基于WSSOR迭代的大规模MIMO系统软输出信号检测

周 围 张 维 唐 俊 王 强

1(重庆邮电大学通信与信息工程学院 重庆 400065)2(重庆邮电大学移动通信技术重庆市重点实验室 重庆 400065)

0 引 言

MIMO技术主要是指收发两端都配备多根天线，现在已成功应用于IEEE 802.11n 、802.16e等标准的制定[1]以及第三代移动通信合作计划(3GPP)[2]等无线通信方面。然而，传统的MIMO系统为了控制计算复杂度限制了天线数目，大量的数据需求不能被满足，因此大规模MIMO技术被提出[3]。大规模MIMO是指在基站侧部署几十或几百根天线，同时服务少量的用户数[4]，可以提高无线通信系统的频谱利用率，使得数据传输更加稳定和可靠[5]，目前已成为5G的热门研究方向之一[6]。

随着调制阶数和天线数目的增加，大规模MIMO系统中最优的最大似然(Maximum Likelihood,ML)检测算法复杂度呈指数级上升，很难应用在实际中。由于大规模MIMO系统中基站天线数远远大于用户端天线数，通信信道之间渐进正交，可以极大地降低噪声和干扰的影响，因此可以在大规模MIMO系统中应用传统的线性检测算法，在降低算法复杂度的同时保证算法性能能够达到线性近似最优，如迫零(Zero Forcing,ZF)检测算法、MMSE检测算法等。但是这类算法随着收发天线数量增加，需要对高维度的矩阵求逆，复杂度超过了实际应用中可接受的范围。

为了解决复杂度较高的问题，近年来一些学者提出了MMSE算法的近似求解算法，总体分为3种类型。第一类为级数展开类，如Neumann级数展开[7]。第二类为迭代类近似求解法，如高斯(Gauss-Seidel,GS)算法[8]、连续超松弛(Successive Over-Relaxation, SOR)算法[9]等。第三类为基于矩阵梯度搜索的算法，如共轭梯度(Conjugate Gradient, CG)法[10]、最速下降(Steepest Descent, SD)法[11]等。

本文以数值分析中WSSOR迭代[12]的思想为基础，提出一种高性能低复杂度的检测算法，将WSSOR迭代算法改进为矩阵的形式应用在信号检测中，避免复杂的矩阵求逆运算，极大地降低了计算复杂度，以少量的迭代次数达到近似最佳性能。并且提出一种简单的量化方法来选择最优的松弛参数和加权因子，以此来提高算法的稳定性和加快收敛速度；另外，将信道译码中的比特对数似然比算法应用在改进后的WSSOR检测算法中，通过求解出的软输出信息进一步提高检测的性能。

1 系统模型

大规模MIMO系统模型如图1所示，该系统由N根天线的基站和K个单天线终端用户构成(N≥K)。

图1 大规模MIMO系统

令s=[s1,s2,…,sK]T表示K×1维发射符号向量，其中sK∈Q表示第K个用户的发送符号，Q表示调制符号集。令H=[h1,h2,…,hK]表示N×K维的信道增益矩阵，n是均值为0、方差为σ2的加性高斯白噪声向量，y=[y1,y2,…,yN]T是基站端接收到的N×1维信号矢量，则系统模型可表示为：

y=Hs+n

(1)

1.1 MMSE检测算法

信号检测是接收端接收到的信号向量y在具有干扰和衰落的信道条件下，准确地估计出发射向量x，以此来提高通信质量。 MMSE检测算法估计的发射向量可以表示为：

(2)

W-1=(HH+H+σ2Ik)-1

(3)

1.2 精确的对数似然比计算

信道译码就是将接收到的信息进行判决，通过判决准则使得译码后错误概率达到最小。通过信道译码中的对数似然比(Log-Likehood Ratio,LLR)算法对估计的发射符号进行软判决，使估计值更加准确，从而提高检测性能。为了计算软输出信息的LLR值，由式(2)可以得到估计的发射符号：

(4)

(5)

(6)

2 算法设计

2.1 WSSOR迭代算法

文献[12]将前向的SOR迭代和逆序结合后的对称连续超松弛(Symmetric Successive Over-Relaxation,SSOR)迭代进行加权结合，以此来求解线性方程组，也就是WSSOR算法的原理。用以下步骤来表示WSSOR算法求解线性方程组Ax=b的过程。

(1) 前半部分表示为：

(7)

(2) 后半部分表示为：

(8)

(9)

式中：θ为加权因子。文献[12]给出了松弛参数ω和加权因子θ的最合适范围并证明了此算法收敛速度快且精度高。

2.2 改进的WSSOR检测算法

基于WSSOR的检测算法是将整个WSSOR迭代过程改进为矩阵的形式应用在信号检测中，具体步骤如下：

算法1基于WSSOR迭代的信号检测算法步骤

输入：H,y,i(迭代次数)。

初始化：

1.分解Hermitian正定矩阵为对角矩阵、下三角矩阵和上三角矩阵：W=D+L+LH

4.后半部分迭代:

可以看出，当θ=0时，WSSOR迭代就化简为SSOR算法；当θ=1时，WSSOR迭代算法化简为SOR迭代算法。由于W是Hermitian正定矩阵，当0<ω<2时，不管初始值取多少，基于WSSOR迭代的信号检测算法都是收敛的。

WSSOR迭代相对于SOR算法有如下优点：① SOR迭代算法将新值和旧值之间取加权平均，增加算法的精度，SSOR迭代算法通过对称操作利用Chebyshev加速技巧[13]使得算法收敛得更快，而WSSOR将两种算法进行加权结合，既保证了算法的精度，也提高了算法的收敛速度。② WSSOR算法的松弛参数ω和加权因子θ的值对收敛速度的影响并不明显，可以通过简单的量化来获取这两个参数。

