一种考虑时延的双气泡耦合振荡模型

蒿超凡，赵 梅，胡长青

(1. 中国科学院声学研究所东海研究站，上海201815；2. 中国科学院大学，北京100190)

0 引 言

开阔海洋存在大量气泡，气泡以固有频率自由振荡时会产生类似单极子一样的辐射噪声[1]，是海洋噪声的主要来源之一。

Minnaert[2]早在1933年研究了单个球形气泡的小振幅振荡特性，并给出了气泡的固有频率表达式。Plesset[3]在Rayleigh[4]气泡运动理论模型的基础上进一步发展，得到了广为适用的Rayleigh-Plesset方程。后来的研究[5-6]表明，水中气泡产生声音的原理，是由于受激气泡体积在短时间内发生变化引发了气泡的体积振荡，也称呼吸模式。气泡振荡在声学上表现为一个高品质因素(Q值)、高阻尼的振荡器，并在气泡受激时发出具有指数衰减的正弦曲线形式的窄带脉冲。1971年Shima[7]在考虑绝热系数的基础上推导了双气泡耦合振荡方程，并得到了耦合频率的表达式。公式表明气泡间的耦合效应会导致振荡频率偏离其原本的固有频率。但是Shima的推导中忽略了粘度、流场的可压缩性等特征，因此只适用于距离不远处气泡间的相互作用。1980年Keller等[8]在考虑周围流场粘滞性与可压缩性的基础上，推导了新的气泡运动方程，称为Keller方程。2011年An[9]和2013年Zhang等[10]讨论了微气泡链和簇在有时延情况下的声空化、声致发光现象，表明气泡间的相互作用会抑制彼此振荡。而气泡间的Bjerknes力有助于气泡链维持稳定。

综上所述，在研究双气泡耦合振荡时，需要考虑到周围液体的声速是有限的、气泡间相互影响是有延迟的这一特点，即考虑液体的可压缩性，气泡受到其他气泡的影响通常是一个时延场。因此，本文建立了考虑即时影响与时延的双气泡耦合计算模型，研究时滞效应在双气泡耦合过程中起到的作用，考察气泡的阻尼以及频率在耦合过程中的变化规律。

1 气泡耦合振荡方程

1.1 单气泡振荡方程

假设无外力影响的无限流域中的气泡是球形的，气泡剧烈振荡时周围流体是可压缩和粘滞的。则气泡运动应该满足Keller方程[8]：

其中：R表示气泡半径，表示半径变化的速度；为加速度；ρ为流体密度；cl为液体中的声速；ptotle定义为当气泡不存在时此位置处的压强和；对于自由振荡的单气泡，ptotle等于静水压强，pl表示流体作用在气泡壁外侧的压强，其满足：

其中：p∞表示气泡所在位置处的静水压强；σ表示表面张力系数；R0为气泡平衡半径；κ为多方指数；η为粘滞系数。

距离r处的辐射声压满足[11]：

式中，等号右侧第三项为伯努利压力项，计算时可忽略。

1.2 双气泡振荡公式

设有相距为d(R0≪d)的两气泡平衡半径为R10和R20，则两个气泡自由振荡时都受到彼此辐射声压的影响，于是由式(3)可知，ptotle需满足：

式中：τ=d/c1。将其代入式(1)，则双气泡耦合振荡公式为

其中：m,n=1或2且m≠n。

1.3 无时延双气泡的频率和阻尼

首先考虑小振幅振荡、无时延情况下的双气泡耦合公式。并讨论一种特殊情况，当两气泡尺寸一样，在相同工况条件下两气泡的振荡情况是一致的，令R=R0+Rε，将式(5)线性化处理[12-13]：

其中，δc和ωc0分别满足：

其中，cδ为耦合阻尼，耦合后的系统频率应为

由以上推导可以得到，耦合后的阻尼δc相较于单气泡时的阻尼δ偏小，δ/δc＞1，其衰减系数随着距离的增大而增大；其频率相较于单气泡时的频率偏小，ω/ωc＞1，其频率随着距离的增大而增大。

