基于数学方法论的“深度”解题

刘鹏　卢象鹏　杨光伟

[摘  要] 思维能力的培养是学生发展数学核心素养的关键之一. 数学方法论指导下的“深度”解题为学生开展数学探究活动提供了思路. 以一节不等式证明的解题教学为例讨论在实施这种教学时需要关注的问题.

[关键词] 思维能力;“深度”解题;数学方法论

思维能力的培养是学生发展数学核心素养的关键之一. 郑毓信先生曾提到：在教学中不仅要关注学生“即兴思维”能力的提高，还应当更加重视如何能够帮助他们逐步养成“长时间思考”的习惯和能力[1]. 学生数学思考的脉络化是培养其思维能力的重要途径，而在数学方法论指导下的解题探究教学则能为有脉络地探索活动提供一定的借鉴意义.本文将从一个数学解题探究的教学案例出发，探析学生是如何在基于数学方法论的“深度”解题过程中，有脉络地思考.

数学方法论背景下“深度”解题的内涵与意义

1. 何谓“深度”解题？

“深度”解题教学是解题活动的教学，而解题活动是一种思维活动. 不仅是获得答案的过程，更是思路探求的过程. 那么，怎样的解题是有“深度”的？有“深度”的解题过程不应该是对某一种解题技巧的静态训练，而应该是蕴含着数学思想方法的动态思考，数学方法论便是沟通二者的桥梁.

2. 如何“深度”解题？

实际课堂教学中，教师往往先教授学生解决问题的技能并让其反复训练，学生熟练掌握后再告知方法中所蕴含的深刻数学思想. 从建构主义的观点出发，这一过程颠倒了学生图式建构的心理顺序，学生在这一过程中并没有经历思想方法在认知结构内部的建构过程，它是由教师强加给学生的，因此这种思想方法并没有转化为学生的认知图式.而思想方法作为数学教学的灵魂，数学解题教学也应该在数学方法论的指引下，建立如下“深度”解题教学的一般过程（图1）：

3. 为何要“深度”解题？

首先，解题教学是训练学生数学思维，培养问题意识、探究精神的最佳契机. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》也指出：数学课程要注重发展学生的数学核心素养，学生学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界[2]. 而解题教学作为数学课程一部分，引导学生进行“深度”探究就显得尤为必要. 其次，“深度”解题能够引导学生理解数学，深刻认识数学的本质，总结大量的数学方法，揭示数学发现和创造的规则，从数学的发展方式中把握数学内在的本质和规律.

一个数学解题探究的教学案例

1. 数学方法论搭建解题技能与数学思想的桥梁

宏观的数学方法论，着眼于数学思想;微观的数学方法论，立足于具体的解题技能，而这一理论更是搭建解题技能与数学思想的桥梁.基于“深度”解题教学的一般步骤，本案例从学生非常熟悉的一道练习题出发，进行深入探究.请看案例第一部分：

例题：α为锐角，求证：■+■≥25.

师：这是一道平时常见的题目，我们已经做过很多次了.还记得怎么做吗？

生1：这道题很简单，在式子的左边调整系数添上“1”，而cos2α+sin2α=1，展开后得出常数，再求■+■的最小值就可以了.

师：既然可以添上系数“1”，那么添上“2”“3”可以吗？能不能想办法添上“k”使它更具有一般性呢？

评析：以学生熟悉的习题为载体，基础的数学方法为抓手. 面对此题，学生会主动思考“难道还有其他方法吗？”在教师的引导下，激发学生的学习积极性，活跃课堂气氛.

生2：听了生1的方法，思考片刻后，认为可以运用k解决. （学生上台板书）

板书：■+■=■+■+kcos2α+ksin2α-k=■+kcos2α+■+ksin2α-k≥4■+6■-k.

等號当且仅当■=cos4α，■=sin4α时成立，即■=cos2α，■=sin2α，代入sin2α+cos2α=1，解得k=25，此时10■-k=25，故■+■的最小值为25.

师：大家认同生2的做法吗？（学生思考后全部同意）实际上，这是待定系数法的运用. 但添加的内容与生1大有不同，配凑上了“k”倍的“1”. 将一个涉及三角函数的不等式问题转化为以k为变量的函数最值问题，最后只要通过等号成立的条件确定k的取值范围即可.

评析：多数学生局限于单一的不等式知识模块，认为这题只有生1的一种解法，而生2却通过类比数学思想，联想到待定系数法.这一环节立足于学生的最近发展区，由浅入深，由感性到理性，引导和帮助学生思考问题.数学思想与数学方法之间跨设的桥梁将这一看似平淡的解题课逐步引向了深度.

