以数学之眼探究规律

文 颜廷亮

规律广泛存在于自然界和社会各种现象之中，学习数学可以帮助我们透过现象看本质，找到事物之间的必然联系。我们可以从以下几个角度进行思考：

一、找规律的基本眼光

例1观察下列数据，根据你发现的规律填空。

【解析】奇数的规律为1，3，5，7，9……2n-1；偶数的规律为2，4，6，8，10……2n；平方数的规律为1，4，9，16，25……n2；1，3，6，10，15……的规律是：3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4……第n 个数是。很多数字及图形规律，都是以上述规律为基础的。

例2请通过计算推测32020的个位数是________。

【解析】当出现的数字比较大的时候，往往有“循环”出现。如31=3，32=9，33=27，34=81，35=243……尾数每4 个就出现3，9，7，1 的循环，由2020÷4=505 得本题答案为1。

二、找规律的透视眼光

1.数形结合可透视。

例3如图1 所示，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着再把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去。试利用图形的规律计算

【解析】利用图形的直观性，容易发现故本题的答案为

例4按图2 方式用火柴棒摆小鱼，摆1 条小鱼用8 根火柴棒，摆2 条小鱼用14 根火柴棒……则摆7 条小鱼需要_______根火柴棒。

【解析】从图形规律看，如果将每条鱼的“尾巴”看作固定不变的两根，每增加1 条小鱼，火柴棒会增加6 根：8=6×1+2，14=6×2+2，20=6×3+2……由上可知第n 个小鱼需要的火柴根数是6n+2，本题答案为44；从数字的规律看：8，14，20……数字之间依次增加6，则规律中含有6n，也可以推出答案44。

2.归纳猜想可透视。

例5你能比较数20182019和20192018的大小吗？

观察比较：通过计算，比较下列各组数中两个数的大小（在横线上填“＞”“=”或“＜”）：①12_______21；②23_______32；③34_______43；④45_______54；⑤56_______65……

归纳猜想：观察分析上面的结论，猜想nn+1与（n+1）n的大小（直接写出结论）。

【解 析】12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，56＞65，归纳猜想：当n=1 或2 时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3 时，nn+1＞（n+1）n。本题给我们的启发是，寻找规律的时候不要妄下结论，而应该从简单的情形入手，进行观察、归纳和猜想，有能力的还要进行推理验证。

三、找规律的独特眼光

有许多数学智慧、数学经典、数学名题隐藏在规律题之中，等着你去发现解决，例如杨辉三角、冰雹猜想、兔子数列等，下面选取一例给同学们展示一下。

例6取一个自然数，若它是奇数，则乘3 加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1。如果自然数m 恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值有________。

【解析】本题可以根据计算倒推出答案为128、21、20、3。这就是有名的“冰雹猜想”，也叫角谷猜想或collatz 数列，是一个尚未解决的数学难题。20世纪70年代中期，美国很多大学校园都流行这种数学游戏。其魅力在于无论开始时是怎样的一个数字，都无法逃出4→2→1的循环，虽然各种计算机程序都验证了这样的猜想是合理的，但是各国数学家却没有能够对这样的结论进行证明。