1.4 有时延双气泡的频率和阻尼(展开)

类比式(6)，对于双气泡耦合公式为[12,14]

考虑1.3节中的工况，对式(11)等号左边第一项进行展开，保留前两项，可得：

式中出现了高阶项，并且考虑到R0≪λ，将式(12)两端同时求导并略掉四阶项，三阶项可以用低阶项表示。将使用低阶项表示的三阶项代回原式，可以得到：

其中：δdc为耦合阻尼；ωdc0表示系统固有频率，表达式分别为

于是耦合频率ωdc为

考虑文献[15]中的数值结果，1 mm单气泡自由振荡的衰减系数为 412，角频率为 2.06×104。可以得到带时延的双气泡耦合有：δ/δdc＜1 ，且阻尼随着距离的增大而增大；ωdc/ω＞1，频率随着距离的增大而增大。对于反相耦合气泡有：δ/δdc＞1 ，且阻尼随距离的增大而减小；ωdc/ω＜1，频率随距离的增大而减小。

1.5 有时延双气泡的频率和阻尼(不展开)

1.4节中对于式(11)进行了展开，但是当距离d足够远的时候，展开式误差就会变得很大。这里不进行展开，直接将代入可以得到：

为了验证3种气泡耦合模型的正确性，建立了耦合计算数值模型，并采用四阶龙格库塔方法仿真气泡的运动情况。

2 数值计算模型

基于式(5)，构造一种耦合模型，如图1所示。首先将气泡间辐射声压的传递时间分成M份，即每份时间为τ/M。考虑两个自由振荡气泡，tn时刻在极短的时间内以当前半径，在受到彼此辐射声压的共同作用下开始振荡(初始时刻彼此辐射声压影响为0)，并辐射声压，经过τ/M后气泡半径变为，然后气泡1和气泡2于tn+1时刻在半径为以及彼此气泡影响的共同作用下继续振荡并再次辐射声压，如此反复。直到经过τ时间后，tn时间点半径为的气泡，辐射的声压在tn+M时间点到达另一个气泡并作用于该气泡，该气泡的半径由当前时刻的变为下一时刻的，然后下一时刻气泡继续辐射声压再进入时刻，一直重复上述过程。当选取的Δt足够短，就可以近似认为，双气泡之间复杂的耦合过程能用此模型来表示。

其中Δt表示数值计算模型的时间步长，在模型中设为气泡间声传播时间τ的1/M，即 Δt=τ/M。随着气泡间距离的增加，模型的计算步长也会发生相应的变化，这时只需要选取一个较大的M，就能防止数值计算的过程中由于时间步长过大，从而产生离散的结果。

图1所示的模型选取了M= 2 的情况，气泡tn时刻受到的影响总是来自tn-2时刻。

图1 M=2时的数值计算模型Fig.1 Numerical calculation model for M=2

3 耦合振荡的影响因素

3.1 耦合气泡的阻尼与频率

假设水中有两个球形气泡相距0.01 m，气泡半径均为 1 mm，对两个气泡同时施加相同的初始扰动，扰动幅度为+0.1 mm。两气泡的耦合振动应该对称且一致。同相藕合的气泡振荡波形如图2所示，同相藕合的气泡振荡频谱如图3所示。

由仿真计算结果可以看出，气泡间的耦合作用会对气泡的振荡产生较为明显的影响。由图2可以看出，相较于单气泡时的气泡振荡情况，耦合气泡会因为彼此间的相互作用，而比单气泡衰减得更快，即具有较大的衰减系数。由图3可以看出，气泡的振荡频率也会因为耦合向低频偏移，相较于单气泡降低了约150 Hz。这是因为相距不远的气泡膨胀和缩小时，其周围流体可以认为都是压缩相或者稀疏相，会使得另一个气泡更难且更慢地膨胀或者缩小，从而抑制另一个气泡振荡，使得气泡阻尼变大，频率变小。

