基于热传导模型的热防护服设计

摘要：消防员等高温环境工作者都会配备热防护服，保障高温作业人员在接近热源时免受伤害。热防护服通常由三层织物材料构成，服装与人体皮肤之间还有一定的空隙，可认为人体与外环境之间存在四层隔离。本文建立四层隔离和皮肤层之间的热传导模型，用有限差分法求解热传导的偏微分方程，对热防护服进行设计，确定热防护服各层的厚度范围。最后从安全和舒适两个目标出发建立双目标优化模型并求解，得到热防护服的各层最优厚度。

Abstract： Firemen and other high-temperature environmental workers should be equipped with protective clothing against heat to avoid injuries while approaching heat sources. Protective clothing against heat is usually composed of three layers of fabric material， and the air between clothing and human skin can be regarded as the fourth layer of isolation between external environment and human body. In this paper， the heat conduction model between the four layers of insulation and human body is established. The partial differential equation of heat conduction is solved by the finite difference method， and the thickness range of each layer of thermal protective clothing is designed. Finally， based on the safety and comfort objectives， a double object optimization model is established and solved to obtain the optimal thickness of each layer of thermal protective clothing.

关键词：热防护服;热传导;有限差分法

Key words： protective clothing against heat;heat conduction;finite difference method

中图分类号：TS941.2                                     文献标识码：A                                  文章編号：1006-4311（2020）28-0194-02

1  问题简述

1.1 背景  消防员等高温环境工作人员都会配备具有防火、隔热、阻燃等特性的专用工作服，穿上这种服装，高温作业人员即使接近热源，也不会受到酷热、火焰、蒸汽等的侵害。高温作业专用服装一般由三层织物材料构成，当物质之间存在温度差时，就会出现热量传递的现象。

1.2 需要解决的问题  利用数学模型解决以下问题：①对环境温度为75℃、防护服II层厚度为6mm、IV层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，记录假人皮肤外侧温度。根据环境温度和假人皮肤外侧温度求中间各层的温度分布。②当环境温度为65℃、IV层的厚度为5.5mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。③当环境温度为80℃时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。

2  温度的分布

2.1 热传导过程  首先将人体形状视作圆柱体。假人体内温度恒定37℃，但是假人皮肤外侧的温度是变化的，所以人体并不能看作一种物质构成的整体，而应该包含皮肤层和内部两种结构。

本题中热量在空间上的传导为一维形式，如下式：

（1）

热防护服的热传导过程如图1所示，最右侧的人体实际上是人体皮肤外侧，计算时使用实验记录的人体皮肤外侧温度作为右边界条件。图中I、II、III、IV四层各自均符合热传导方程式，对空间和时间进行离散处理，形成时间空间网格，用有限差分的方法解热传导微分方程。

根据热传导情况和对人体的假设，可以列出一个带有求偏导数的方程，在有初始条件和边界条件限制时，此方程存在唯一稳定的解。初始条件即初始0时刻的时候，各个位置的函数值。边界条件即在位置开始和结束两个位置上的各个时刻的函数值，或者函数值的导数的值，本题目分了4个偏微分方程，因而在每个边界都要有边界条件。用数值法求解的时候，需要把方程和边界条件全部进行差分。

由传热学相关研究可得边界Ⅰ与外界环境之间的换热微分方程得到Ⅰ层与外界环境的第三类边界条件为[1]：

（2）

其中h1为空气层对流换热系数，取值20。

为保证边界时温度的连续性，Ⅰ层与Ⅱ层之间的连续型边界条件如式（3）和式（4），其它各层之间的边界条件也类似。

（3）

（4）

Ⅳ层与人体内的温度边界为人体皮肤层，则在人体内外侧边界的边界条件假设为换热微分方程：

（5）

其中h2为皮肤层的对流换热系数，可以通过给出的皮肤外侧温度来算出。

总的热传导微分方程模型为：

（6）

其中ui表示各层的温度，li表示第i层的厚度，ti表示时间节点划分，tw就是最后一个时间节点。已知初始条件为u（x，0）=37，再以四层材料边缘处的温度为边界条件，理论上即可求解微分方程组。

