锂离子电池荷电状态的在线融合估计方法

马向平, 靳皓晴, 朱奇先, 王晓兰

(1. 电气传动系统与装备技术国家重点实验室, 甘肃 天水 741000; 2. 兰州理工大学 电气工程与信息工程学院, 甘肃 兰州 730050; 3. 兰州理工大学 甘肃省先进工业过程控制重点实验室, 甘肃 兰州 730050)

锂离子电池具有输出电压高、比能量高、循环寿命长、自放电小、无记忆效应等优点[1]，已被广泛应用于各类便携式电子产品、新能源汽车以及电力系统等领域[2]，成为当前最具发展和应用前景的新一代环保型储能电池[3].与此同时，由于锂离子电池充放电时依靠的是电化学反应，因此在使用过程中，其安全性和可靠性一直都是研究锂离子电池时必须关注的问题[4].为保证锂离子电池的安全运行，需要一套完善的电池管理系统(battery management system，BMS)，而反映电池剩余容量状况的荷电状态(state of charge，SOC)则是其中重要的参数之一[5].SOC定义为电池剩余电量与电池满电量的比值[6].当前，国内外学者对于锂离子电池SOC估计方法的研究集中在以下4个方面[7]：

1) 放电实验法，该方法采用恒定的电流对电池进行连续的放电，再用时间与放电电流相乘就是放电电量.由于该方法需要在停机状态下进行，且需要耗费大量时间，因此该方法在实际工程中并不适用.

2) 等效模型法，它通过构造等效电路模型来模拟电池，但该方法依赖于等效电路模型的精确度，而模型复杂度的增加导致计算难度也随之增大，给实际应用带来了困难.

3) 安时积分法，该方法通过对电池电流进行积分，获取当前时刻SOC估计值，是目前最为常用的SOC估计方法.

4) 机器学习法，该方法通过对电池历史数据进行学习，挖掘输入输出数据之间的函数关系，进而对SOC值进行预测.

相对于前两种方法无法进行在线测量或计算困难等问题，计算简单且可用于在线测量的安时积分法在SOC估计中得到了广泛应用，而机器学习法也因为方法简单、拥有较高的精确度成为近年来SOC估计的热点方案.

为提高估计精度，安时积分法常与其他方法结合使用.其中，鲍慧等[8]将开路电压法与安时积分法相结合，并分别对安时积分公式中各相关参数进行修正和优化，解决了安时积分法不能估计初始时刻SOC值以及难于准确测量库仑效率的问题.林成涛等[9]在安时积分法与开路电压法相结合的基础上又融合了卡尔曼滤波法,实验证明该方法不但考虑了SOC初始值及库仑效率系数对SOC估计的影响，且将电池可用容量变化因素考虑在内，提高了安时积分法的估计精度.为了进一步提高SOC估计精度，机器学习方法也受到了关注，支持向量机方法(support vector machine，SVM)、BP(back propagation)神经网络方法以及极限学习机(extreme learning machine，ELM)方法也被用于SOC估计中.项宇等[10]采用经遗传算法优化的BP神经网络对SOC估计模型进行建模，并与未经优化的BP神经网络模型进行对比，结果表明，经遗传算法优化的模型的预测误差绝大部分保持在2%以内，而未经优化的BP神经网络的预测误差为10%.盛瀚民等[11]通过粒子群优化的SVM算法建立了SOC预测模型，并对SOC进行估计.实验验证，该预测模型输出的平均误差为0.70%.宋绍剑等[12]分别利用BP神经网络、SVM算法及ELM算法建立了SOC预测模型，并对磷酸锂铁锂离子电池的SOC进行预测；实验证明，基于ELM算法建立的模型误差精度在4%以内，相比于BP神经网络及SVM算法，ELM算法无论在学习速度还是泛化性能方面都具有更加明显的优势.

上述几种方法能够对SOC进行较为准确的估计，但由于安时积分法属于开环估计，且需要对电池电流进行积分，因此其估计结果会随时间累计误差，导致估计误差随时间不断增大.而机器学习法虽然拥有较高的容错性，但受训练数据的质量及数量影响较大，且该方法忽略物理机理，仅依靠历史数据学习输入输出之间非线性函数关系的“黑匣子”式的应用方式所给出的结果是否可靠也仍旧存疑.

