发挥数学模型在解决数学问题中的作用

谢爱菊

摘 要：数学模型是解决同类问题的法宝，能从常规问题中发现数学模型，构造数学模型。K字型全等模型的应用及构造。十字架模型的构造及应用。

关键词：数学模型;K字型全等（相似）型;正方形中“十字架模型”;矩形中“十字架模型”

随着中考的临近，很多同学在做着大量的模拟题，以提高适应中考题型的能力，争取考一个优异的成绩，考上自己心仪的学校。这里我总结了两类数学模型，期望对同学们的复习备考起到做一道会一类，让同学们从题海里跳出来，真正提高数学成绩的作用。

一、K字型全等。

条件：∠B=∠ACE=∠D=90°，AC=CE;

结论：△ABC≌△CDE

适用条件：等腰直角三角形，两条线段垂直且相等（或一条线段旋转90°），出现45°

例1、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.

求证：△AHF为等腰直角三角形.

分析：要证△AHF为等腰直角三角形，只要证明△ABH≌△CGF，可以先证出四边形AHGD为平行四边形，证得AB=HG，BH=GF，再加上∠B=∠HGF=90°，可以证明△ABH≌△HGF。

例2、如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP=90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y=ax2+bx+c经过原点O和A、P两点.

（1）求抛物线的函数关系式.

（2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC=AB，求点B坐标;

分析：（1）先根据△OAP是等腰直角三角形，∠OAP=90°，点P坐标为（8，0），

得点A（4，﹣4），利用顶点式求得抛物线的表达式为：y=x2﹣2x;

（2）设点B（0，m），过点C作CH⊥y轴于点H，过点A作AQ⊥y轴于点Q，则有△CHB≌△BQA（AAS），

∴AQ=BH=4，CH=BQ=4+m，故点C（m+4，m+4），将点C的坐标代入抛物线的表达式抛物线的表达式并解得：m=8，m=﹣4（舍去）

故点B（0，8）。

例3、如图，在平面直角坐标系中，一次函數y=2x-1的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数达式。

分析：本题的题点为旋转45°，把45°放在等腰直角三角形中构造K字型全等模型，可以过点A作AB的垂线交BC于点F，再由点F作FE垂直x轴于点E，则K字型全等模型构造成功。求出点F的坐标，即可求直线BC的函数表达式。

二、十字架模型

（一）正方形中“十字架模型”结论：

在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段

①垂直，则相等;②若相等，则垂直。

例4 如图，将边长为2cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段MN的长。

分析：本题先连接DE，根据折叠对称的性质，则有DE⊥MN，就会有DE=MN，求出DE的长即可。DE在直角三角形DEC中利用勾股定理可求。

（二）矩形中“十字架模型”结论

在矩形ABCD中对边分别取点并相连，所得两条线段EG⊥FH，

结论为：EG/HF=AD/AB

例5 如图，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，则GH 的长为多少？

分析：本题为矩形中十字架模型，因为∠FOH=90°，所以有GH/EF=AB/AD=2，GH=2EF=8

参考文献：

[1]刘广平，崔伟.数学模型建构在小学数学中的作用[J].华夏教师，2017（10）：26.

[2]陈莹.数学建模与应用数学的结合探析[J].智能城市，2017，003（005）：130，132.