图2 同相耦合气泡振荡波形Fig.2 Oscillation waveforms of in-phase coupled bubbles

图3 同相耦合的气泡振荡频谱Fig.3 Oscillation spectrums of in-phase coupled bubbles

当其他条件不变，仅把初始工况改为相反的情况，气泡1扰动为+0.1 mm，气泡2扰动为-0.1 mm。两个反相藕合的气泡振荡波形和第0.005～0.01 s的细节放大图如图4所示，振荡频谱如图5所示。

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图4 反相耦合的气泡振荡波形Fig.4 Oscillation waveforms of anti-phase coupled bubbles

图5 反相耦合的气泡振荡频谱Fig.5 Oscillation spectrums of anti-phase coupled bubbles

由仿真结果可以看出，反向耦合气泡间的相互影响相当显著，气泡间产生共振使得气泡振荡时间相较于单气泡的振荡时间延长两倍以上，气泡阻尼减小。气泡振荡频率相对于单气泡(见图3)情况增加了约175 Hz。由图4(b)可以看出，两气泡一直处于相反的相位上，彼此间形成了一个共振系统。这是因为气泡1膨胀或缩小时，周围流体是压缩或者稀疏的，气泡2是刚好相反的，这样稠密区和稀疏区相互抵消，在距离较近时彼此气泡更容易和更快地膨胀或者缩小，从而使得气泡阻尼减小，频率增大。

根据仿真结果可知，考虑带时延的耦合计算模型更符合仿真计算结果，第1.4节的推导对于阻尼和频率的结论在这里是正确的。

3.2 半径和振幅对振荡的影响

考虑两个半径分别为2 mm(气泡 1)和1 mm(气泡 2)的气泡，初始扰动均为 0.1 mm，气泡间距0.01 m。其振荡情况如图6、图7所示。

图6 不同初始半径的气泡振荡波形Fig.6 Oscillation waveforms of the bubbles with different initial radii

图7 不同初始半径的气泡振荡频谱Fig.7 Oscillation spectrums of the bubbles with different initial radii

从图6可以看出，对于较大半径的气泡振荡幅度并未受太大影响，但是较小半径的气泡会受到较大影响，其振幅随着每个周期忽大忽小地衰减。两个气泡的衰减时间有所延长，但保持一致。从图 7可以看出，两气泡的频率主峰主要保持在单气泡(图3)时的频率，大气泡能在小气泡对应的频率上激发较为明显的幅值，但是小气泡却很难激发大气泡。这一结论与文献[16]中的结论相一致：大气泡对小气泡有显著影响，反之影响不大。

考虑两气泡半径为 1 mm，但是初始扰动为0.1 mm(气泡 1)和 0(气泡 2)的情况。如图 8、图 9所示。

由图 8、9可以发现，对于相同半径但不同初始扰动的情况，气泡运动更为复杂。有扰动时气泡在若干个周期内迅速衰减，零扰动气泡在此期间开始振荡并达到最大振幅，此后又经若干周期并迅速衰减，此期间衰减后的有扰动的气泡振幅又开始增大。两个气泡如此交替反复，直到在阻尼的影响下达到3.1节中反相耦合的共振状态。在频域，两个气泡均表现为双峰的特点，峰值频率均位于单气泡(见图3)固有频率(3 284 Hz)的两侧，其中气泡1的两个波瓣有更高的区分度，且偏离固有频率相对较远。

图8 不同初始扰动下的气泡振荡波形Fig.8 Oscillation waveforms of the bubbles under different initial disturbances

图9 不同初始扰动下的气泡振荡频谱Fig.9 Oscillation spectrums of the bubbles under different initial disturbances

再考虑两气泡半径为 2 mm、初始扰动为0.2 mm(气泡1)和半径为1 mm、初始扰动为0(气泡2)的情况，如图10、11所示。

由图 10、11可以看出，大气泡虽然可以激发静止状态的小气泡产生振荡，但对比同半径气泡耦合，大气泡对小气泡产生的影响相对较小，图 10中小气泡被激发的最大振幅约为大气泡最大振幅的1/4。频域上小气泡的振荡表现为双峰特征。其频率峰值主要保持在大气泡的主频以及小气泡本身的固有频率附近。

