基于旋壳圆筒效应的旋喷泵内部压力计算模型

黄 祺 刘在伦 权 辉 李琪飞 郭广强 王小兵

(兰州理工大学能源与动力工程学院, 兰州 730050)

0 引言

旋喷泵作为一种小流量、高扬程、低比转数泵[1]，其过流部件与普通离心泵有所差异，旋喷泵叶轮与旋壳同步旋转，从而避免了圆盘摩擦损失，在低比转数泵中，其效率高于普通离心泵[2]。目前，旋喷泵主要研究方向集中在叶轮优化设计以及数值计算的改型设计方面。如文献[3]提出了旋喷泵叶轮的优化设计方法及水力参数的设计原则；文献[4]通过在集流管内部加装导流板，使集流管所受的径向力略下降；文献[5]利用Standard湍流模型以及SIMPLEC算法, 总结了叶轮内部流道的流动规律；文献[6]用数值模拟方法对旋喷泵腔体结构进行了优化改型。一直以来旋喷泵腔内压力根据叶轮的出口压力确定，忽略了旋壳的圆筒效应，旋喷泵腔内压力理论计算、测试尚无先例可循。相比而言，普通离心泵在腔体内部压力的理论计算与测试方面均较成熟。文献[7]对一离心泵腔体内部压力的理论值和试验值进行了比较，给出了离心泵腔内压力分布方程。文献[8]以IS80-50-315型离心泵为研究对象，利用数量级比较法，对N-S方程进行简化，推导了离心泵腔液体压力数学模型。离心泵的压力测试方法比旋喷泵更为丰富，如泵腔内部瞬态压力遥测技术[9]、瞬态压力测量与数值模拟结合预测腔体压力脉动[10]、腔内PIV测试技术[11]、泵体内部压力脉动测量[12]等。

考虑到旋喷泵特殊的结构形式，以上方法并不能完全适用于旋喷泵的研究。本文在借鉴以上原理和方法基础上，基于旋壳圆筒效应建立旋喷泵腔体内部压力数学模型，旋壳内加装测压管以测试其压力，利用数值计算验证旋转系数的准确性及其影响因素的敏感性，以期为旋喷泵腔内压力理论计算、压力测试、性能分析、集流管进口位置的选取提供理论参考。

1 旋喷泵内部压力场理论分析

1.1 旋壳对压力场的影响

液体分子在旋壳内壁面拖拽下作旋转剪切运动，旋壳内流场从壁面沿径向跨越了层流、过渡流、粘性紊流区域，能量传递引起旋壳内部液体切速度与压力上升，液体平均能量增加，这就是旋壳的圆筒效应。因此按照叶轮出口压力来计算旋喷泵内部压力分布不够准确，假设在旋壳作用下腔内液体形成一等角速度旋转涡束，液体做环流运动，如图1所示，旋喷泵的旋壳绕其中心轴Z以均匀角速度ω旋转，流体质点受离心力和重力作用，其自由液面压力分布呈现旋转抛物面分布规律。假设旋壳内的流体为连续介质且流体运动遵循纳维-斯托克斯方程，高雷诺数下流体所受的重力与离心力相比可忽略。旋壳的半径为r3，内表面压力为p3，液体从旋壳内表面到轴心区域的压力降为一常数，根据均质流体相对平衡的基本理论，任一点液体压力与旋转角速度ω及所处半径r有关。

图1 旋壳内液体流动模型Fig.1 Liquid flow model in rotating shell

由于旋壳内液体轴向速度几乎为零，该流动可简化为平面流动，旋壳绕轴线等角速度旋转诱导出流体的流线是一组同心圆，该同心圆在流场中各点压力、圆周切速度是半径的函数。旋壳圆筒效应满足轴对称平面流压力平衡微分方程，沿半径方向压强梯度[13]、切速度分布[14]表示为

(1)

vθ=(r/r3)2vθ3

(2)

其中

vθ3=ωr3

式中ρ——流体密度，kg/m3

vθ——泵腔任意位置液体旋转切速度，m/s

vθ3——旋壳外环壁面旋转切速度，m/s

对式(1)积分，得

(3)

式中C1——积分常数

当旋壳与叶轮同步旋转时，液体旋转角速度与叶轮、旋壳旋转角速度并不相等。文献[15-16]明确指出旋喷泵腔内液体旋转符合刚性运动规律且液体旋转角速度为旋壳角速度的78%，考虑到旋壳内部液体实际旋转角速度与旋壳旋转角速度有偏差，令液体旋转系数

kL=ωL/ω

(4)

