基于非局部高阶剪切梁理论的碳纳米管弯曲波研究

金 花,张志纯,龙志林,黄 彬,周 强,武井祥

(1. 湘潭大学 物理与光电工程学院，湖南 湘潭 411105； 2. 湘潭大学 土木工程与力学学院，湖南 湘潭 411105)

复合材料中加入碳纳米管(CNTs)可以增强复合材料的强度和韧性，而碳纳米管的波动行为极大地影响着复合材料的应用性能，所以准确有效地表征碳纳米管的波动行为至关重要.碳纳米管的弹性模量与金刚石的弹性模量相当可达1TPa，与碳纳米管相比，其周围环境可认为是弹性介质[1-2].由于碳纳米管具有较大的长径比，故可用一维梁结构来模拟.

连续介质力学理论较早地被用来模拟碳纳米管，Wang[3]和Hu等[4]分别采用连续介质力学方法和圆柱壳弹性理论对纳米管进行了建模，研究了单壁碳纳米管(Single-walled Carbon Nanotubes, SWCNT)和多壁碳纳米管(Multi-Walled Carbon Nanotubes, MWCNT)中纵波和弯曲波的传播特性.之后，有研究者发现当材料的尺寸低于原子尺度时，连续介质力学模型不能提供比较准确的预测结果，即尺度效应会影响纳米材料的力学性能[5-6].并进一步提出采用弹性壳模型来模拟每层纳米管，或者引入Eringen的非局部弹性理论[7]，来分析碳纳米管的波动性质.Li等[8]提出了经典应变梯度弹性理论来研究一维纳米结构的尺度依赖性.Eltaher等[9]采用非局部弹性理论研究了纳米梁的弯曲、屈曲、振动及波动传播问题.王碧蓉等[10]采用应力梯度修正的Timoshenko梁模型,考虑管间范德华力的存在，分析了非局部效应对双壁碳纳米管(Double-Walled Carbon Nanotubes, DWCNT)中弯曲波频散特性的影响.也有研究者引入了Lam提出的修正的应变梯度弹性理论来描述微纳米结构中的尺度效应[11].基于该理论，Liang等[12]建立了应变梯度Euler-Bernoulli梁模型，并用来研究碳纳米管中轴向波的传播.Akgöz和Civalek[13]研究了单参数弹性介质中碳纳米管的静态弯曲响应.Lim等[14]提出了一种同时考虑应力梯度和应变梯度的非局部应变梯度高阶梁理论，基于该理论，Xu等[15]分别讨论了非局部效应、应变梯度效应对碳纳米管弯曲和屈曲的影响.Zeighampour等[16]采用非局部应变梯度弹性理论和薄壳理论，研究了介于弹性介质下粘弹性SWCNT中波的传播.Yang等[17]研究了非局部效应和应变梯度效应对充流碳纳米管中波的传播的影响.

综上，尽管经典的连续介质力学理论在分析碳纳米管的波动方面已取得一定成果，但是其本构方程缺乏与纳米尺度相关的材料参数，所以不能很好地预测碳纳米管的波动行为.此外，大多数研究采用仅包含法向弹簧刚度的Winkler-type弹性基来模拟碳纳米管周围的弹性介质，忽略了切向弹簧刚度的作用，所以模拟结果存在一定的误差.鉴于此，本文提出了一种适用于圆截面纳米梁的非局部高阶剪切梁理论模型.相比非局部Timoshenko梁，该模型不仅考虑了横截面剪切变形的影响，而且满足圆周上剪应力为零的条件，同时又不需要引入剪切修正系数的概念，得到了单壁及多壁碳纳米管中弯曲波传播的圆频率及相速度解析式，并在数值模拟中分析了尺度效应和双参数弹性介质对碳纳米管中弯曲波的色散特性的影响.

1 非局部高阶剪切梁理论模型

碳纳米管掺杂在复合材料里，它将与弹性基底结合，环绕的弹性介质会影响碳纳米管的波动.将单壁碳纳米管置于笛卡尔坐标系(x,y,z)中，并基于其横截面建立极柱坐标系(x,r,θ).图1中:x和y代表纵向和横向坐标;z为垂直于非变形梁中性轴的坐标;q是作用在横截面上的均匀荷载;L和t分别为管长和壁厚.

图1 横向荷载作用下的碳纳米管示意图Fig.1 Schematic of carbon nanotubes under transverse load

根据Enrigen的弹性理论，非局部的本构方程为[7]

(1)

(2)

式中:l1=e1a为尺度参数,e1是材料常数，可通过实验或分子动力学来确定;a是碳碳键的长度;2是拉普拉斯算子;σxx和εxx代表正应力和正应变;τxz和γxz分别为剪应力和剪应变;E和G分别为杨氏模量和剪切模量.根据几何方程有[18]

(3)

(4)

式中:w(x,t)和φ(x,t)为横向挠度和转角;u为轴向位移;R为碳纳米管的半径.圆周上的剪应变γxr取值为[18]

(5)

由式(5)知，高阶剪切梁圆周边界上剪应力为零.