2.2 求解热传导模型  利用Matlab软件求解，可以得到时间空间网格中每个结点的温度，即温度的时间和空间分布，绘制温度分布图。

如图2所示，多层材料在从室温条件下进入高温工作环境后不同厚度位置处的温度随时间变化情况已给出。其中越靠近热源地方初始时刻温度上升的越快，在接近皮肤处地方由于皮肤初始温度为37℃高于初始时刻的内层材料温度，因此在初始时刻温度上升时呈现出两边快，中间延后的情况。再考虑经过一段较长工作时间90分钟后，各层材料厚度基本达到稳态，稳态时越靠近外界环境处的温度越高。

3  材料层的最优厚度

当环境温度低于75℃时，对上述防护服的规格要求就会有所降低，这种情况下仍然使用高规格的防护服是一种材料的浪费，同时也会令穿着者感到笨重。如果要节约成本，提高使用舒适感，就要针对不同外界环境的温度设置不同厚度的材料层。某层材料变薄，对热量的阻隔作用就会变差，皮肤外侧收到的保护削弱，升温越快。而外界环境温度的降低则减缓皮肤外侧升温，两个作用效果相反的因素结合，当一个因素确定时，应该有一个与之对应的最佳搭配，恰好能物尽其用。

由于约束条件中的直接研究对象是Ⅳ层右侧、皮肤表面的温度，这里的温度是会变化的，而人体内体温是恒定的37℃，这里的温度不连续说明在皮肤表面与人体内部存在着一个皮肤层。改变模型中的环境温度u外为65℃，Ⅳ层厚度为5.5mm，建立最优化模型。

已知Ⅱ层的厚度范围，利用二分法寻找满足约束条件的最优厚度。首先在Ⅱ层厚度区间取中值，验证该中值是否能使假人皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。若符合这个条件，在数值偏小的半区间继续取中值检验，若不符合，在数值偏大的半区间继续取中值检验，重复这个过程，最终就会得到一个具有一定精度的最优厚度。二分法寻找的过程由Matlab编程实现，最后得到第二层最优厚度为9mm。

4  材料层和空气层的最优厚度

当材料层Ⅱ和空气层Ⅳ的厚度都未知时，用双目标优化的思想求解模型，有两个未知厚度层，且外界环境温度发生了改变（u外为80℃）。优化的目标依然是要既满足约束条件，又轻便灵活，节约材料。

约束条件是工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。经计算，L2+L4的最小值为14.2。

为使服装满足约束条件，有良好的隔热性能，Ⅱ层材料厚度设计应尽量大，Ⅳ层厚度应尽量小;为使服装轻便舒适，降低成本，Ⅱ层材料厚度应尽量小，Ⅳ层厚度应尽可能大，且Ⅳ是空气层，不需要材料，而Ⅱ层是织物，需要材料，为了节省成本，Ⅱ层应尽可能薄。将双目标统合为同一目标进行有效分析，最优厚度的评价标准y

y=s+c（7）

式中s表示安全性，c表示舒适性。

根据各层材料的参数，热传导率越大越安全，密度越小越舒适的基本规则，对Ⅱ、Ⅳ两层进行安全和舒适评估打分，最后得到双目标优化模型的最优解为：Ⅱ层厚度9.8mm，Ⅳ层厚度4.4mm。

5  总结

多层热防护服设计的重点是确定各层材料厚度，使热防护服既能满足防护要求，又尽量轻便省料，难点在对热防护效果的分析上。本文以四层热防护服为例，根据传热原理建立热传导微分方程组。经典的导热微分方程在本问题中的形式比较复杂，计算困难，使用有限差分法求解偏微分方程，容易通过计算机软件计算，得到较为精确的数值解。

参考文献：

[1]张兴中，黄文，刘庆国.传热学[M].北京：国防工业出版社，2011.

[2]张奕.传热学[M].南京：东南大学出版社，2004.

[3]潘斌.热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题[D].杭州：浙江理工大学，2017.

[4]许维珍.热传导中应用数学建模的探讨[J].赤峰学院学報（自然科学版），2008（07）：26-29.

[5]卢天健，徐峰.皮肤传热的双相位滞后模型[J].西安交通大学学报，2009，43（05）：1-7.

作者简介：白晓萌（1998-），女，河南郑州人，本科，研究方向为数学建模。