式中kL——液体旋转系数

ωL——液体实际旋转角速度，rad/s

代入边界条件，当r=0时，p3=0，则C1=0，式(3)表示为

(5)

显然，在旋壳圆筒效应的影响下，腔内压力较未旋转发生了改变。

1.2 叶轮对压力场的影响

本文试验泵安装5叶片后弯式离心叶轮，并且集流管置于前泵腔。对于离心式叶轮而言，文献[17]假设泵腔无泄漏，流动是定常的，泵腔内部液体压力和速度只沿径向变化，液体压力沿径向分布为

(6)

式中p1——离心叶轮腔体内部任意半径处液体压力，Pa

p2——叶轮出口压力，Pa

k′——液体压力损失系数

u2——叶轮出口圆周速度，m/s

r2——叶轮半径，m

文献[18]通过理论结合试验指出前泵腔内液体压力损失系数k′=1。假设叶轮进口处液体没有旋转，考虑到水力损失、有限叶片数、排挤系数、滑移系数的影响，叶轮出口压力为

(7)

其中

式中Su——叶片圆周方向厚度，m

z——叶片数

cu2——叶轮出口绝对速度在圆周的分量，m/s

qv——流量，m3/s

β2——叶片出口相对液流角，(°)

b2——叶片出口宽度，m

ψ——排挤系数

ηh——水力效率，%

σ——滑移系数

水力效率与滑移系数对内压有明显影响，文献[19]通过现有6种水力效率计算公式研究表明：苏哈诺夫公式平均计算值与最大计算值都小于其他公式，计算精度高。文献[20]指出离心叶轮滑移系数计算建议在比转数小于65时用威斯奈公式，比转数大于65时用斯基克钦公式。本文所用试验泵比转数为18，采用苏哈诺夫水力效率公式与威斯奈滑移系数，公式为

(8)

(9)

1.3 叶轮、旋壳共同作用数学模型

结合式(5)～(7)考虑旋壳圆筒效应的旋喷泵内部压力分布数学模型为

(10)

式中p——旋壳内液体压力，Pa

式(10)中r、qv是已知变量，kL是未知量，其余均是泵的几何参数或物性参数。若已知泵的结构参数与工况点，只要确定旋转系数kL，代入数值便能够计算泵腔内部压力。

2 试验设计与结果分析

2.1 试验设计

旋壳内部压力测定在旋喷泵专用试验台上进行，如图2所示。该泵采用清水作为工作介质，额定流量Qv0=7.5 m3/h，额定扬程H0=80 m，额定转速n0=2 900 r/min，额定效率η0=25.8%，必需汽蚀余量1.8 m，轴功率P0=7.5 kW，叶片圆周方向厚度Su=4 mm，叶轮外径D2=2r2=242 mm，旋壳半径r3=0.153 m，叶片数z=5，叶片出口宽度b2=6 mm，出口相对液流角β2=17°。试验系统主要由试验泵、电机、NJ1型转矩转速传感器(四川诚邦测控技术有限公司，精度±0.2%)、AXY-110/C型压力传感器(上海安钧实业有限公司，精度±0.5%)、LWGY-32型涡轮流量计(上海帆扬机电有限公司，精度±0.5%)、管路、阀门以及控制设备组成。

图2 旋喷泵试验台Fig.2 Test-bed of roto-jet pump1.集流管出口 2.叶轮进口 3.旋喷泵 4.泵悬架 5.电机 6.扭矩仪

为测试旋壳内压力分布，在旋壳内部安装一测压管，测压管与集流管呈180°对称布置，测压管上设有7个测压孔，采用1个测压孔开放、6个测压孔封闭的方式来读取腔内压力。测压孔中心距泵轴心线的半径r分别为72、82.5、93、103.5、114、124.5、135 mm，如图3所示。

图3 旋壳上的集流管与测压管Fig.3 Collecting pipe and piezometer tube1.集流管 2.固定盘 3.骨架密封 4.测压管 5.泵外壳 6.旋壳盖板 7.集流管出口 8.进口固定盘 9.泵进口管 10.测压管出口