2. 数学方法论梳理解题过程中的思考脉络

如何进行有“深度”的解题？学生能够思考出第二种方法，已是本题教学的突破.然而，探究的脚步却远远没有停下. 请看案例的第二部分：

师：其实，这一题还可以将均值不等式法和待定系数法两者结合起来.大家动手试一试！提示：同一个量用两种方法进行表示，大家看看是哪一个量呢？

3：生2中出现了最值，想到设最值为S，用三角函数cos2α+sin2α=1表示同一个S，再求解不等式. （学生上台板书）

板书：令S=■+■，得等量S=S·1=S（cos2α+sin2α），于是2S=S+S=■+■+S（cos2α+sin2α）=■+Scos2α+■+Ssin2α≥4■+6■=10■. 由2S≥10■，得S≥25.

师：非常好！（课堂气氛顿时热闹了起来）这里依然体现了数学思想方法中的类比思想，还有化归思想;也同时结合了均值不等式、待定系数法两种不同方法. 可见，虽然这是一道简单的作业例题，通过大家的不断探究，发现可以用多种方法来解决问题.

评析：不少学生认为，一道数学问题的精妙解法只是“聪明人”一时灵光乍现的想法，可遇而不可求.这样的认识无疑会打击学生的探究精神.教师需要借助数学方法论，让这一看似虚无缥缈的思维过程形成清晰明确的思考脉络，使学生认识到再精妙的解法也是有路可寻的.

师：大家继续看这一道题. 求证：■+■≥■. 以上方法都可以吗？

生4：不等式左边分母进行换元，之后的做法与前面一题一致.

师：不同的数学问题，不外乎是由条件和结论或所求目标构成. 在不同的条件背后，却蕴含着相同的数学本质. 而我们所追求的是从熟悉的方法中萌生出更巧妙的方法.

通过引导学生掌握证明例题的两种方法后，以例题的有效变式作为支撑，继续深入探究生3的方法. （学生独立思考）

题目1：已知x，y是正實数，且■+■=1，求证：x+2y≥3+2■.

题目2：已知x，y是正实数，且x+y=2，求证：■+■≥2.

题目3：已知x，y是正实数，且x+2y=3，求证：■+■≥3.

师：首先，很容易发现题目1可以用柯西不等式完成，那么题目2和题目3也可以吗？其次，如果运用生3的方法，又会有怎样的发现？接下来大家思考5分钟，然后小组讨论，谈谈各自的证明思路.

生5：我们小组发现，以上三个题目用生3的方法都可以证明.比如题目1，给我们的条件是■+■=1，和cos2α+sin2α=1有些不同，但是我们类比生3的方法，用待定系数法设出S=x+2y，又将S=S■+■表示，整个式子进行化简，得到2S=S+S=x+2y+S■+■=x+S■+2y+S■，运用均值不等式可以得到2S≥2■+2■，解得S≥3+2■.

分析：奥苏泊尔曾指出相比于宏观上位的认知结构，下位而具体的技能方法更难进行水平迁移. 教师进行解题教学时如果就题论题，学生即便掌握了这一方法也很难做到举一反三，在面对变式时仍将束手无策. 首先，教师必须以宏观的数学方法论作为指引，将具体的技能教学上升到宏观的思想方法教学，以此加强具体方法的可迁移性. 其次，教师要理解教学，对教学规律认识深刻，对教学问题要敏锐，看教学是否能引发学生的思考，鼓励学生的创造性思维，培养学生良好的学习习惯和方法.

师：首先，对于你们组讨论的结果表示肯定. 将不同的数学方法巧妙地结合在了一起.老师补充一点，这里还渗透了等价转化的数学思想，同一个量用不同方法来表示. 其次，大家也很好地模仿了生3的证明过程，你就会发现其实这一题并不难了. 那么，对于题目2和题目3，你们是怎么想的？（小组讨论后，生7和生8两位学生上台板书）

师：这两位同学都完成得非常好！大家把掌声送给他们！虽然题目2和题目3所给的条件等式不同，所证的不等式次数也不同，证明的方法却是一样的. 那么，我们是不是可以猜想它的一般情况呢？接下来让我们尝试对该类题型作出归纳.

分析：对母题进行推广，学生通过对掌握的待定系数法进行迁移使用来重新体会化归和类比归纳的思想，此时的思想是由学生在解题过程中由内向外生长出来的，因此学生在这个解题过程中经历了化归和类比归纳思想的建构过程.使得这一堂解题教学简约而不失内涵，有序而又灵活.