为进一步提高安时积分法估计精度，解决安时积分法误差随时间累积的问题，本文结合安时积分法与机器学习法两者的优点，在安时积分法的基础上，针对其误差随时间累积，导致估计误差不断增大的问题，利用学习速度与泛化性能都更具优势的ELM算法，挖掘电池电流与安时积分法估计误差之间的非线性函数关系，建立了基于ELM算法的误差预测模型，并将模型输出值作为误差校正项，对安时积分法的估计结果进行误差校正，最终建立了基于机器学习的融合型安时积分法.分析表明，本文建立的误差预测模型可对安时积分法在某一电流值下产生的估计误差进行预测，将此模型得到的预测误差与安时积分法的估计结果相结合，可改善安时积分法误差随时间增大的问题，提高了估计结果的准确性.最后，通过MATLAB软件编程，验证了本文所提方法的可行性.

1 SOC估计的安时积分法及其误差分析

安时积分法通过对电流传感器测得的电池实时电流进行积分，从而计算得到当前的SOC值，其原理公式为[13]

(1)

其中：Zt1为t1时刻电池的电量；Zt2为t2时刻电池的电量；C为电池的额定容量；i为电池的充放电电流(充电时i<0，放电时i>0)；η为库仑效率系数.

为获取电池电流、SOC标准值以及安时积分法的估计误差，本文利用MATLAB/simlink中自带的锂离子电池模块进行放电仿真，其原理如图1所示.在给定激励(电流)后，该模型可给出当前电池电流I、电池端电压UL及SOC.其中:SOC由式(1)求得;电池电流I=(UL+EB)/R，EB为非线性电压.由于本文研究重点为电池SOC估计，因此仅对电池模块输出电流及SOC结果进行使用，对模块内部计算过程不作过多研究.本文采用UDDS工况下两组不同电流Ic为激励，锂离子电池参数E0=3.7 V，Q=32 A·h，R=0.004 5 Ω，仿真步长设为5 000，得到电池模块输出电池电流及SOC见表1.其中第一组电池电流I对应的SOC估计值如表1的第2列，第二组电池电流I对应的SOC估计值如表1的第5列.两组电流各5 000个电流数据点.实验分析中，将该SOC值作为标准值SOCS.将上述两组电池电流代入式(1)，计算得到安时积分法的SOC估计值Z，将Z和SOCS按式(2)计算，得到安时积分法SOC估计的绝对误差σ如表1中的第3列和第6列：

表1 部分放电仿真数据及安时积分法误差Tab.1 Partial discharge simulation data and errors of ampere hour integration method

σ= SOCS-Z

(2)

其中第一组电流对应的绝对误差与估计次数的关系如图2所示.

选取图2中前1 000、2 000、3 000、4 000、5 000次估计中的最大绝对误差进行比较，结果如表2所列.

表2 安时积分法不同估计次数下的最大绝对误差Tab.2 The maximum absolute error of ampere-hour integral method under different estimation times

分析可知，随着估计次数的增加，安时积分法的估计误差呈明显递增趋势，与前1 000次估计中产生的最大绝对误差为0.001 2相比，采样到2 000次时，最大绝对误差变为0.020 4，相比于前1 000次估计中的最大绝对误差增大了94.1%；同样与前1 000次估计中的最大误差相比，估计到3 000次时，最大绝对误差为0.041 4，增大了97.1%；到4 000次时，最大绝对误差为0.062 1，与前1 000次相比增大了98.1%；在完成5 000次估计后，SOC估计值的最大绝对误差值增加到了0.083 8，较前1 000次时的最大绝对误差增大了98.6%.可见，安时积分法的误差会随时间累积，使SOC估计误差随时间递增.现有研究中，尚无有效的解决方案,且电池电流与估计误差之间的函数关系无法直接获取，而机器学习法可以通过对历史数据的学习，挖掘输入与输出数据之间的函数关系.因此，本文选取参数设置简单，学习效率高且泛化性能良好的ELM算法对误差预测模型进行训练，建立基于ELM算法的安时积分法SOC估计的误差预测模型，并以此对不同时刻电池电流值对应的估计误差进行预测，将所得误差预测值作为校正项，对安时积分法的SOC估计结果进行校正，以提高安时积分法的估计精度，解决安时积分法估计误差随时间增大的问题.

2 基于ELM的SOC估计误差预测模型

为对安时积分法估计结果进行误差校正，首先需要建立以电池电流作为输入，安时积分法SOC估计误差作为输出，适用于安时积分法的误差预测模型.对安时积分法在不同电流值下的估计误差进行预测，如下式所示：

y(k)=f[I(k)]

(3)

其中:y(k)为k时刻的误差预测值;I(k)为k时刻的电池电流;f为电池电流与误差之间的非线性函数关系.

