具有马尔可夫链的二维Roesser系统的异步无源性控制

叶志勇，罗良刚，罗小玉

（重庆理工大学 理学院，重庆 400054）

近年来，二维系统的控制问题受到了广泛关注，被应用到电路分析、图像处理、信号滤波和其他的电力工程等领域，并取得了丰硕的研究成果。Megretski等［1］研究了一类线性系统的稳定性问题，将状态x取值固定到2个值的区域，得到传递函数的经典轨迹，证明了线性系统的稳定性。并且，通过实例验证理论的实用性；Kar等［2］基于Roesser模型，描述了不动点状态空间的二维数字滤波器，研究其全局渐近稳定性问题。并且提出滤波器无极限环实现的新准则。Kar H等［3］建立了不确定二维离散系统在不同溢出和量子化非线性组合下的全局渐近稳定性的新判据。给出了不确定二维离散系统在广义溢出算法下无溢出振荡的充分条件。

带有马尔可夫跳的混杂系统的控制问题也是控制邻域中研究的热点之一。马尔可夫链的优势在于擅长对突然改变的结构或参数变化进行建模，涌现了大量的研究成果。Aberkane等［4-7］介绍了带有马尔可夫跳的系统的稳定性条件，给出详细的证明，并通过数值模拟验证了其可行性及有效性。

同步控制器和滤波器是控制领域的研究热点，同步控制器和滤波器需要严苛的限制条件，在实际应用中往往不能取得良好的效果。因此，越来越多学者更加关注异步控制。Du等［8］建立了对二维带马尔科夫跳的罗塞尔系统的H∞控制问题。Wu等［9］研究了离散马尔可夫跳系统的异步控制问题，采用隐马尔可夫模型描述了系统模式与控制器模式之间的异步现象，利用矩阵不等式方法，给出了保证隐马尔可夫跳变系统的3个等价充分条件。另一方面，Wu等［10］研究了具有带有马尔可夫跳的模糊系统的异步耗散问题，利用隐马尔可夫模型完成异步控制，并且建立依赖于模型的李雅普诺夫函数，提出严格的耗散条件和稳定性条件。

本文主要研究了对带有马尔可夫跳的二维罗塞尔系统的异步无源性控制问题。本文的主要内容包括以下两个方面：首先，我们对带有二维马尔可夫跳的罗塞尔系统的异步无源性耗散控制进行了研究，提出了保证无源性的条件。然后，提出保证二维罗塞尔系统（带有马尔可夫跳）的稳定性条件。

第1节介绍带有马尔可夫跳的二维Roesser系统和无源性控制的预备知识。第2节提出了稳定性和无源性的相关定理，并通过李雅普诺夫理论、随机分析和线性矩阵不等式方法，证明了带有马尔可夫跳的二维罗塞尔系统的无源性和稳定性。第3节利用数值模拟，验证相关理论的有效性和可行性。

1 预备知识

本文将研究含有马尔可夫跳的二维Roesser模型，如系统（1）所示：

其中，

水平方向的状态表示为xh∈Rnh，同理，垂直方向的状态为xv∈Rnv。控制输入表示为u（i，j）∈Rnu，扰动输入表示为ω（i，j）∈Rnω，输出表示为y（i，j）∈Rny，控 制 输 出 表 示 为z（i，j）∈Rnz。A（γi，j），B（γi，j），C（γi，j），E（γi，j），F（γi，j），G1（γi，j），G2（γi，j），G3（γi，j），G4（γi，j）是已知的相应维数的实值矩阵，并且它们都是马尔可夫链γi，j的函数。其中，马尔可夫链γi，j的值属于集合H1＝｛1，2，…，k1｝。相应的转移函数矩阵为Λ ＝｛λpq｝，其中：