3. 数学方法论升华解题结果的价值取向

一堂解题教学课中，学生关注的是解题结果的生成. 其实，获得答案的本质也是发现与发明的过程. 基于数学方法论的引导，学生能够揭示数学知识本质，并在其探究过程中渗透数学精神的同时，强调育人价值. 请看案例的第三部分：

题目4：（师提出）已知x，y是正实数，且x+λy=n，求■+■的最小值.

师：这一题是将条件和结论一般化.还可以用这一种方法来证明吗？大家思考5分钟，小组讨论.

课堂上一片寂静，许多学生对此题没有思路.

师：大家能做到哪一步？

生9：设■+■=S，然后1=■■+■，x+λy=n，之后就做不下去了.

师：非常好！你做到这一步非常关键！接下来的证明由老师完成吧！（师板书）

板书：设■+■=S，■=1，得等量S=S■，于是

（1+n）·S=S+n·S=■+■+n·S■=■+■+■+■≥（n+1）■+（n+1）■=（n+1）（λ+1）■.

由（1+n）·S≥（n+1）（λ+1）■，得S≥（λ+1）■=■，即■+■≥■. 故最小值为■.

师：不难看出，将所论的具体数学问题，放在一般的状态下进行思考，使得这一种新方法更具有一般性.从一个复杂的数学问题，联想到与之相近的知识或类似的问题，并发现它们之间的内在联系. 比如这道证明题，我们也是通过解决几个具体的题目后才能够解决.

分析：传统意义上的解题，把“题”作为考察的对象，把“解”作为研究目的.在很多情况下，对“题”的关心，对“解”的追求，远远超过对“解题”本身的注意. 案例的前两部分只是告诉了我们在精明的数学成果的背后，应用了什么样的数学方法，得到了什么数学结论. 而案例的第三部分揭示了怎样应用数学方法，如何发现更一般的数学结论. 达到了“既见树木又见森林”的目的. 潜移默化地渗透了各种数学思想以及方法.

4. 课堂小结

师：经过这节课探究学习，大家有什么收获？

生10：以例题证明作为切入点，引导我们通过待定系数法和均值不等式两种方法的融合以及函数、等价转化、化归和类比归纳等数学思想来多角度看一道证明题. 并在此基础上，引申出了3个题目，最后形成一般化的推广.

师：这节课大家的思维很活跃，在大家的合作下，一连串的问题都解决了. 本文以一道常规的不等式证明题为例，进行探究，运用从特殊到一般、转化等一些基本思想方法，反复强调转化与化归、类比归纳等数学思想方法的重要性. 题目从易到难，层层递进. 希望大家在今后的学习中，能够灵活运用这些数学方法，细细体会其中的数学思想！

基于数学方法论的“深度”解题过程中的两个注意点

1. 以数学知识体系和蕴含的方法论分析为基石

人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借. 丰富的知识并加以优化的结构能够为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件. 例如，若能熟练掌握待定系数法和均值不等式等基础知识的体系，深刻理解其数学本质，便能有对如上例题的“再创造”. 此外，数学知识体系的完善还要以其背后所蕴含的方法论作为基础. 知识体系是静态的、枯燥的，方法论让它活了起来、动了起来，由静态的知识转化为动态的方法. 具体地说，学生虽然掌握了知识体系，熟悉基本的逻辑规则和常用的解题方法，却找不到体系与实践的联系. 相反，若以方法论为脚手架，却能够起到会一题、通一类、达一片的教学效果.

2. 以数学思维作灵魂引领学生探究

数学是锻炼思维的体操，高质量的数学学习以数学思维作为首要基础. 通过对解题过程的探究分析形成一般意义的数学思维框架显得极为重要. 本案例中，学生通过一个简单的例题和熟悉的证法，发现了新的证法，并解决了一系列由例题引出的变式，加以推广，足以体现数学思想方法在解题探索中的价值.由此可见，教师要充分发挥学生的主体性，引导学生形成由上述常规数学思维所组成的思维框架. 这将有助于学生举一反三、触类旁通，同时也使得学生思维本身不断向更高层次发展[3].

总之，如何培养学生的思维能力是数学教育界关注的问题. 以数学方法论指引数学解题不是增设一门学习课，而是要求教师在每堂数学课中渗透数学思想方法以帮助学生形成解题的思考脉络，养成长时间思考的能力和习惯. 这一过程不是一蹴而就的，需要教师时刻关注.

参考文献：

[1]  郑毓信. 数学教育视角下的“核心素养”[J]. 数学教育学报，2016，25（03）.

[2]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]  戴经纬，唐恒钧. 基于数学方法论的问题链——学生有脉络地探索[J]. 中国数学教育，2018（20）.