造性思维以发散思维为核心.在问题情境设计注重增加学生直接经验的同时,也要注重培养学生的发散思维.

例如在“正弦定理”一课中,学生在初中已从空间形式定性地讨论了三角形中边与角的位置关系,正弦定理是定量地揭示三角形边角之间的一种数量关系．猜测正弦定理的基本形式并用斜三角形直角化的方法证明正弦定理,对学生而言并不是难点.正弦定理作为解三角形的基本方法,和其他的数学知识点有着千丝万缕的关系,如何引导学生多角度思考问题,培养学生的发散思维能力成为本节课的关键点.

问题情境设计为:

问题1在任意三角形中,有大边对大角,小边对小角的边角关系,我们能否得到这个边角关系的准确量化的表示呢?

问题2我们研究最多的是直角三角形,你能发现直角三角形中的边角之间的数量关系吗?猜想这种数量关系在任意的三角形中都成立吗?(用几何画板向同学们展示)

问题3你能证明这种边角关系在任意的三角形中都成立吗?能将斜三角形转化为直角三角形吗?这种证明方法的本质是什么?(高相等)

问题4在三角形中,还有哪些方面会用到这种转化关系?由此你能想到还有什么方法能证明正弦定理?

问题5三角形中的边和它所对角的正弦的比为等值,从几何的角度来看,这个比值的几何意义是什么?(提示在直角三角形中它的意义,拓展到任意三角形)由此你还能想到证明正弦定理的方法吗?

问题6再回到将斜三角形转化为直角三角形的方法.这里提到了垂直,从代数的角度,用代数式如何表达垂直关系?由此你想到了证明正弦定理的方法了吗?

学生数学核心素养的培养应以数学知识的发生发展过程为载体，以启发学生的数学思考为目标,以激发学生数学思维为目的,以培养学生善于思考、勇于探究的学习习惯为着力点.为此，需要设计合适的问题情境，不断提高数学的实践能力,提升创新意识,认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.