三角函数求值策略之“无中生有”

摘 要：本文对三角式求值问题，采用无中生有的策略，运用构造法，获得了简洁而富于创造性的解法.

关键词：求值;无中生有;构造

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0026-02

一、无中生“1”

例1 已知tanα=2，求sinαcosα的值.

解析 sinαcosα=sinαcosα1=sinαcosαsin2α+cos2α=sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=tanαtan2α+1=25.

本题直接求解需要分类讨论，运算也会繁琐些，通过构造分母1凑出齐次式，可利用同角三角函数关系式直接转化为只含有tanα的式子，使问题顺利解决.

例2 计算1-tan15°1+tan15°.

解析 1-tan15°1+tan15°=tan45°-tan15°1+1×tan15°

=tan45°-tan15°1+tan45°×tan15°

=tan（45°-15°）=tan30°=33.

二、无中生“三角形”

例3 求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

解析 构造△ABC，使得A=38°，B=82°，C=60°，设△ABC外接圆直径为2R，

则：sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.

由正弦定理：sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

=14R2（a2+b2-2abcosC）

=c24R2=sin2C=34.

反思 如果利用三角公式進行化简和求值运算，需要降幂公式和和差化积公式，

较繁琐，而且和差化积公式现在已经不学了.仔细观察所给角的特征我们发现38°，82°与60°

正好构成一个三角形的三个内角，因此考虑构造三角形利用正余弦定理求解.实际上利用归

纳推理，大家还可以得到一般性结论： 这实际上是正余弦定理的综合形式.

例4 求cos36°的值.

解析 如图建立三角形ABC，∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°，

作∠ABC的角平分线BD.

设AB=AC=1，BD=AD=BC=x，则CD=1-x.

显然△ABC～△BDC，

所以BCDC=ABBD，即x1-x=1x，

解得x=5-12.

在△ABC中，cos36°=12+12-x22×1×1=1+54.

反思 实际上我们发现这个三角形的腰与底之比为黄金分割数5-12，

因此这个三角形也称为黄金三角形或最美三角形.

三、无中生“向量”

例4 求函数y=4cosx+3sinx的最大值.

解 构造向量，设a=（4，3），b=（cosx，sinx）.

显然向量b=1，即向量b是单位向量.

因为a·b≤ab，

所以有4cosx+3sinx≤5×1=5，

即函数y=4cosx+3sinx的最大值为5.

反思 构造单位向量，利用a·b≤ab求出函数最值.

例5 已知45cosθ+35sinθ=1，，求tanθ的值.

解析 设a=（45，35），b=（cosθ，sinθ）显然向量a=b=1.

所以有a·b=45cosθ+35sinθ=1，ab=1，

所以a·b=ab.

由此可得向量a，b共线同向，所以45sinθ-35cosθ=0.

显然cosθ≠0，所以tanθ=34.

反思 构造单位向量，利用向量数量积性质a·b≤ab中等号成立的条件是向量a，b共线同向，从而使问题得以顺利解决.

参考文献：

[1]雷亚庆.巧用三角换元求解根式函数问题[J].数理化解题研究，2019（34）：17-18.

[责任编辑：李 璟]