δ＞0，γi，j≥0是从i到j的转移率。

根据现代概率理论，λpq满足如下要求：

对∀p，q∈H1，系统的边界条件（X0，Γ0）定义为

同时，定义零边界条件：xh（0，j）＝0，xv（i，0）＝0，i，j＝0，1，2，…。其中X0满足如下假设。

假设1：假设X0满足下列条件，

假设γi，j的准确数值是难以获得的，当系统（1）中F（γi，j）为空矩阵，B1（γi，j）为列满秩的矩阵时，设计下列异步的状态反馈控制器：

其中K（ηi，j）是控制增益矩阵，它依赖于参数ηi，j∈H2（H2＝｛1，2，…，k2｝）。同时，由γi，j得到条件概率πps，即

利用蒙特卡洛方法得到条件概率矩阵∏＝｛πps｝。对任意的p∈H1，s∈H2，πps满足如下2个条件

1）πps∈［0，1］；

将γi，j，γi+1，j（γi，j+1）和ηi，j简记为p，q，s。如：A（γi，j）简记为Ap。

本文将异步的状态反馈控制器与含马尔可夫跳的二维Roesser模型结合，即将式（6）代入系统（1）。得到如下的闭环动力系统：

定义1当系统（7）中扰动输入ω（i，j）≡0时，对任意边界条件（X0，Γ0），如果满足下列条件

则称二维闭环系统（7）是渐进均方稳定的。

定义2二维闭环系统（7）满足假设1，则称二维闭环系统（7）是无源性的，如果在零边界条件和ω（i，j）∈l2｛［0，∞），［0，∞）｝下，下列不等式被满足：

其中，α＞0。

2 主要结论

在这一节当中，本文将研究带有马尔科夫跳的二维罗塞尔系统的渐进均方稳定性和无源性。首先给出一个充分条件：

定理1在假设1的条件下，考虑闭环二维系统，对给定的α＞0，如果存在一个对称矩阵Rp＝和Ks，对于∀p∈H1，s∈H2，下列条件成立：

证明：基于舒尔补定理，下列线性矩阵不等式与矩阵（11）是等价的：

首先，对系统的渐进均方稳定性进行证明。假设ω（i，j）≡0，定义Lyapunov函数为

那么

当ω（i，j）＝0时，由系统（7）可知x1（i，j）＝~Apsx（i，j），那么有

对ΔV（i，j）求期望，得到式（14）如下：

基于φ1可得式（15）如下：

将式（15）代入式（14），进一步得到式（16）：

根据式（16），得到：

另一方面，

下面，让m和n趋于无穷大，

由此可知定义1成立，所以系统（7）是渐进均方稳定的。

根据舒尔补定理，得到：

其中，

下面定义J，通过式（10）和式（23），得到：

其中，

得到

在零边界条件下，结合式（24）和式（25），即得到式（26）为

根据定义2，得知系统表达式（7）是无源性的。综上所述，该定理证明完成。

4 数值模拟

本节利用数值模拟验证了系统表达式（7）的耗散性和稳定性。

例：令

为带有马尔可夫跳的二维罗塞尔模型系数矩阵。其转移概率矩阵如下：

利用Matlab软件可实现下列马尔可夫切换（图1）。

通过下列等式检查无源性：

根据上述等式，得到Qc（Ti，Tj）参数（图2）。

进一步获得了参数α的最小值为1.927 1。

5 结束语

现有的研究通常以同步控制为主，但是同步控制所得的模型在现实中很难得到。考虑到系统模式信息的不可获取性，本文在异步控制基础上研究了二维带有马尔可夫跳罗塞尔系统的异步无源性控制，建立了被控二维系统与控制器之间异步的隐马尔可夫模型，并将一维系统的无源性推广到二维系统，得到了保证系统渐近均方稳定性和无源性的充分条件，给出相关证明。模拟结果表明无源性不等式中参数α的最小值1.927 1，验证了理论的可行性和有效性。在研究过程中，本文发现在二维罗塞尔系统中，i和j区间没有加以限制，不具有普遍性。将i和j固定到有限域为目标，进行深入研究，并给出保证稳定性和无源性的充分条件是今后的研究方向。