极端化策略巧解趣味题

林革

大家对这样一个数学游戏可能都不陌生吧？两个人往一张普通的圆桌上轮流放一枚硬币，双方交替进行直到圆桌上铺满硬币为止. 规则是：每一枚硬币都必须平放在桌上而且不许重叠，谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜. 对于“最后一枚”的通俗解释就是，谁放下硬币后刚好铺满圆桌，而对方无处可放. 表面上看起来，这是一个随机摆放的游戏，需要很长时间才能确定谁是最后的赢家，似乎难以判断先放者获胜还是后放者会赢. 而事实上，其结果完全可以预判知晓，那就是：选择先放的一方必获胜. 因为先放的甲方把第一枚硬币放在圆桌的中心处，正是获胜的关键步骤，后放的乙方把硬币放在圆桌的任何一点，甲方只要把硬币放在与此点中心对称的位置上，如此依次操作，不难想象桌面的空隙越来越小，而甲方肯定能确保自己在圆桌放下最后一枚硬币，从而铺满圆桌获胜.

我们还可以采用最直接也是最令人信服的极端化策略来说明此问题. 众所周知，一枚硬币绝不会比一张圆桌大，可为了简化问题方便思考，我们就假想硬币慢慢增大，当然也可以想象圆桌渐渐减小，总之最为极端的情形就是“硬币与圆桌一样大”. 有了这样特殊的前提条件，胜负判断立刻变得轻而易举，甚至一目了然. 先放的甲方必定获胜，后放的乙方肯定落败. 因为甲放了一枚与圆桌一样大小的硬币后，乙已经无法再放，只能认输. 这种极端化思维可谓奇特精妙的解决之道.

在解数学题时这种极端化思维并不罕见，有些题目的数量关系复杂而又特殊，采用一般的解题方法很难奏效，而一旦从最特殊的情境出发来考虑问题或是考察某些极端元素，问题的本质就能充分地显露，从而起到化繁为简轻松顺利解决问题的奇效.

世界著名的微软公司招聘时曾出过一道极具迷惑性的面试题：如果有两个桶，一个装有红色颜料，另一个装有蓝色颜料. 你从蓝色颜料桶里舀一杯倒入红色颜料桶，再从红色颜料桶里舀一杯倒入蓝色颜料桶. 两个桶中红蓝颜料的比例哪个更高？

这道面试题的原始版本出自《思辨数学与算法数学》一书，作者是曾任国际数学教育委员会主席的弗赖登塔尔. 这位极负盛名的荷兰数学家在书中提出问题：“设有白酒与红酒各一杯，分量相同. 現从白酒杯中舀一匙放入红酒杯中，调匀后，舀回一匙放进白酒杯中. 问白酒杯中所含的红酒是否少于红酒杯中所含的白酒？”不难看出，微软面试题与之本质相同，只是改编后更为贴近生活实际.

事实证明，面试者如果根据直觉进行判断就会在不知不觉中误入歧途. 因为许多人都认为，第一次是从白酒杯中舀一匙放入红酒杯中，那么混合均匀后，在这个红酒杯中白酒占的比例较少，但再从红酒杯中舀一匙倒入白酒杯中，这一匙里已不是纯粹的红酒，还含有一些白酒，此时白酒杯中的白酒会多一些，即白酒杯中的红酒会比红酒杯中的白酒少一些. 果真如此吗？

我们不妨来分析一番：设红（白）酒杯的体积为x，一匙酒的体积为y，则完成第一次操作后，红酒杯中白酒占混合酒的[yx+y]，完成第二次操作后，则红酒杯中还有混合酒（x + y） - y = x，可求出此时红酒杯中的白酒还有[yx+y]·x = [xyx+y];而两次操作后，白酒杯中的红酒就是舀来的一匙混合酒中的红酒，显然混合酒中红酒占混合酒的1 - [yx+y]，因此这一匙中的红酒为y·[ ][1 -yx+y] = [xyx+y]，也就是说，红酒杯中的白酒和白酒杯中的红酒一样多. 同理，微软公司面试题的两个桶中红、蓝颜料的比例也相同.

结论虽然得出，但过程相对烦琐，那有没有更为简捷直观的解答呢？回答是肯定的. 弗赖登塔尔鼎力推荐的巧解正是独具匠心的极端化策略. 因为两个杯子最终所装酒的分量相同，想象每杯中的白酒与红酒自动分离，则白酒杯中之红酒是来自红酒杯中之所失，而红酒杯中所失的分量正好由白酒置换. 因此，白酒杯中所含的红酒与红酒杯中所含的白酒自然一样多.

除此之外，微软公司还认可更为极端的巧解：假定两个酒杯中都只各有一匙红酒、白酒，完成第一次操作后，红酒杯中有两匙混合酒，此时红白或白红比例是一样的，接着再进行第二次操作，也就是把两杯比例相同的混合酒一分为二，显然，最后两酒杯中的红酒、白酒的比例一样.

细细品味上述数学趣题和游戏的极端化策略，确实非同凡响，令人耳目一新. 我们也受到了启发：直觉思维尽管具有直达目标的跳跃特征，但有时会产生想当然的误导，它并非对所有问题都适用. 而极端化思维能够从整体准确地把握各部分的关系，轻易突破问题的关键，不失为解决问题的奇招利器.

（作者单位：扬州职业大学）