钢桁腹式混凝土组合箱梁的挠度计算

杨霞林, 张 岩, 冀 伟

(兰州交通大学 土木工程学院, 甘肃 兰州 730070)

钢桁腹式混凝土组合箱梁是一种新型钢-混组合结构(如图1所示)，其混凝土翼板与钢桁腹杆通过节点构造连接形成共同受力体系.组合箱梁的节点为桁架节间的分界点，结构受力时，上、下混凝土弦杆中的轴力在此产生突变，从而导致三角形钢桁腹杆拉力与压力交替，同时在节点处形成竖向剪力[1].钢桁腹式混凝土组合箱梁由于采用了通透的腹杆构造，与传统混凝土箱梁相比，其增大梁高的同时几乎不增加主梁自重，因而可获得较大截面刚度并减少预应力筋数量[2].钢桁腹式混凝土组合箱梁作为一种极具发展潜力的桥梁结构，已有专家学者对其展开了研究.国外学者对钢桁腹式混凝土组合箱梁的研究主要集中在节点构造[3-5]与全桥承载能力[6]两方面；国内学者对钢桁腹式混凝土组合箱梁的研究主要针对其新型节点构造[1-7]、抗弯抗剪性能、钢桁腹杆内力以及剪力滞效应[2]等内容.

对于钢桁腹式混凝土组合箱梁而言，其悬臂板端部的纵向应力小于其顶板中部的纵向应力，这是由于组合箱梁的悬臂板在自由端不受任何约束，而顶板中部受到了约束造成的.这种约束差异使得组合箱梁在基于变分法原理的剪力滞效应分析中，需对箱梁悬臂板的纵向位移函数进行修正[8].钢桁腹式混凝土组合箱梁在承受竖向荷载作用时，其钢桁腹杆承担了绝大部分剪力，产生剪切变形，其混凝土翼板的纵向应力沿横桥向不均匀分布，产生剪力滞效应[2];而组合箱梁的剪力滞效应及钢桁腹杆的剪切变形降低了组合箱梁的刚度，从而引起较大的变形.本文基于变分法原理，对组合箱梁的悬臂板纵向位移函数进行修正.综合考虑钢桁腹式混凝土组合箱梁的剪力滞效应和其钢桁腹杆的剪切变形对组合箱梁挠度变形的影响，通过相应理论推导和计算得到组合箱梁的挠度计算值，所得挠度计算值与有限元值进行对比分析，判断对组合箱梁悬臂板纵向位移函数进行修正能否提高钢桁腹式混凝土组合箱梁的挠度计算精度，然后分别分析高跨比和腹杆水平倾角对组合箱梁的剪力滞效应和钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度的影响.

1 基于变分法原理的钢桁腹式混凝土组合箱梁的挠度计算解析法

1.1 钢桁腹式混凝土组合箱梁的等效梁

钢桁腹式混凝土组合箱梁的钢桁腹杆沿纵桥方向是不连续的，直接考虑钢桁腹杆的剪切变形具有一定难度，故本文按照剪切变形相等的条件将钢桁腹杆换算为具有等效厚度的换算钢腹板[9]，其换算厚度为

(1)

式中：Es为钢材弹性模量；Gs为钢材剪切模量；h为单根钢桁腹杆的竖向投影长度；b为单根钢桁腹杆的水平投影长度；d为单根钢桁腹杆的轴向长度；Ad为钢桁腹杆的截面积.

钢桁腹式混凝土组合箱梁的钢桁腹杆经过等效换算后，其横截面尺寸如图2所示.图中：bf为组合箱梁的悬臂板宽度;2b为组合箱梁的顶、底板宽度;Zu为组合箱梁上翼板上缘距其形心轴距离;Zb为组合箱梁下翼板下缘距其形心轴距离;tu1为顶板厚度;tu2为悬臂板厚度;tb为底板厚度.

1.2 钢桁腹式混凝土组合箱梁的翼板纵向位移函数

在任意的竖向荷载作用下，钢桁腹式混凝土组合箱梁的翼板任意位置处的纵向位移由3部分组成：

1) 由截面倾角引起的纵向位移u1(x,z)[10]

(2)

式中：hi为组合箱梁的竖向坐标，对上翼板取-Zu，下翼板取Zb；w(x)为组合箱梁的竖向挠度；α(x)为组合箱梁截面的剪切转角，α(x)=w′(x)-φ(x)=Q(x)/(GsAs)，其中，φ(x)为箱梁截面由弯矩引起的弯曲转角，Q(x)为箱梁截面剪力，As为钢桁腹杆的换算钢腹板的有效剪切面积.

2) 由弯矩产生的箱梁剪力滞效应引起的纵向位移u2(x,y,z)

文献[11]从理论上证明了钢腹板组合箱梁翼板纵向位移函数沿横向按二次抛物线分布.参考文献[8]对箱梁悬臂板位移函数的修正方法，由弯矩产生的箱梁剪力滞效应引起的纵向位移如下：

u2(x,y,z)=ωζ(y,z)u(x)

(3)

ωζ(y,z)=

(4)

式中：ωζ(y,z)为剪力滞翘曲位移函数；u(x)为剪切转角的最大差值；ψ为考虑箱梁悬臂板边界约束影响的修正系数，文献[8]中取1.4，本次取值同文献.