由于电池电流与估计误差之间的非线性函数关系无法直接获取，而机器学习法可以通过对历史数据的学习，挖掘输入与输出之间的函数关系.因此，本文利用机器学习法中参数设置简单、学习效率与泛化性良好的ELM算法对误差预测模型进行训练[14-15].假设有N个已知样本(xi,ti)，其中xi∈Rn为输入，ti∈Rm为输出，i=1,2,…,n，则可得到激活函数为g(x)的ELM算法的数学表达式为

y=[g(ωx+b)]β

(4)

其中:ω为输入层到隐含层的连接权值；b为隐含层神经元阈值；β为隐含层到输出层的连接权值；x为输入；y为输出.由文献[16]可知，对ELM算法的训练过程实质就是求解β的过程，参考文献[17]，在给定激活函数g(x)，并随机产生ω∈Rn与b∈R的情况下，当隐藏层神经元个数Q与样本数N相同，即Q=N时，ELM以0误差逼近训练样本，即

‖Hβ-T‖=0

(5)

其中,H称为隐藏层的输出矩阵：

然而为了减少运算量，实际应用中隐含层神经元个数Q通常小于样本数N，此时，ELM的训练误差可以逼近任意一个ε(ε>0)，即

‖Hβ-T‖<ε

(6)

因此，在连接权值ω与阈值b随机给定的情况下，β可通过求下式的最小二乘解得到：

(7)

综上，本文以表1中第一组的电池电流与安时积分法的绝对误差数据作为输入、输出的训练样本，进行基于ELM算法的误差预测模型的训练.得到以电池电流为输入，估计误差为输出的误差预测模型，其网络结构如图3所示，其中模型输入I为电池电流，模型输出y为估计误差的预测值.

为提高算法获取输出权值最优解的效率，本文在训练误差预测模型时，首先采用下式的方法将数据归一化到[0,1]:

(8)

以Sigmoidal函数为隐含层激活函数，隐含层神经元个数设为5 000，对ELM算法进行训练.为验证基于ELM算法的误差预测模型的精度，将表1中的第二组电池电流与误差值作为测试样本对模型进行测试，得到模型测试误差如图4所示.由图4可知，基于ELM算法的测试误差的绝对值始终保持在0到0.005以内，说明了本文建立的基于ELM算法的误差预测模型的有效性.

为进一步验证基于ELM算法的误差预测模型的性能，本文同样以表1中第一组的电池电流与安时积分法的绝对误差数据作为输入、输出的训练样本，分别采用BP神经网络法和SVM算法建立了SOC估计误差的预测模型.其中BP神经网络的隐含层神经元个数设为5 000，循环次数为10，允许最大误差设为0.1；SVM算法以Sigmoidal函数为核函数，其他参数均采用MATLAB/SVM工具箱中的默认值.得到三种不同误差预测模型的训练时间与在测试数据下的性能对比，如表3所列.

表3 误差预测模型性能比较Tab.3 Performance comparison of error prediction models

由表3可以看出，在隐含层神经元个数相同、均方误差相差一个数量级的条件下，基于BP神经网络法训练误差预测模型所用时间比ELM算法多了近288倍.而在激活函数相同时，SVM算法的训练时间是ELM算法的5 840倍，且前者所得模型精度过低，无法应用.由此再一次证明，本文所建立的基于ELM算法的误差预测模型无论是学习效率还是预测精度都具有明显优势.

3 安时积分法和极限学习机融合的锂离子电池荷电状态估计及结果分析

本文利用误差校正的思想，将第2部分中建立的基于ELM算法的误差预测模型的输出结果作为误差校正项，对安时积分法的估计结果进行校正，建立安时积分法和极限学习机方法融合的锂离子电池荷电状态在线估计方法，下文简称融合方法.且由式(1,3)可得

(9)

其中:S(k)为融合法在k时刻计算得到的SOC估计值；Z(k-1)为k-1时刻安时积分法的SOC估计值；C为电池的额定容量；η为库仑效率系数；I(k)为k时刻的电池电流；f[I(k)]为误差预测模型k时刻所得预测误差.

将式(9)简化为

S(k)=Z(k)+y(k)

(10)

其中:Z(k)为通过安时积分法得到的k时刻的SOC估计值；y(k)为k时刻误差预测模型的输出.

根据式(10)，对安时积分法结果进行误差校正，如图5所示，可得到融合方法的在线SOC估计结果.

本文以表1中第二组电池电流为测试电流，根据式(3)对安时积分法误差进行预测，并将误差预测模型的结果作为安时积分法的校正项，校正其估计结果，进行融合方法的SOC在线估计，如图6所示.

