基于不动点理论及其应用的研究

窦瑞

摘  要：本文主要针对不动点理论起源于方程论的研究，利用不动点分为代数型不动点，做了拓扑型不动点和混合型不动点。Banach压缩映像原理，Schauder不动点定理（Brower不动点定理的推广）及Krasnosel'skii不动点定理是最知名的不动点原理。首先在本科多个学科中Banach压缩映像原理都有重要的应用，其次常微分方程中经典的Picard迭代法的经典表述，微积分中多元函数隐函数存在性理论，数值分析中高阶线性方程组存在性理论等等，最后Schauder不动点定理在常微分方程理论微分方程解的一般存在性定理（Peano定理）的证明等等。

关键词：压缩型映像;Schauder不动点;Peano定理

引言

本文主要简述了不动点理论的历史背景和发展，重要的不动点理论的证明（Schauder不动点定理的不完全证明，一类特殊压缩型映像不动点的存在/唯一性），阐述了毕氏条件与Peano条件下，结合Arzela-Ascoli定理，利用不动点原理解释微分方程的解的存在性理论，并进一步实例利用Picard迭代序列（本质上是寻找不动点的迭代序列），逼近方程的唯一解，编写Matlab程序数值实现。拓扑型不动点定理严格来说是不动点的存在性定理;而代数型不动点定理不仅建立不动点存在性条件，而且给出寻求不动点的具体方法。

1、不动点理论历史背景

数学里到处要解方程，诸如代数方程、函数方程、微分方程，积分方程等等，尤其到近现代各个数学分支的不断发展，方程种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成?（x）=x的形状，这里x是某个适当的空间Χ中的点，?是从Χ到Χ的一个映射或运动，把每一点x移到点?（x）。方程?（x）=x的解恰好就是在?这个运动之下被留在原地不动的点，故称不动点。于是，解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。

定义1：设X为一集合，映像，若存在使得，那么就称是映像T的不动点。

定义1.1：设X为一集合，集值映像，若存在使得，那么就称是集值映像T的不动点。

Banach压缩映像原理，Schauder不动点定理（Brower不动点定理的推广）及Krasnosel'skii不动点定理是最知名的不动点原理。在本科多个学科中Banach压缩映像原理都有重要的应用，比如经典的Picard迭代法的经典表述，多元函数隐函数存在性理论等等。在很多实际问题中，压缩映象的条件过强，就有了‘扩张‘非扩张‘平均非扩张映象等，随着不同数学分支的发展，不动点理论逐渐丰富。

2、重要的不动点定理的证明

2.1 三个重要的不动点定理

（1）（Brouwer）拓扑不动点定理

Χ是中的紧凸集，那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。

Corollary

，（其中是闭球体），则

（2）（Banach）代数不动点定理

X是完备的度量空间，记是压缩型映像，即满足

则。

Corollary

存在唯一不动点，那么T也存在唯一不动点，并与之相同。显然如果如果是压缩映像，T自然存在唯一不动点，即

（3）（Kakutani）混合型不动点定理

设C是Rn中的紧凸集，f为从C到C的非空凸子集的上半连续的点-集映射，则至少存在一点x*，使得x*∈f（x*）。

2.2  Schauder不动点定理的不完全证明

Brower不动点定理是著名的拓扑型不动点定理，与他相关的还有有趣的hairy ball throrem（毛球定理）。它的证明大部分涉及到代数拓扑中基本群理论知识，在[3]中P286给出一个"2D Brower Fixed Point"的证明，当然有纯分析甚至初等的证明，参见J.Milnor，Analytic proofs of the "hairy ball throrem"and the Brouwer fixed point theorem，Anar.Math.Monthly，Vol.85 No.T（1978），521-524，J.Franklin，Methods of Matlematical economics. p.232-246，Springer Verlag. 在本节利用Brower不动点定理来证明其推广的Schauder定理-张恭庆老师的泛函分析讲义。

Schauder[2]不动点定理：

设C是线性赋范空间X中的一个闭凸子集，若 连续且T（C）连续且T（C）列紧，则T在C上必有一个不动点。

证明之前，我们先做些准备。

（Def 2.2.1）[2，14]

设M是（X，d）中的一个子集，N包含于M，如果，那么称N是M的-网。如果

① N是有穷集合（依赖于给定），那么称N是M的有穷-网

②，都M都存在一个有穷-网，那么称集合M完全有界。

（Th 2.2.1）

（Th 2.2.2）

设（X，d）是度量空间，且M包含于X，则

（注意在一般拓扑空间中紧—>闭）

Pro：

现在分三步来证明Schauder不动点定理（摘自张恭庆-泛函分析讲义[2]）

① 因为T（C）是列紧集，所以对

（记）

② 作的映射如下：

因为

综上可以得知元素的凸组合，从而，而且

（1）

（3）注意到 ，而C是凸的，所以co（Nn）包含于C，令

注意到是En 中的一个有界闭凸子集，那么由Brower不动点定理

（2）

又因为T（C）是列紧集而C是闭集，所以存在子列nk 及

（3）

联合（1）和（2）得到：

（4）

结合T的连续性以及（3）和（4）可得到：

3、不动点应用实例

已知常微分方程初值问题如下：

其中f（x，y）在矩形区域R：    是连续函数，且满足如下条件中的一个，则方程在上有界，其中常数

①（Picard Th）f关于y满足Lipschiz条件，此时解唯一;

②（Peano Th）f只需要满足连续即可

（1）对于Picard 解唯一存在定理，常微分教材上都会有详细的证明，从（Banach）不动点的观点来解决就会显得简洁与深刻。

构造算子T如下：

只需要注意到：

结合具体条件，Banach不动点定理成立的条件满足，问题就得到解决。

结论

不动点理论起源于方程论，同样也丰富了方程求解理论。一般来讲不动点分为代数型不动点，拓扑型不动点和混合型不动点。Banach压缩映像原理，Schauder不动点定理（Brower不动点定理的推广）及Krasnosel'skii不动点定理是最知名的不动点原理。在本科多个学科中Banach压缩映像原理都有重要的应用，比如常微分方程中经典的Picard迭代法的经典表述，微积分中多元函数隐函数存在性理论，数值分析中高阶线性方程组存在性理论等等，Schauder不动点定理在常微分方程理論微分方程解的一般存在性定理（Peano定理）的证明等等。

参考文献

[1]  陈汝栋. 不动点理论及应用[M]. 北京：国防工业出版社，2012.01;2～4页

[2]  张恭庆，林源渠. 泛函分析讲义（上）[M]. 北京：北京大学出版社，2009.03