图10 不同初始扰动下不同初始半径的气泡振荡波形Fig.10 Oscillation waveforms of the bubbles with different initial radii under different initial disturbances

图11 不同初始扰动下不同初始半径的气泡振荡频谱Fig.11 Oscillation spectrums of the bubbles with different initial radii under different initial disturbances

3.3 气泡间距对振荡的影响

根据式(14)，同相耦合气泡的阻尼在任意距离处都应大于单气泡时的阻尼，且随着距离的增大，阻尼增大。但实际上存在一个特殊距离ds1，使得气泡间距超过ds1时，气泡阻尼会逐渐减小，存在一个距离ds2，超过ds2时，阻尼又逐渐增大。

利用牛顿迭代法计算了不同距离下式(17)的解，同时仿真了1.3节和1.4节中关于阻尼和频率的推导，得到了随距离变化的衰减系数的值。并与数值计算模型的仿真结果进行对比，结果如图 12所示。频率的对比结果如图13所示。气泡半径均为1 mm，初始扰动均为+0.1 mm。

图12 两气泡不同间距处的阻尼Fig.12 Damping at different intervals between two bubbles

图13 两气泡不同间距处的振荡峰值频率Fig.13 Oscillation peak frequency at different intervals between two bubbles

图12中数值计算模型的仿真结果，其衰减系数可以根据阻尼的定义得到，等于气泡振荡的时域波形包络最大值的1/e处对应时间的倒数。

由图12可知，无时延耦合(1.3节)时的阻尼变化与模型仿真结果差别较大，在间距较小时两者的差约为δrad[13]；泰勒展开法的时延耦合(1.4 节)在间距d＜0.05 m 时，可以粗略估计阻尼的变化，当d＞0.05 m将产生较大的误差。而不通过展开、通过数值计算到的方法(1.5 节)与仿真模型的结果相接近，平均误差小于5%，其同相耦合气泡的阻尼会随着间距d的增大先增大后减小，然后继续增大。以上结果说明在气泡间距小于ds1(ds1≈ 0 .05 m )时，使用有解析解的展开法(1.4节)可以粗略估计耦合阻尼，当气泡间距大于ds1时阻尼变小，1.4节中的方法不再适用，这是因为距离增大使得耦合效应变弱。当气泡间距大于ds2时(ds2≈ 0 .33 m )，阻尼再次增大，这是因为经过一定传播时间的压缩(膨胀)，气泡周围流体变成膨胀(压缩)状而形成反相抵消，产生共振，这与3.1节中讨论的情况有一定相似，因此本来减小的阻尼会略微增大。图 13展示了振荡峰值频率随距离的变化过程。图 13中几种方法均能粗略估计耦合气泡的频率变化，其中1.5节的方法更接近数值仿真结果，当气泡间距大于0.4 m左右时，几种方法对频率的估计趋于一致，且稍低于单气泡时的固有频率(3 284 Hz)。

4 结 论

本文建立了时延的双气泡耦合振荡仿真计算模型，研究了不同参数对耦合振荡阻尼和频率的影响。得出的主要结论如下：

(1) 带时延的耦合气泡相较于零时延耦合气泡，阻尼有较大的不同，气泡初始相位也起到了关键作用，在间距较近时，同相耦合气泡的阻尼增大，反相耦合的气泡阻尼减小。

(2) 气泡半径和初始振幅对气泡间的影响显著，首先是同半径气泡之间耦合效果最为明显，其次是大气泡、大振幅也能激发起小气泡产生振荡，在频率上均表现为双峰的特点。

(3) 存在一个临界距离ds1，使得当气泡间距大于ds1时，气泡阻尼会逐渐减小；存在一个临界距离ds2，当气泡间距大于超过ds2，阻尼又逐渐增大。当气泡间距小于ds1时，式(14)具有一定的参考作用，当大于此距离时，气泡确切的阻尼变化无法用解析解去表示，只能通过数值计算的方法得到。而气泡振荡频率的变化均能使用文中的几种方法得到，其中1.5节中的方法相对更为准确。