矩阵初等变换的应用

2020-10-21 23:46杨付贵

科学导报·学术 2020年23期

摘要：矩阵的初等变换是线性代数中的最为重要的概念之一，它贯穿着线性代数这门课程的始终，并且有着极其广泛的应用。因此，理解和掌握好矩阵的初等变换对于学习好线性代数十分重要。然而，在学习线性代数中，对于理解和掌握矩阵的矩阵的初等变换及其应用，很多同学，特别是对于普通高校文科的学生，以及民办高校的学生，学习的时候，感觉知识很零碎，计算量也比较大，更不知如何更有效正确理解和掌握。本文主要是对矩阵的初等变换在线性代数中的应用等问题，进行梳理，归纳和总结。为同学们在学习有关矩阵的初等变换的知识时，能够系统地了解矩阵的初等变换在不同地方的应用，提供思路和方法。

关键词：初等变換;行阶梯形;行最简形;极大无关组：

一.矩阵的初等变换的定义

定义：将矩阵的下述变换称为矩阵的初等行（列）变换：（i）对调矩阵的i、j两行（列）;（ii）以非零数k乘以矩阵的第i行（列）的所有元素;（iii）将矩阵的第j行（列）的所有元素的k倍加到矩阵的第i行（列）对应的元素上去。

矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。

二. 矩阵的初等变换的若干性质

性质1 如果矩阵A经有限次初等行变换化为B，则A的列向量组与B的列向量组具有相同的线性关系;

性质2 对矩阵A施行一次初等行（列）变换所得到的矩阵，相当于在A的左（右）边乘上一个相应的初等矩阵;

性质3 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;

性质4 可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积;

性质5 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆矩阵也是可逆矩阵。

三.矩阵的初等变换的应用

矩阵的初等变换有着及其广泛的应用，由于篇幅所限，我们只讨论矩阵的初等变换在线性代数中的应用。

1.判断两个矩阵是否等价：

对于两个矩阵A，B，对它们分别施行矩阵的初等行变换，化成行最简形矩阵，如果它

们的行最简形矩阵相同，则矩阵A于矩阵B等价;否则，矩阵A于矩阵B不等价。

2.将矩阵化为行阶梯形，行最简形，标准型

对于任何给一个矩阵，都可以经过有限次矩阵的初等行变换，将其化成行阶梯形;再进

一步施行有限次矩阵的初等行变换，就可以化成行最简形，对行最简形矩阵施行有限次矩阵的初等列变换，就可以化成标准形。

3求矩阵的秩

对于任何给一个矩阵A，可以通过对矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形，那么

行阶梯形的非零行的行数，就是矩阵A的秩。

4.求可逆矩阵的逆矩阵

?阶矩阵（A，E），然后，对于矩阵（A，E）施行一系列矩阵的初等行变换，直至A化成单位矩阵E的同时，单位矩阵E化成了A的逆矩阵。

5.求线性方程组的解

利用矩阵的初等变换求解线性方程组，首先写成线性方程组的增广矩阵，然后对增广

矩阵进行矩阵的初等行变换，化成行阶梯形;再根据系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等，来判定线性方程组是否有解？如果不相等，无解;如果相等且等于未知数的个数，则解是唯一的;如果相等且小于未知数的个数，则无穷多个解;在有解时，再对行阶梯形矩阵进行初等行变换化为行最简形，由行最简形矩阵写出线性方程组的通解。

6.求矩阵方程，或

对于矩阵的方程求解，可以在方程左边或右边或两边乘以相应的逆矩阵，即可求出矩阵方程的解;但通常最实用的方法是矩阵的初等变换法。即：对于矩阵方程，构造矩阵（A，B），然后，对于矩阵（A，B）施行一系列矩阵的初等行变换，直至将A化成单位矩阵的同时，矩阵B化成了所求的未知矩阵X。而对于矩阵方程，构造矩阵，然后，对构造矩阵施行一系列矩阵的初等列变换，直至将A化成单位矩阵时，矩阵B化成了所求的未知矩阵X。至于矩阵方程，可令，则，利用矩阵的初等行变换求解出D，然后，再由，利用jv在的初等列变换求解出未知矩阵X。