2.3 量化松弛参数、加权因子

求解最优松弛参数的公式[14]为：

(10)

式中：ρ(·)表示矩阵谱半径；B=D-1W-IK。

在大规模MIMO系统中，对角线矩阵D中所有元素将会收敛到一个固定的N值[15]，有：

(11)

则矩阵B的谱半径可以化简为：

(12)

当N和K的值足够大且K/N接近定值时，矩阵W的最小和最大谱半径可以近似为[14]：

(13)

(14)

将λmax和λmin分别代入式(12)得到矩阵B的最小谱半径b1和最大谱半径b2为：

(15)

(16)

根据b1和b2，可分别获得两个松弛参数ω1、ω2：

(17)

(18)

WSSOR算法的松弛参数是ω1和ω2取平均，即：

(19)

2.4 近似对数似然比计算

改进的WSSOR检测算法通过迭代更新，避免了滤波矩阵W的求逆问题，复杂度从O(K3)下降到O(K2)。改进后的WSSOR软输出检测算法需要利用信道译码的LLR软信息解码出更加精确的值。由式(5)不难发现，在计算对数似然比时需要计算用户的SINR，因此又涉及矩阵W的求逆运算，复杂度再次上升。为了降低算法的复杂度，在求解SINR时矩阵W是对角占优的，可以将W-1简化为D-1来进行计算，则均衡后的近似信道增益和NPI方差分别为：

(20)

(21)

3 算法分析

3.1 复杂度分析

对于基于WSSOR迭代的软输出信号检测算法，计算复杂度由下面三个部分组成：

由这三部分组成的基于WSSOR迭代的信号检测算法总共需要i(2K2+4K)+4K2+4K次乘法运算。由于每种检测算法进行软判决时的复杂度都一样，所以只需要比较硬判决方式下不同算法的复杂度。表1给出了三种不同算法在硬判决中计算复杂度的分析对比情况。

表1 不同检测算法硬判决计算复杂度对比

如表1所示，Neumann级数展开信号检测算法在迭代次数超过两次之后，复杂度的阶数就上升到了O(K3)，而WSSOR检测算法对于任意迭代次数其复杂度都是O(K2)。WSSOR迭代算法的复杂度阶数与SSOR算法一样，虽然比SSOR迭代算法多运算了2K次乘法，复杂度提升，但其性能得到了显著提高。

3.2 仿真结果分析

为了验证改进后的WSSOR软输出信号检测算法的性能，在MATLAB R2016a仿真软件上进行了实验。仿真条件如表2所示，假设信道状态信息已知。

表2 仿真条件

图2(a)给出了未加合适的松弛参数和加权因子时，不同检测算法在硬判决方式下的BER(Bit Error Rate)性能比较。由图可知，三种不同的检测算法都随着迭代次数的增加，BER性能也得到了提升；并且在迭代次数相同时，基于WSSOR迭代的信号检测算法的性能明显和收敛速度优于其他两种近似算法。

如图2(b)所示，在硬判决中加上合适的松弛参数和加权因子后，改进的WSSOR检测算法和SSOR检测算法都有更好的BER性能。如在迭代次数i=2，信噪比为15 dB时，Neumann级数展开算法的BER性能为4×10-2左右，SSOR检测算法的性能为2.8×10-3左右，而WSSOR检测算法的性能为7.5×10-4左右，与传统MMSE算法BER相差仅小于0.2×10-4。可以看出改进的WSSOR信号检测算法已经达到近似最佳线性检测性能。且与图2(a)相比，松弛参数的取值对SSOR算法的影响很大，但改进的WSSOR检测算法对松弛参数并不敏感，性能影响不明显。

图2 不同检测算法在硬判决方式下的BER性能对比

图3显示了不同检测算法在软判决输出方式下的BER性能对比，与图2(b)对比可以看出，各种算法的检测性能在软判决的方式下都得到了明显的提升。如在软判决中，当信噪比为6 dB时，各种算法在迭代次数i=2的误码率就接近4×10-4；而在硬判决中，当误码率为4×10-4时，却需要18 dB的信噪比。因此，改进后的WSSOR软输出检测算法的性能明显优于Neumann级数展开法和SSOR迭代检测算法，通过少量的迭代次数就能达到近似最佳的MMSE检测性能。

图3 不同检测算法在软判决方式下的BER性能对比

图4为改进的WSSOR软输出检测算法的BER性能随着迭代次数以及信噪比的变化情况。可以看出，改进后的WSSOR软输出算法的BER性能随着信噪比的增加而极大提升；同时在不同信噪比的影响下，该算法均能通过仅仅2到3次迭代就趋于稳定，并且收敛速度也很快。

图4 改进的WSSOR软输出检测算法BER性能与迭代次数的关系

4 结 语

本文基于WSSOR迭代的思想提出了一种高性能低复杂度的信号检测算法，利用算法迭代的特性避免了高维度的矩阵求逆操作，使算法复杂度从O(K3)下降到O(K2)。为了保证算法能应用在实际中，本文还提出了一种简单的量化方法来求解该算法的松弛参数和加权因子，增加算法的稳定性并且加快收敛速率。最后利用信道编译码中的比特对数似然比算法进行软判决，进一步提升了检测性能。仿真结果表明，该算法在复杂度降低的情况下，在误码率性能和收敛速度方面比其他近似迭代算法有明显的优势，且通过2到3次的迭代就能够实现近似线性最佳性能。