3) 由翼板附加轴力产生的箱梁剪力滞效应引起的纵向位移u3(x,y)

对于梁式桥上部结构而言，其弯曲变形产生的竖向挠度是桥梁总挠度的主要组成部分，剪切变形产生的竖向挠度视桥梁的高跨比而定，轴向变形则对桥梁的竖向挠度无贡献[12].由此可知，由翼板附加轴力产生的箱梁剪力滞效应不会引起组合箱梁的附加挠度.综上所述，钢桁腹式混凝土组合箱梁的翼板纵向位移函数为

(5)

1.3 变分法推导挠度计算公式

根据最小势能原理，处于稳定平衡状态的弹性体在外力作用下，在满足边界条件的所有位移中，存在一组位移使得整个体系的总势能π最小，即体系的总势能的一阶变分为0.

δπ=δ(U-V)=0

(6)

体系的荷载势能V为

(7)

体系的形变势能U由顶板应变能U1、悬臂板应变能U2、底板应变能U3和换算钢腹板剪切应变能U4组成，为：

U=U1+U2+U3+U4

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Ec为组合箱梁混凝土翼板的弹性模量；Gc为组合箱梁混凝土翼板的剪切模量；εx1、εx2、εx3分别为组合箱梁顶板、悬臂板以及底板的纵向正应变；γ1、γ2、γ3分别为组合箱梁顶板、悬臂板以及底板的横向剪应变.

(13)

将式(7)和式(8)代入式(6)，整理可得以下微分方程和边界条件.

微分方程：

边界条件：

(17)

(18)

(19)

式中：

求解微分方程组可得

(21)

式中：

(22)

2 算例

2.1 简支钢桁腹式混凝土组合箱梁承受均布荷载

如图3所示，当跨径为l的简支组合箱梁上作用有满跨均布荷载q时，其各截面的弯矩和剪力函数表达式为

将式(24)代入式(20)，并根据边界u′(x)|x=0=0，u′(x)|x=l=0可得：

(25)

将式(23～25)代入式(21)，并根据边界条件w(x)|x=0=0，w(x)|x=l=0可得：

(26)

式中：w1(x)为按照初等梁理论计算所得的挠度；w2(x)为组合箱梁剪力滞效应产生的附加挠度；w3(x)为换算钢腹板剪切变形产生的附加挠度.

2.2 简支钢桁腹式混凝土组合箱梁承受集中荷载

如图4所示，当跨径为l的简支组合箱梁上纵向任意位置处作用有一集中荷载P时，其各截面的弯矩和剪力函数表达式为：

当0≤x≤a时，

当a

(29)

(30)

将式(28,30)代入式(20)，并根据边界u′1(x)|x=0=0，u′2(x)|x=l=0及u1(x)|x=a=u2(x)|x=a=0,可得：

当0≤x≤a时，

(31)

当a

(32)

将式(27,32)代入式(21)，并根据边界条件w(x)|x=0=0，[w′(x)-α(x)]|x=l/2=0可得当0≤x≤a时，

(33)

3 钢桁腹式混凝土组合箱梁的有限元模型

3.1 工程背景

工程背景为南京绕越公路江山桥，其上部结构采用两跨(35 m+35 m)等截面钢桁腹式预应力混凝土组合箱梁结构.主梁为单箱单室截面，翼板混凝土采用C50混凝土，弹性模量为3.45×104MPa，泊松比为0.2;钢桁腹杆采用Q345C级钢管，弹性模量为2.06×105MPa，泊松比为0.3，桁腹水平倾角为67°左右，节间距为1.95 m.现取其中1跨作为简支体系进行分析，其横向、纵向构造与尺寸如图5和图6所示.

3.2 有限元模型的建立

采用有限元软件ANSYS建立上述等截面钢桁腹式混凝土简支箱梁桥的有限元模型，其中混凝土翼板采用实体单元进行模拟，钢桁腹杆采用梁单元进行模拟.不考虑钢管与混凝土的相对滑移，钢桁腹杆与混凝土翼板的刚性连接通过建立约束方程进行自由度耦合.钢桁腹式混凝土组合简支箱梁桥的边界一端为活动铰支座，另一端为固定铰支座.有限元模型如图7所示.

4 结果分析对比

4.1 悬臂板纵向位移函数的修正对挠度理论计算公式精确度的影响

图5所示的截面几何特性见表1，钢桁腹杆的换算钢腹板厚度见表2.

表1 截面几何特性Tab.1 Geometric property of section

表2 换算钢腹板的厚度及参数Tab.2 Thickness and parameters of transformational steel web

利用所得公式计算前述简支钢桁腹式混凝土组合箱梁经过修正的挠度理论值，再令相关公式中的ψ等于1，得到未经修正的挠度理论值.所得挠度理论值与有限元值对比，判断本文对组合箱梁悬臂板纵向位移函数进行修正能否提高钢桁腹式混凝土组合箱梁的挠度计算精度.

