基于QR码和算术编码的图像加密无损恢复方法

（四川大学 电子信息学院，四川 成都 610065）

引言

近年来，随着互联网技术和数字通讯技术的快速发展，信息安全问题越来越得到人们的关注。由于具有容量大、加密速度快、可多路并行传输、密匙维度多等固有的优势，光学图像加密技术迅速成为了一个热门的研究方向。这一技术最早可被追溯到1995年，Refregier和Javidi 提出的基于双随机相位编码（double random phase code，DRPE）的图像加密方法[1]。即在4-f系统的空间输入平面和傅里叶变换域平面放置随机相位板，对原加密图像的空间域信息和频域信息分别置乱，得到一个平稳随机分布的白噪声密文图案。随后，由该方法衍生出的其他光学加密方法逐渐被提出，如菲涅尔域DRPE的图像加密方法[2-3]、分数傅里叶域

DRPE的图像加密方法[4-5]、基于光学联合变换器的加密方法[6-7]、基于干涉原理的加密方法[8]等。这些方法丰富和发展了光学图像加密技术，但一些制约其进一步实用化的问题依然存在。例如，由于随机相位板的引入和实验中其他不可控因素，基于光学系统的解密图像往往包含有大量的散斑噪声，这些噪声严重影响了解密后图像的质量。虽然目前提出了许多减弱或者抑制散斑噪声的方法[9-13]，但效果都不是很理想。

为了解决这一问题，2013年Barrera 等人首次将QR码（quick response code）作为数据容器引入到光学图像加密系统中[14]。由于QR码具有较强的纠错能力，当部分码字被污染或者发生错误时，依然可以识别出来，使得存储在里面的信息可以无损恢复，因此是一种非常理想的去除光学加密系统中散斑噪声的容器。可由于QR码存储容量有限，存储内容只能为数字、字母，汉字、日文等信息[15]，要将一幅灰度图像存入到QR码中，必须要进行数据的转换与压缩。目前主要有两种方法，即将二值图像利用行程编码压缩方法存入QR码[16]，以及利用数字之间转换压缩方法将灰度图像存入QR码[17]。由于前者只适合于非常简单的二值图像，而后者只能将一幅32×32像素大小的灰度图像存入到QR码中，因此在实际图像加密的应用中，寻求一种既能有效进行数据压缩，又能处理较大灰度图像的方法仍显得极为重要。

本文提出了一种基于算术编码图像压缩方法，成功地将一幅64×64像素大小的灰度图像存入QR码中进行加密和解密。该方法首先把灰度图像读取为二进制数据，并转换为十进制数，然后利用算术编码的方法压缩十进制数序列得到新的二进制序列，把压缩后的二进制数据再次转换成十进制数据存储到QR码中，最后利用双随机相位编码的方法进行加密和解密。

1 理论基础

1.1 基于算术编码的压缩方法

算术编码[18-20]是一种变字长无损编码方法，将编码数据看作由多个符号组成的序列，直接对该序列进行编码，编码后输出的码字对应于整个符号序列，而每个码字本身确定了0和1之间的一个实数区间。编码原理为：根据信源符号中各个符号所占的概率不同，把[0，1]区间划分为若干个互不重叠的子区间，每个区间的长度为每个信源符号的概率。这样，每个信源符号都可以用其所对应区间内的任何一个实数来表示，在对信源符号进行编码时，便可用相应的区间来表示。例如，要编码的是一个来自4个信源符号{1234}并由5个信源符号组成的符号序列：41312。通过计算得到各信源符号的概率分别为：P（1）=0.4，P（2）=0.2，P（3）=0.2，P（4）=0.2。编码时，首先根据各个信源符号的概率将区间[0，1]分成4个子区间：符号1对应[0，0.4），符号2对应[0.4，0.6），符号3对应[0.6，0.8），符号4对应[0.8，1.0）。符号序列中第1个符号是4，其对应的子区间为[0.8，1.0），因为它是被编码的第1个符号，所以原始信源符号就被缩窄到了区间[0.8，1.0），接下来将这个区间扩展为整个高度，其端点值不变，然后，这个缩窄的区间根据原始信源符号的概率进行细分，并继续对下一个信源符号进行处理。例如，第2个符号是1，1 在初始区间内是占整个区间的前40%，对应的也要占区间[0.8，1.0）的前40%，因此第2个符号的新编码区间变为[0.8，0.88），然后，第3个符号3 占初始区间的60%到80%，则第3个符号的新编码区间为[0.848，0.864），依此类推，第4个符号的新编码区间为[0.848，0.8544），第5个符号的新编码区间为[0.85056，0.85184），这样该区间内的任何一个实数就可以表示整个符号序列。把该十进制区间用二进制表示为[0.11011001101111100101，0.11011010000100100011），忽视小数点，不考虑“0.”，取该区间内码长为最短的码字作为最后实际的编码码字输出，所以对字符串[41312]进行算术编码的输出码字为1101101。

对于一幅灰度图像，对其进行算术编码压缩的具体步骤为：

Ⅰ） 将灰度图利用Matlab 软件读取文件的形式读取为一串二进制序列数据；

Ⅱ） 将Ⅰ）中的二进制数据利用利用文献[17]中的方法转换为相应的十进制数据。具体规则为：步骤1，取4位二进制数；步骤2，如果4位数字是1000 或1001，则将其转换为8 或9，并在4位数字后再次从下一位开始步骤1。如果这4位数字既不是1000 也不是1001，取前3位数字，并将其转换为0到7之间的一个数字。在3位数之后从下一位开始步骤1；

