关于如何运用“数形结合”思维开展一元一次不等式（组）教学实践的思考

杨春梅 李珺

数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合兼有数的严谨性与形的直观性两大优势，是优化解题过程的一种重要途径。在教学中有意识的向学生渗透这种思想，既可以拓展学生的数学思维，也可以培养学生的数学素养。笔者在对所教学生进行学情分析的基础上，结合实际，将数形结合思维灵活融入一元一次不等式（组）及相关知识的教学的全过程，尝试让复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，提升课堂教学质量，取得了较好的效果。现就结合“含参数的一元一次不等式组中的参数的取值范围”的教学过程谈谈自己的实践体会。

类型1：不等式组有解（为未知数，为参数）

（1）不等式组 有解，则的取值范围___________。

（2）不等式组 有解，则的取值范围___________。

（3）不等式组 有解，则的取值范围___________。

解析：可用求不等式组的解集的口诀“大小小大中间找”反推;也可用数轴来解决。这两种方法结合起来效果更佳。

（1）画数轴

先画数轴，在数轴上表示出不等式组中两个不等式的解集，先画已知不等式的解集，再用口诀“大小小大中间找”，画出未知不等式的解集，可直观展现不等式组的解集，同时得出取值范围。

由此可得，  。

（2）画数轴 （画的过程同（1））

由此可得， 。

（3）画数轴 （画的过程同（1））

由此可得 ， 。

观察3个不等式组的结论，只有第（3）个取了“等号”。对于这个“等号”取还是不取，很多同学很迷惑，可归纳为一句话“单空双空不取等，你实我实才取等”。（所谓“单空双空不取等，你实我实才取等”是指在不等式组中只有一个不等式不含等号或两个不等式都不含等号，不等式组中的参数的取值不取等号：不等式组中两个不等式都含有等号时，不等式组中的参数的取值才取等号。）

类型2：不等式组有几个整数解 （为未知数，为参数）

（1）不等式組   有3个整数解，则的取值范围___________。

（2）不等式组  有3个整数解，则的取值范围___________。

（3）不等式组   有3个整数解，则的取值范围___________。

解析：用数轴法来解，在数轴上表示解集时，先把已知那个解集表示出来，再去确定未知解集的大概位置。

（1）画数轴

因为有3个整数解，已知的第一个不等式x的解集小于2，就从2的左边第一个整数1开始往左边数3个整数，这3个整数分别为-1、0、1，那么的取值应在最左边的整数-2与-1之间，因为第二个不等式x的解集大于m，所以m可以等于-1。

即    。

（3）画数轴

因为有3个整数解，已知的第一个不等式x的解集大于-1，就从-1的右边第一个整数0开始往右边数3个整数，这3个整数分别为0、1、2，那么的取值应在最右端的整数2与3之间因为第二个不等式x的解集小于或等于m，所以m可以等于2。

即      。

（3）画数轴

因为有3个整数解，已知的第一个不等式x的解集是小于或等于2，就从2开始往2的左边数3个整数，这3个整数分别为0、1、2，那么的取值应在最左边的整数0与-1之间，因为第二个不等式x的解集大于或等于m，所以m可以等于0。

即    .

观察 3个不等式组的结论，每一个都有一边取了等号，那么哪一边取等号呢？如何才能确定？用一句话来概括：“单等双等大数取等，都无等号小数取等。”（所谓“单等双等大数取等，都无等号小数取等”是指在只含一个等号或两个等号的不等式组中参数的取值较大的数取等号，不含等号的不等式组中的参数的取值较小的数取等号。）

类型3：不等式组有几个非正（负）整数解（为参数）

（1）不等式组 只有2个非正整数解，则的取值范围_____________。

（2）不等式组  只有2个非负整数解，则的取值范围_____________。

解析：注意结合口诀“同大取大，同小取小”的使用。

（1）画数轴

先画数轴，在数轴上表示出不等式组中两个不等式的解集，先画已知不等式的解集，再用口诀“同大取大”，画出未知不等式的解集，可直观展现不等式组的解集，因为“只有2个非正整数解”，就只能是0、-1，原不等式组的解集只能是 ，得出取值范围。

由此可得， 。

（2）画数轴

先画数轴，在数轴上表示出不等式组中两个不等式的解集，先画已知不等式的解集，再用口诀“同小取小”，画出未知不等式的解集，可直观展现不等式组的解集，因为“只有2个非负整数解，就只能是0、1，原不等式组的解集只能是，得出取值范围。

由此可得，  。

像这个类型的题可以用简单的一句话来确定，“同大小取等，同小大取等”。（所谓“同大小取等，同小大取等”是指在不等式组中两个不等式都是大于符号，不等式组中的参数的取值中小的那个数取等号;不等式组中两个不等式都是小于符号，不等式组中的参数的取值中大的那个数取等号。）

综上，关于解决一元一次不等式组中参数的取值范围问题，抓住以下三个关键点，问题迎刃而解。

一是不等式组有解的口诀要记牢：“同大取大，同小取小，大小小大中间找”。

二是对于第二类、三类的参数的取值范围一定是在两个连续的整数之间。如果大于符号对应的数是已知的，就往数轴的右边数，数到末端再往右数一个单位，参数取值的界点就是末端数与右边的整数;如果小于符号对应的数是已知的，就往数轴的左边数，数到末端再往左边数一个单位，参数取值的界点就是末端数与左边的整数。

三是类型分清，口诀用对。在解题的过程中一定要看清属于哪一种类型。