式(1)先两边同时乘以z，再对整个截面面积积分.式(2)两边直接对整个截面积分，并代入式(3)和(4)分别得

(6)

(7)

高阶剪切梁的运动方程为

(8)

(9)

式中ρ是碳纳米管的密度.

结合式(6)～(9)，可得到一组关于挠度w和转角φ的非局部高阶剪切梁的耦合控制方程组

(10)

(11)

需要指出的是，王碧蓉等采用Timoshenko梁模型得到了类似的控制方程[10]，但在其文章中圆周边界上剪应力不为零且需要引入剪切修正系数，但高阶剪切梁模型不需要引入剪切修正系数的概念，并且满足圆周边界上剪应力为零的条件.借助一个耦合函数F可以化简上述耦合控制方程组，w和φ由F表示为

(12)

(13)

将w和φ的表达式(12)和(13)代入式(11)，等式两边成立.把它们代入式(10)，则原控制方程转化为仅含单一变量F的控制方程

(14)

式(14)如果忽略剪切变形的影响，则退化为非局部Euler-Bernoulli梁的控制方程

(15)

2 碳纳米管的弯曲波传播

2.1 单壁碳纳米管(SWCNT)的弯曲波

由于碳纳米管的弯曲波可简化为简谐波动，所以式(14)中的解F表达式为

(16)

为了分析弹性介质中碳纳米管的弯曲波的传播特性，本文采用Pasternak弹性基模型来模拟碳纳米管与周围弹性介质间的相互作用，该弹性基模型为[19]

(17)

式中β0和β1分别是径向和切向约束的弹簧刚度系数.

将式(16)和(17)代入式(14)中，可得到如下代数方程

(18)

上式代表SWCNT中弯曲波的色散关系，显然ω与k、l1、β0以及β1有关.由于非局部高阶剪切梁忽略了转动惯量的影响，导致光学枝消失，所以只存在声学枝.可得到非局部高阶剪切梁的相速度为

(19)

自由空间中(β0=β1=0)，非局部高阶剪切梁的相速度为

(20)

令式(1)和(2)中l1=0，可求解出自由空间中经典高阶剪切梁的相速度为

(21)

同理，可求解出非局部Euler-Bernoulli梁的相速度为

(22)

2.2 多壁碳纳米管(MWCNT)的弯曲波

MWCNT相邻管层之间存在范德华力，范德华力可由连续介质力学Lennard-Jones势推导得到.此处，范德华力采用线性弹簧的模型[20].

MWCNT第j层纳米管的弯曲波的解F为

(23)

MWCNT第j层(j=1,2,3,…,N-1)碳纳米管受到的范德华力为

qj=-αj(wj-wj+1)-αj-1(wj-wj-1).

(24)

MWCNT最外层碳纳米管，同时受到弹性介质对它的作用力和相邻管层间范德华力的作用，表达式为

(25)

式中αj为第j层碳纳米管的范德华力系数，表达式为[21]

(26)

式中Rj是第j层相对内管的半径.

将式(23)分别代入式(24)和(25)得到范德华力公式为

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

上述方程组代表MWCNT中弯曲波的色散关系，当其系数矩阵的行列式为零时，该方程组有非平凡解，即

detf(ω,k)=0.

(33)

以研究双壁碳纳米管(DWCNT)的弯曲波为例，则把N=2代入式(30)～(32)得

(34)

可求出DWCNT的相速度为

(35)

类似地，可求解出MWCNT(N>2)的波速.

3 数值模拟结果与分析

3.1 SWCNT中弯曲波的色散特性

为了研究SWCNT在自由空间中的波动特性，取碳纳米管的尺寸和参数为[19]ρ=2.237g/cm3，a=0.142nm，t=0.342nm，E=0.39TPa，G=0.5E/(1+v)，泊松比v=0.28.图2描述了(5,5)扶手椅型SWCNT的相速度c与波数ka之间的色散关系.图中非局部高阶剪切梁、经典高阶剪切梁、非局部Euler-Bernoulli梁模型以及分子动力学模拟结果，分别用NHSBT、CHSBT、NEBT和MD表示.由图2可以发现，无论是小波数还是大波数，NHSBT的波速逼近MD的结果[22].CHSBT预测的结果与NHSBT的波速相比，在大波数范围时偏差较大，是因为CHSBT的本构方程缺少纳米尺度相关的材料参数，所以不能很好地预测碳纳米管波速.在小波数范围内，NEBT预测的结果与MD的结果比较吻合，而当波数较大时，NEBT预测的结果偏差较大，且波数越大偏差越大，这是因为它忽略了剪切变形的影响，而剪切变形对波的色散有明显的影响.该现象表明尺度效应对碳纳米管中弯曲波的传播影响较大，考虑尺度因子的非局部高阶剪切梁模型能够很好地描述碳纳米管中弯曲波的波动特性.