2.2 试验结果分析

试验前对传感器、仪器仪表进行校准标定，额定工况点重复试验3次取平均值以减小试验误差并逐次记录腔内7个测压点的压力。叶轮与旋壳同步旋转时，液体旋转角速度介于零到旋壳旋转角速度之间，液体旋转系数介于0到1之间，令旋转系数kL为0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0，额定工况点泵的相关参数代入式(10)中计算，试验与理论计算结果如图4所示。

图4 泵腔液体压力试验与理论曲线Fig.4 Experimental and theoretical pressures in chamber

由图4可见，轴心位置压力低，靠近旋壳外环壁面区压力高。中心区流体在叶轮作用下沿径向流动并聚集挤压旋壳，压力由中心区向壁面区沿半径递增。壁面区流体受旋壳圆筒效应影响，能量由壁面区通过内摩擦力向湍流核心区传递，二者叠加效应引起115 mm

3 数学模型可靠性验证及旋转系数分析

3.1 计算模型、网格及边界条件

以试验泵为对象用SolidWorks建立实体模型，采用ICEM划分网格，模型泵生成网格总数为7 911 042，节点数为1 561 926。模型中的关键部件进行局部加密以提高计算精确度，计算域和网格如图5所示，在额定工况点进行网格无关性试验验证。根据模型特点，为应对旋喷泵中高应变率和流线弯曲程度大的流动特性，提高模型在大曲率情况下的准确性以及避免各向同性涡粘假设，考虑哥氏效应，选择对复杂流动有更高预测精度的雷诺应力RSM linear pressure-strain模型，过流表面粗糙度为50 μm，压力与速度耦合SIMPLE算法。选用标准格式压力亚松弛项，动量、湍动能、耗散率表达式均为二阶迎风格式离散差分方程，叶轮进口设置为质量流量进口，集流管出口设置为自由出流，无滑移固壁面假设，标准壁面函数法边界条件应用Fluent 16.0数值计算。

图5 旋喷泵计算域与局部网格Fig.5 Calculation domain of roto-jet pump and local mesh

模型选取过集流管进口中心点且垂直于泵轴中心线的特征轴截面Z1，轴截面Z1上取3个极半径，记为θ1、θ2、θ3。任两个极半径夹角为120°，用于试验与数值计算对比分析，其中测压管所在位置为θ2极半径，如图6所示。

3.2 模型可靠性分析

在额定工况点对该泵进行数值计算，收敛后截取Z1特征轴截面压力云图如图7(图中压力单位为Pa)所示，读取θ2极半径液体压力数据与试验值对比，结果如图8所示。

图6 泵腔特征截面及极半径Fig.6 Characteristic section and polar radius in chamber

图8 泵腔液体压力试验与模拟曲线Fig.8 Experimental and numerical simulation pressures in chamber

由于数值计算忽略了泵的容积损失，没有考虑泄漏量，泵腔中泄漏量是通过影响液体在旋壳内部的旋转角速度来影响液体压力的径向分布，泄漏量越大，液体旋转角速度越低，压力梯度越小。图7中转子腔内压力分布具有规律性。特征轴截面液体压力沿径向随半径的增大而增加，但相同半径液体压力基本不变，说明转子腔内液体流动的轴向速度几乎为零，腔内液体流动可简化为平面流动。由旋壳的内侧壁面和叶轮前盖板的外侧壁面构成了一个旋转腔体，旋转腔体内液体流动是由附面层和核心区组成，当介质粘性很小时，旋转腔体液体流动的雷诺数较大，流体与壁面相对速度的下降几乎发生在贴近固壁的微薄附面层内，核心区流体符合刚性运动规律，Z1轴截面位于流动核心区，等压线分布近似为同心圆。集流管附近等压线有轻微高度差，半径相同时，集流管迎流区域压力约比尾流区域高2%，叶轮和旋壳带动腔内液体一起高速旋转，高速流体在集流管迎流面碰撞聚集造成该区域切向速度下降，压力上升。图8中液体压力曲线沿径向以抛物线形状呈先慢后快的上升趋势，由叶轮与旋壳共同作用引起核心流动区液体旋转角速度提升，旋壳的圆筒效应引起的压力提升与半径有关，当半径增大时，旋壳旋转效应更加明显，液体压力也随之增大。径向液体压力梯度模拟值较试验值大，半径为72、82.5、93、103.5、114、124.5、135 mm时，模拟值为697 513、731 833、784 266、841 817、919 568、990 620、1 060 890 Pa，试验数据性能曲线与数值模拟曲线误差均小于6%，证明采用数值方法预测该泵内部流动特性是可靠的。

