中西方音阶中的数学知识

李新华

中西方音乐在世界艺术领域中都有着各自重要的地位.中国音乐古朴素雅，西方音乐丰富多变，均受到人们的喜爱.当我们对二者进行时，就会发现它们的音阶体系有着明显的差异.由于地域位置、生活环境和选取材料的不同，人们所获得的音阶构成形式也有很大的差异，由此便诞生了七声音阶和五声音阶.

中国的传统音阶是五声音阶，由“Do、Re、Mi、Sol、La”这五个全音组成，在中国古代典籍中写作：宫、商、角、徵、羽.西方音阶是七声音阶，即“Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”.

中国传统五声音阶早在公元前十世纪就已经出现.《国语》记载的“景王问钟律于伶州鸠”中，就曾提到“宫、角、羽”三个音.西方音乐学家通常把古希腊音乐作为西方音乐的起源.但古希腊调式音乐为“四音列”，每两个相同结构的“四音列”首尾相连可组成一个七声调式，这可能是七声音阶最早的雏形.

令人惊讶的是，我们可以运用数学知识来解释音乐的基本元素——乐音与音阶的构成原理.

我国最早有关音律的记载是《管子·地员》中提到的用“三分益一”和“三分损一”的方法研究五声音阶中各音阶弦长比.这种依据声学原理，运用数学方法研究音阶的理论称为“三分损益律”，如下图.作为一种生律法，它不仅可以生成五声音阶，还可以生成十二律.《吕氏春秋·音律》中就记载了十二律的名称和推算过程.

几乎在同一时期，古希腊数学家毕达哥拉斯也在探索音乐与数学的关系.他认为琴弦的长短和音调的高低是成比例的，当弦长比分别为 2：1（纯八度）、3：2（纯五度）、4：3（纯四度）时，发出的音是协调完美的.他以纯五度作为生律的关键，提出了“五度相生律”，亦被称为“毕达哥拉斯律”.“五度相生律”与“三分损益律”有着极其相似的地方，这说明人类听觉能力的进化和对自然音阶的认识是有共性的.而且，中西方音乐中音阶的构成形式虽然不同，但最终结果均是将一个完整的八度音阶分成了十二个半音.

另外，人耳之所以能够听见动听的乐音，是因为物体振动产生的声波，通过空气传播引起我们耳鼓微小振动.振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不同物体的振动体现为声音音色的不同，而振动的快慢就体现为声音的高低.

当声音频率过高或过低时，人的耳朵就会感觉不舒服或完全不能感知，音乐中常使用的频率范围大约是16至4000赫兹.在七度音阶中，频率为261.63赫兹的音在音乐里用字母c1来表示.一根弦所发出的声音与同一根弦的长度减半后发出的声音非常和谐，因其振动频率十分和谐，即“共鸣”，此时的两个音便是我们常说的八度音.英国数学家泰勒确立的数学公式精确地描述了弦的状态与音乐的关系，即：弦振动的频率与弦的张紧力的平方根成正比，与弦的線密度的平方根成反比，与弦的长度成反比.利用这个公式，我们可以知道，一对八度音事实上就是频率之比等于2：1的两个音.

显然，数学知识在乐理的研究与发展中发挥着重要作用，人们运用数学知识可以完美、精确地诠释乐音与音阶的构成原理.