图2 不同梁模型与分子动力学模拟的SWCNT弯曲波相速度Fig.2 Phase speed of flexural waves in a SWCNT using different beam model and molecular dynamics simulation

图3描述了非局部高阶剪切梁模型的尺度因子e1对相速度的影响.由图3可知，小波数时，3种情况下的相速度曲线吻合较好.即小波数时，尺度因子对波速影响较小；在大波数时，尺度因子对波速影响较大，相同波数下，尺度因子的增加将会降低碳纳米管的相速度，呈现相速度随着尺度因子的增大而减小的态势.

图4(a)和(b)分别讨论了弹性介质参数β0和β1对(5,5)扶手椅型SWCNT相速度的影响.由图4(a)知，在小波数区间，相速度随着β0的增大而增大，波速对β0的反应比较敏感.在ka增大到10-1之后，3条曲线预测的结果非常接近，即大波数时，β0对碳纳米管的相速度影响很小.从整个波数区间来看，β0对波速的影响随着波数的增大而逐渐减小.图4(b)中，在小波数区间内，波速对β1的反应比较敏感，相速度随着β1的增大而增大；而在大波数区间，β1对波速的影响不大.综合图4(a)和(b)可知，仅小波数区间内的波速对弹性介质比较敏感，受β0和β1影响较大.另外，受β1影响的碳纳米管的波数范围比β0更大.相较于单参数Winkler-type弹性基，双参数Pasternak弹性基能更准确地表征弹性介质对碳纳米管波速的影响.

图4 弹性基参数β0及β1分别对SWCNT中传播的弯曲波相速度的影响Fig.4 The influence of substrate parameter β0 and β1 on phase speed of flexural wave propagating in a SWCNT

3.2 MWCNT中弯曲波的色散特性

图5讨论了自由空间中存在范德华力、忽略范德华力和范德华力无限大对DWCNT(5,5)@(10,10)中弯曲波的影响，即α1≠0，α1=0，α1=∞ 3种情况.存在范德华力代入DWCNT的相速度推导公式(27)即可；忽略范德华力时，DWCNT可看作是2个独立的SWCNT；范德华力趋于无限大，2层碳纳米管紧紧结合在一起可看作成一个整体，相当于一个SWCNT，此时横截面面积为A=A1+A2,惯性矩为I=I1+I2.由图5知，忽略范德华力的作用或者范德华力无限大，预测的相速度都会偏离公式(25)和(26)对应的结果.因此，范德华力对MWCNT中弯曲波的波动特性具有显著影响，须采用适当的范德华力模型予以考虑.

图5 范德华力对DWCNT中传播的弯曲波相速度的影响Fig.5 The influence of van der Waals force on phase speed of flexural wave propagating in a DWCNT

图6(a)为自由空间中MWCNTs的相速度-波数曲线.图中SWCNT、DWCNT、TWCNT及QWCNT分别代表单壁、双壁、三壁和四壁碳纳米管.由图6(a)可知，小波数时，自由空间中MWCNTs的管层数越多，其传播的速度越大；在波数较大时，4种情况预测的波速比较接近，此时管的层数对碳纳米管波速的影响较小.图6(b)给出了在弹性介质作用下，几种MWCNTs弯曲波的色散曲线.由图6(b)知，弹性介质仅仅影响小波数时MWCNT的相速度，并且管层数越多，对应的波速反而越小.综合图6(a)和(b)可知，MWCNT的管层数越多，周围弹性介质对MWCNT的影响越小，大波数时，可用较为简单的单壁碳纳米管模型代替多壁碳纳米管进行描述.

图6 自由空间及弹性介质中MWCNTs的相速度的对比Fig.6 Phase speed of flexural wave propagating in MWCNTs in free space and embedded in elastic medium

4 结 论

本文针对碳纳米管处于弹性基底实际环境，建立了非局部高阶剪切梁模型来预测碳纳米管中弯曲波传播的特性.并从理论和数值分析上解释了不同梁模型预测结论的成因，结论如下:

(1) 经典高阶剪切梁模型由于没有考虑尺度效应，不能对碳纳米管在整个波数区间内的波速进行很好的预测.而非局部Euler-Bernoulli梁模型，虽然考虑了尺度效应，但忽略了剪切变形的影响，剪切变形对碳纳米管波速影响显著，因此也不能很好地描述碳纳米管的波动性能.非局部高阶剪切梁模型既考虑了尺度效应又考虑了截面的剪切变形，能够有效准确地表征碳纳米管的波动特性.

(2) 非局部弹性理论能很好地描述尺度效应对碳纳米管的影响，尺度效应的增强将降低碳纳米管的波速，并且尺度效应只影响大波数或高频时的碳纳米管.

(3) 碳纳米管与弹性基底两者间的作用力越强，碳纳米管弯曲波的传播速度越大.弹性介质仅仅影响碳纳米管在小波数时的波速，并且弹性基切向弹簧刚度的影响区间比径向弹簧刚度更大.