3.3 旋壳内旋转系数分布

额定工况下旋壳内θ1、θ2、θ3极半径上液体旋转系数与半径关系曲线如图9所示。

图9 泵腔内液体旋转系数变化曲线Fig.9 Distribution of liquid rotation coefficient in pump chamber

离散点组成图形近似于直线，液体符合刚体运动规律。在r<75 mm和r>135 mm范围，液体旋转系数发生了大幅度波动，这两个区域分别位于叶轮进口轴向段及旋壳外环壁面区，流体粘性剪切力促使该区域有较大的相对速度，液体旋转系数最大值达到0.835，最小值为0.694，3个极半径对应kL的平均值依次为0.745、0.747、0.742。泵腔内集流管钝体绕流引起θ1与θ3区域液体旋转角速度有轻微下降，θ2区域液体平均旋转角速度略大于θ1与θ3，说明集流管对液体旋转角速度影响微弱，可以忽略，认为液体在周向旋转角速度不变，旋转系数为0.75。

3.4 旋转系数影响因素敏感性分析

旋转系数的准确性对旋壳内部压力计算尤为关键，为此本文对该模型赋予不同流量、转速、壁面粗糙度来考核流动模型对旋转系数的敏感性，工况参数及θ2极半径液体平均旋转系数如表1所示。

表1 液体平均旋转系数及敏感性相关参数Tab.1 Sensitivity analysis of average rotation coefficient of liquid

以试验1作为参照，当转速和旋壳表面粗糙度不变，流量由7.50 m3/h降低到6.00 m3/h时，液体旋转系数由0.747降低到0.745，降幅为0.27%，流量由7.5 m3/h增加到9 m3/h时，液体旋转系数由0.747增加到0.748，增幅为0.13%，这表明流量越大，旋转系数越大，旋喷泵流量增加引起旋壳内部液体径向速度增加，绝对速度增大，导致液体旋转切速度和液体旋转系数有上升趋势。当转速和流量不变，旋壳表面粗糙度由50 μm降低到25 μm时，液体旋转系数由0.747降低到0.736，降幅为1.47%，旋壳表面粗糙度由50 μm增加到75 μm时，液体旋转系数由0.747增加到0.764，增幅为2.22%。这意味着壁面粗糙度越大，旋转系数越大，粗糙的旋壳壁面带动周围液体以较快速度旋转，增加了液体旋转角速度，液体能量增加，但这种依靠粗糙表面增加液体能量的方式通常是以牺牲泵性能为代价，会降低旋喷泵的效率。当流量和旋壳表面粗糙度不变，旋壳转速由2 900 r/min降低到1 450 r/min时，液体旋转系数由0.747增加到0.750，增幅为0.4%，旋壳转速由2 900 r/min增加到4 350 r/min时，液体旋转系数由0.747降低到0.743，降幅为0.5%。这说明转速升高会降低液体旋转系数，对此现象鲜有资料阐述，根据试验结果该泵在转速升高时效率会降低，旋喷泵相比普通离心泵降低了圆盘摩擦损失，但是并没有完全消除，旋转系数kL=0.75是旋壳与液体之间存在圆盘摩擦损失的例证，低比转数泵圆盘摩擦损失在总损失中占比大，转速升高加剧圆盘摩擦损失及液体径向压力梯度，引起液体旋转系数下降。在所试验范围内旋转系数kL介于0.736～0.764之间，波动较小，不超过3%，受各因素影响微弱。文献[21-23]认为普通离心泵腔体中液体平均旋转角速度为叶轮旋转角速度的1/2，液体旋转系数是定值。本文试验结果与文献[7]推荐值接近，由此判定旋喷泵中液体旋转系数也为定值0.75，并用一算例进一步验证旋转系数与式(10)的正确性。

3.5 实例验证

文献[24]对一复合叶轮旋喷泵内部压力进行了数值计算。该泵性能参数为：额定流量Qv0=10 m3/h，工作介质为水，额定扬程H0=160 m，额定转速n0=2 950 r/min，叶片圆周方向厚度Su=3 mm，叶轮外径D2=2r2=310 mm，叶片数z=8，叶片出口宽度b2=6 mm，出口相对液流角β2=90°，取kL=0.75。当r=155 mm时，代入式(10)计算得p=1 868 814 Pa，对比文献[24]可知，该半径压力平均值为1 700 000 Pa，压力相对误差为9.03%。当r=135 mm时，计算得p=1 487 165 Pa，对比文献[24]可知，该半径压力平均值为1 400 000 Pa，压力相对误差为5.86%，经过对比分析，验证了本文所提旋喷泵内部压力数学模型有很高的可信度，能够应用于旋喷泵腔内压力分布的理论计算。