具体步骤如下：

步骤1:初始化参数,设置初始时刻SOC值为1,电池额定容量C为32 A·h，库伦效率系数η为1,采样时间T为1 s;

步骤2:读取电流,将表1中第二组电池电流值作为变量依次赋值给式(1)中的i，计算当前时刻安时积分法的SOC估计值Z，完成安时积分法SOC的在线估计，同时将电流进行如式(8)的归一化运算，并作为误差预测模型的输入，得到不同电流值下的预测误差y；

步骤3:误差校正,将步骤2中得到的预测误差y进行反归一化，再与安时积分法计算得到的Z相加，即对式(10)进行运算，得到当前时刻融合方法的SOC估计值S；

步骤4:读取SOC估计值,将步骤3中得到的SOC估计值S赋值给式(1)中的Z(k-1)；

步骤5:循环步骤2～4，实现融合方法的SOC在线估计.

以表1中第二次仿真所得SOC值为标准值，对融合方法与安时积分法SOC估计结果进行比较，得到绝对误差对比曲线如图7所示.从两条误差曲线的整体趋势可以看出，融合方法的SOC估计误差较安时积分法的估计误差大大减小，且由图中放大部分可以看出，安时积分法在估计开始阶段误差会出现短暂跃升，之后随着迭代次数的增加逐渐收敛于标准值，于1 000次估计时达到最优估计值，即此时通过安时积分法得到的SOC估计值最接近SOC标准值.此后，由于误差随时间的累积，安时积分法误差曲线呈明显上升趋势.同样由图中放大部分可知，融合方法的估计误差变化较小，未随估计次数的增加出现明显上升趋势，不随时间累积.此外，结合表4中数据可知，融合方法估计误差变化趋势与估计时长之间无明显关系，再一次说明了融合方法有效克服了安时积分法估计误差随时间不断累积递增的问题.

表4 融合方法不同采样次数下的最大绝对误差Tab.4 The maximums of absolute error of integrated method under different sampling times

图8所示分别为安时积分法及融合方法所得SOC估计值与SOC标准值的对比曲线.由图中曲线对比结果可以看出，通过融合方法得到的SOC估计值更贴近于SOC标准值曲线，符合融合方法估计误差小于安时积分法的结论;又由图中两处放大部分可知，通过安时积分法得到的SOC估计结果与标准值之间的差距变化逐渐增大，而通过融合方法得到的SOC估计结果与标准值之间差距无明显变化，符合融合方法克服了安时积分法误差随时间累积的结论.因此，本文建立的安时积分法和极限学习机方法融合的锂离子电池荷电状态在线估计方法，将安时积分法与ELM的优点相结合，提高了SOC估计值的精确度，克服了安时积分法估计误差随时间增大的问题.而基于ELM算法的误差预测模型拥有较高的学习效率与精确度，适合基于用嵌入式系统的BMS应用.且只需要测量电池输出电流，即可快速估计得到当前时刻SOC值，在线应用方便.

为进一步验证融合法的精确度，同样以表1中第二组数据作为测试数据，本文将融合方法与文献[18]中等效电路模型法的估计结果进行比较，结果如图9所示.可见，在输入数据相同的情况下，通过融合法得到的SOC估计结果较模型法更贴近标准值.

表5给出了模型法、安时积分法与融合方法的锂离子电池荷电状态在线估计方法的误差对比.可以看出，相对于模型法，后者均方误差由1.86×10-3下降到4.96×10-6，最大绝对误差由0.083 0下降到0.005 0.相对于安时积分法最大百分误差为1.32%的估计精度，融合方法的最大百分误差下降了1.25%，为0.07%.进一步说明了融合方法无论是在估计精度还是克服误差累积方面都拥有更优的结果.

表5 安时积分法与融合法估计结果误差对比Tab.5 Comparison of error estimation results between ampere-hour integral method and integrated method

4 结论

本文基于ELM算法建立了安时积分法的误差预测模型，并将此模型与BP神经网络与SVM算法下建立的误差预测模型进行对比，验证了基于ELM算法的误差预测模型的可行性与优越性.该模型可根据电池工作电流对SOC的估计误差进行预测，该误差预测值作为校正项对安时积分法的SOC估计结果进行校正，使安时积分法和极限学习机方法融合，对锂离子电池荷电状态进行在线估计.仿真结果表明，该方法结合了安时积分法与ELM算法两者的优点，SOC估计的最大百分误差不超过0.07%，提高了SOC的估计精度；克服了估计误差随时间累积的问题；在在线SOC估计中具有广阔的应用前景.但本文所用安时积分法仅对电池电流作积分运算，尚未将电池电压、温度等因素的影响考虑在内，有待进一步深入研究.