一类新的灰色耦合模型及其应用

王 安,杨 雨，谢丽华

(1.平顶山学院 数学与统计学院，河南 平顶山 467036；2.平顶山学院 计算机学院，河南 平顶山 467036；3.平顶山学院 化学与环境工程学院,河南 平顶山 467036)

0 引言

对于少样本贫信息的研究对象，GM(1,1)模型表现出优越的预测效果，因此GM(1,1)模型成为学者们研究的热点内容.邓聚龙教授首次建立灰色理论以来，学者们改进模型的结构[1-3]，智能方法优化参数[4-5]，研究GM(1,1)模型的应用条件[6]，以及数据规模对GM(1,1)模型预测效果的影响[7]，这些研究都提高了模型的预测精度和拓展了模型的应用范围.这些方法都是从改进模型结构和优化模型参数的角度出发，并没有在充分利用有限的数据方面改进.

GM(1,1)模型是利用最小二乘法原理,求解一阶微分方程,对动态数据的趋势进行预测.为了充分利用有限的数据，范国锋等[8]构建了基于遗传算法的灰色组合模型，王安等[9]设计了基于最小二乘法的灰色预测模型，这些改进方式都是通过整合多种模型的优势，使组合模型的精度和适应范围得到提升.在大数据时代，如何高效地利用有限的数据，设计适应范围更广的数学模型已成为当今研究的重要课题，笔者提出了一种新的灰色耦合模型，该方法是一种解决小样本贫信息的灰色预测模型处理大数据的尝试，通过算例验证了该模型的有效性.

1 模型的建立与检验

1.1 灰色耦合模型

灰色耦合模型是用少量的时间数据序列建立系统的动态模型，先把原始数据序列分解成分解因子，然后对分解因子逐个累加生成生成规律性较强的序列.然后对分解因子累加生成序列建模，再进行累减生成还原成分解因子预测值，最后对分解因子的预测值进行累加，合理地构建分解因子，使得对分解因子的预测值进行累加过程误差得到了相互抵消，使得灰色耦合模型精度得到提高，模型的适应范围更广.具体的灰色耦合模型的建立过程如下：

i=1,2,…,m.

(1)

灰色耦合模型NGCM(1,1)的白化形式为：

(2)

其中ai为发展系数，bi为灰色作用量.

则灰色耦合模型可表示为:

Yi=Biui.

(3)

使J(u)=(Yi-Biui)T(Yi-Biui)取得最小值，利用最小二乘法得到参数的估计：

(4)

于是得到白化微分方程的解:

(5)

利用

(6)

得到第i个分解因子预测值序列：

(7)

最后得到灰色耦合模型对原始数据的模拟值和预测值：

(8)

1.2 模型检验

k时段的相对误差,其定义如下[10]：

(9)

平均相对误差定义如下[9]：

(10)

利用平均绝对误差检验模型的准确性，利用平均绝对误差检验模型的模型精度，常用的模型精度等级检验表[11]如表1所示.

表1 模型精度等级检验表

根据灰色耦合模型的原理，灰色耦合模型算法流程图见图1，算法步骤可概括如下：

step4计算分解序列的模拟值和预测值，

step5利用灰色耦合模型，计算原始序列的模拟值和预测值，

2 算例分析

根据2019中国统计年鉴中2000—2018年的人口数据(各省的人口数量见表2和表3),利用构建的灰色耦合模型和经典的GM(1,1)模型，得到中国人口预测值与真实值对比图(图2).

表2 各省的人口数(I) 万

表3 各省的人口数(Ⅱ) 万

对中国总人口按照省和直辖市，利用灰色耦合模型进行预测，结果与GM模型进行对比，由图3和表4可知，灰色耦合模型不仅预测值与真实值更接近，而且相对误差和平均相对误差更小.

表4 误差分析表

由上述计算结果,GM(1,1)模型的平均相对误差为0.276 5%，而灰色耦合模型NGCM(1,1)的平均相对误差为0.261 4%，因此构建的灰色耦合模型NGCM(1,1)是有效的，另外如果能够更好地设计分解因子，精度还可以进一步提升，模型的适应范围更广.

3 结论

构建了灰色耦合模型NGCM(1,1)，通过算例发现,相对传统的GM(1,1)模型，灰色耦合模型的预测结果精度更高,模型的适应范围更广.

灰色耦合模型从一个全新的角度出发，对原始数据分解建模，使得整合后的误差相互抵消.笔者仅将中国人口按照地域分解整合，预测精度就得到了明显提升，选择合适的分解因子，模型的预测精度肯定可以进一步提升.因此针对原始数据分解算子的构造，以及分解后的误差相消的比较和耦合效果等问题，值得进一步研究.