3.6 模型的对比

目前，旋喷泵腔内压力分布还没有完整的计算公式，文献资料中关于旋喷泵腔内压力理论计算普遍遵循以下原则：腔内压力计算忽略旋壳的圆筒效应；集流管进口压力用叶轮出口压力代替。由此认为在r≤r2区域，忽略圆筒效应的旋喷泵内部压力可以用式(6)来计算，对于r>r2区域，认为该区域压力等于叶轮出口压力，则旋壳内经典压力分布数学模型为

(11)

图10 泵腔内液体压力径向分布Fig.10 Radial distribution of liquid pressure in pump chamber

图10为额定工况下旋壳内部压力式(10)、(11)理论计算以及试验结果的径向分布曲线。

由图10可见，相同半径位置式(10)计算值普遍高于式(11)，这与旋壳效应的影响本质相吻合，旋壳效应通过旋壳的边界区带动液体旋转向流动核心区传递，液体符合刚性运动规律的前提下，半径越大，旋壳效应引起的压力提升越明显，式(11)的计算值与试验值误差随半径的增加而增大，半径r为72、82.5、93、103.5、114、124.5、135 mm时，式(11)的计算值为734 520、746 205、759 478、774 340、790 789、799 610、799 610 Pa，与试验值最小相对误差为0.8%，最大相对误差为21.9%，由于式(11)不考虑旋壳效应且在叶轮出口区域由于没有足够理论支撑，当r>r2时，压力曲线变为一条水平直线，这种假设与实测压力误差较大。以上分析表明忽略旋壳效应且以叶轮出口压力作为集流管进口压力这种假设计算旋喷泵扬程误差较大，以下针对这一问题及数学模型的应用展开相应的理论分析。

3.7 数学模型及旋转系数的应用

集流管作为旋喷泵重要组成部分，其性能对旋喷泵内部能量转化尤为关键，集流管进口直径、高度选取与旋喷泵流量、扬程有必然联系，不考虑旋壳圆筒效应的旋喷泵扬程及集流管进口直径[25]计算公式为

(12)

(13)

式中Ht——旋喷泵理论扬程，m

ηj——集流管能量转化效率，%

g——重力加速度，m/s2

d1——集流管进口直径，m

Qt——旋喷泵理论流量，m3/s

ηv——容积效率，%

式(12)、(13)是旋喷泵扬程计算、集流管设计的重要理论依据，但二者计算结果均与腔内半径无关，这说明泵腔中压力、液体圆周速度处处相等，显然与实际不符。式(12)中用叶轮出口压力p2代替集流管进口压力，忽略了旋壳圆筒效应以及腔体半径r对液体压力的影响，式(13)中用叶轮出口圆周速度u2代替集流管进口液体圆周速度，忽略了液体旋转系数kL以及腔体半径r对液体圆周速度的影响。这样简化处理势必引起旋喷泵理论扬程与集流管进口直径计算不够准确，具有一定的局限性。假设集流管进口中心点距轴心线半径为r，则式(12)、(13)可以改写为

(14)

(15)

式(14)、(15)中半径r与液体旋转系数kL对腔内压力p、理论扬程Ht、集流管进口直径d1均有影响，这为旋喷泵扬程理论计算、集流管设计及集流管安装高度选取提供了一定的理论基础，也是经典理论计算方法的完善。

4 结论

(1)基于旋壳圆筒效应建立了旋喷泵腔内压力数学模型，该数学模型是对现有旋喷泵内部压力场计算方法的补充。

(2)由于液体与旋壳旋转角速度有偏差，因此在泵腔压力数学模型中引入液体旋转系数kL，分析结果表明，该试验泵液体旋转系数kL=0.75，此时液体压力理论值与试验值吻合较好。对一复式叶轮旋喷泵的试验结果进行计算，验证了本文提出的旋喷泵腔内压力数学模型的可靠性。

(3)液体旋转系数影响因素的敏感性分析表明：壁面粗糙度、转速、流量对液体旋转系数kL影响较小，试验范围内旋转系数kL介于0.736～0.764之间，波动较小，不超过3%，可以认为是定值。