Ⅲ） 把Ⅱ）中的十进制数分为若干小段，对每一小段进行算术编码，将编码得到的二进制字符串组合在一起；

Ⅳ） 将Ⅲ）得到的二进制字符串用Ⅱ）中的方法转换成十进制数，编码完成，整个过程如图1所示。

图1 基于算术编码的数据压缩过程Fig.1 Data compression process based on arithmetic coding

1.2 QR码

QR码是二维码的一种，有40个版本和L、M、Q、H 4个纠错等级，不同的版本和纠错等级存储的数据大小也不同，版本越大，纠错等级越低，存储的数据越多。例如，31版的QR码最多可存储4 417个十进制数字、2677个字母数字组合、1 840个8位字节、1132个中国汉字。各个版本和纠错等级QR码的存储容量如表1所示。

表1 各个版本和纠错等级QR码的存储容量Table1 Storage capacity of QR code with each version and each error correction level

2 实验模拟

为了验证本文所提方法的有效性，利用Matlab软件对实验进行模拟。所选的加密系统为双随机相位编码（DRPE）平行加密系统[1]，如图2所示。

图2 DRPE 加密系统（f(x,y)和g(x,y)为明文图像和密文图像，θ(x,y)和φ(u,v)为随机相位板，L1和L2为傅里叶透镜）Fig.2 DRPE encryption system（f(x,y) and g(x,y) are plaintext images and ciphertext images，θ(x,y) andφ(u,v) are random phase masks，L1and L2are Fourier lenses）

加密和解密过程可以表示为

式中：f(x,y)和g(x,y)分别为明文图像和密文图像；FT和FT−1为傅里叶正、逆变换；θ(x,y)和φ(u,v)是两块随机分布在0到2π 区间的相位板；* 代表共轭。

对于一幅灰度图像，最常见的格式是BMP和JPEG，BMP格式的图像每一个像素值由8位二进制组成，JPEG格式图像是BMP格式的压缩形式，它的数据量要远小于BMP格式的数据量。无论是BMP 还是JPEG格式的图像，都可以以文件形式读取为一串二进制序列数据。以图3（a）灰度值较丰富的Lena 图为例，大小为64×64像素BMP格式的图像二进制文件大小为5.05 kB，可以读取为41376个二进制数字序列，在本文中我们采用的是压缩后的JPEG 文件（见表3），二进制文件大小为3.06 kB，读取为二进制数字序列为25088个，用文献[17]的方法转化的十进制数为8043个，使用算术编码后的二进制数字为19266个，最后再次转化为十进制数字有4395个，将这些十进制数存入31版纠错等级为L的QR码中，结果如图3（b）。然后利用DRPE 光学系统对3（b）进行加密和解密，加密后的密文图像的实部和解密后的QR码图像如图3（c）和3（d）。31版纠错等级为L的QR码[15]，错误纠正码字数480个，最少可纠正240个错误码字，解密后的QR码所包含的噪声导致的错误码字数远小于240，所以解密后的QR码可被轻松识别，图3（e）为最后恢复的原始图像。

图3 实验模拟结果Fig.3 Experimental simulation results

为了更好地说明本文所提方法的特点，对表示图像数据量的十进制数字压缩效率采用以下公式：

式中：P代表压缩效率；M代表压缩后的十进制数字个数；N代表原始图像所有灰度值十进制数字个数的总和。以图3（a）中的Lena 图为例，分别计算文献[16]中行程编码的压缩方法、文献[17]中的压缩方法和本文所提出方法的压缩率，结果如表2所示。

表2 不同方法的压缩率Table2 Compression ratios of different methods

由表2可以看出，本文所提出的压缩方法的压缩率要优于文献[16]和文献[17]中的方法，如果要将一幅大图像存入QR码中，本文提出的方法效果更佳。

3 讨论

对于一幅灰度层次较饱满的图像，例如Lena图，采用本文所提出的压缩方法，最多可以将一幅64×64像素大小的图像存入到QR码中，对于一张128×128像素或者256×256像素大小的灰度图像，则要采用多张QR码。表3为不同灰度图的压缩信息，对灰度层次较少的图像，由于图像冗余度大，压缩率高，采用本文的方法可以将一幅128×128像素的JPEG图像压缩后存入到QR码中，通过光学加密系统可以得到无损解密的图像。而对于一张灰度值只有0和255的二值图像，则可以将256×256像素或者更大的JPEG图像存入QR码，如图4所示，为了视觉效果更好，我们对128×128像素的图像做了放大处理。此外，由于QR码有4个纠错等级，不同的纠错等级数据容量不同，在实际的光学加密系统中，往往会引入其他噪声，所以在可选择的纠错等级和版本中，我们一般选择版本低和纠错等级高的QR码进行加密和解密。

本文所提出的基于算术编码的压缩方法，理论上可以多次使用，重复压缩，但由于每次压缩都需要记录每个灰度值的概率，以便在解压时使用，在实际的图像加密应用中，这就会增加密钥数据的传输量，并不利于加密技术的实际应用。

表3 不同灰度图的压缩信息Table3 Compression information for different grayscale images

图4 不同类型图像加密结果对比Fig.4 Comparison of encryption results for different types of images

4 结论

QR码作为数据容器在光学图像加密中起着非常重要的作用，但由于实际图像通常数据量较大，超出了QR码的存储容量，因此目前只是将一些简短的表达或者32×32像素的灰度图像存储到QR码中，远不能满足实际加密的需求。本文提出了一种基于算术编码的图像压缩方法，将灰度图像首先读取为二进制数据并转换为十进制数，再将十进制数利用算术编码的方法压缩为二进制数，最后再转换成十进制数，使得原始图像的压缩率极大提高，成功地将一幅64×64像素的灰度图像压缩到QR码中，并利用DRPE系统加密和解密，得到无损恢复的解密图像。此方法在未来有望用于视频及其他多媒体信号的加密。