有限元模拟梁的加载工况[13]为：1) 全桥均布荷载加载分为q、2q、3q和4q(q=10.5 kN/m)4个等级进行；2) 跨中集中荷载加载分为P、2P、3P和4P(P=300 kN)4个等级进行.钢桁腹式混凝土组合箱梁1/4跨和跨中处的挠度理论值与有限元值之间的关系见图8和图9.

根据图8和图9可知，对钢桁腹式混凝土组合箱梁悬臂板纵向位移函数进行修正后得到的挠度理论值更加接近有限元值，修正后的挠度理论值与有限元值的相对误差基本控制在7%以内，其计算精度较未经修正的挠度理论值提高了2%.故本文后续研究选用修正后的挠度理论值.

4.2 高跨比对剪力滞效应和钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度的影响

一般认为，梁式桥主要以受弯为主，其所受的剪力相对较少，剪切变形占弯曲变形的比例视高跨比而定，工程上常将1/5作为是否考虑剪切变形影响的高跨比门槛值[12].

为研究高跨比对钢桁腹式混凝土组合箱梁的剪力滞效应和钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度的影响，在保证其他参数不变的基础上，仅改变组合箱梁的计算跨径l，l分别取7.7、11.6、15.5、19.4、23.3、27.2、31.1和35.0 m(高跨比变化范围为0.066～0.299)，取组合箱梁跨中位置处的挠度作为研究对象进行分析.下面两式分别为组合箱梁钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度对其总挠度的贡献率计算公式和组合箱梁剪力滞效应引起的附加挠度对其总挠度的贡献率计算公式.

式中：η1为组合箱梁钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度对其总挠度的贡献率；η2为组合箱梁剪力滞效应引起的附加挠度对其总挠度的贡献率；wf(x)为组合箱梁总挠度的有限元值.

高跨比与η1和η2的关系曲线如图10所示.

根据图10可知，η1和η2随着钢桁腹式混凝土组合箱梁高跨比减小而不断减小.当组合箱梁的计算跨径l取11.6 m时，其高跨比接近1/5，此时组合箱梁在全桥均布荷载作用下的η1值取29.86%，η2值取15.96%;组合箱梁在跨中集中荷载作用下的η1值取34.18%，η2值取17.19%.当组合箱梁的跨径l取35.0 m时，其高跨比接近1/16，此时组合箱梁在全桥均布荷载作用下的η1值取5.79%，η2值取2.96%;组合箱梁在跨中集中荷载作用下的η1值取7.47%，η2值取3.56%.综上，当组合箱梁的高跨比接近1/16时，钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度占总挠度的比例才接近5%(此时剪切变形引起的附加挠度在工程上可忽略不计)，而简支梁桥的合理高跨比处于1/16～1/8之间，故钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度是不可忽略的.组合箱梁剪力滞效应引起的附加挠度占总挠度的比例只有在其高跨比接近1/16时小于5%，故由剪力滞效应引起的附加挠度也是不可忽略的.

4.3 腹杆水平倾角对剪力滞效应和钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度的影响

钢桁腹式混凝土组合箱梁的腹杆水平夹角θ为腹杆与纵桥向x轴间所夹的锐角.在保证其他参数不变的基础上，仅改变钢桁腹式混凝土组合箱梁的钢桁腹杆水平倾角θ，θ分别取60.10°、64.34°、67.00°、69.24°和71.07°.组合箱梁的钢桁腹杆水平倾角θ、钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度对其总挠度的贡献率η1、剪力滞效应引起的附加挠度对其总挠度的贡献率η2和参数μ之间的关系如图11所示.

根据图11可知，随着钢桁腹式混凝土组合箱梁的钢桁腹杆水平倾角的增加，μ值先减小后增加，η1值除在θ为67.00°处略大于θ为64.34°处的数值外，其变化趋势与μ值的变化趋势基本相同，而η2值基本无变化.考虑到挠度理论计算公式具有一定误差，可得到以下结论：组合箱梁钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度对其总挠度的贡献率与μ值随着钢桁腹杆水平倾角的增加具有大致相同的变化趋势，而组合箱梁剪力滞效应引起的附加挠度对其总挠度的贡献率随着钢桁腹杆水平倾角的增加基本保持不变.所得结论证明了前文中“钢桁腹杆水平倾角的变化会对钢桁腹杆的剪切变形产生影响”的推断.

5 结论

1) 在利用能量变分法原理推导钢桁腹式混凝土组合箱梁挠度计算公式时，按照剪切变形相等的条件将钢桁腹杆换算为具有等效厚度的换算钢腹板，并对组合箱梁的悬臂板纵向位移函数进行修正可使计算结果具有较高精度.

2) 简支梁桥的合理高跨比处于1/16～1/8之间，对于高跨比处于此范围间的简支钢桁腹式混凝土组合箱梁而言，其钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度和剪力滞效应引起的附加挠度占总挠度的比例基本都超过了5%，在工程上不可忽略不计，即钢桁腹杆的剪切变形和翼板的剪力滞效应产生的附加挠度在组合箱梁的总挠度计算中不可忽略.

3) 对于简支钢桁腹式混凝土组合箱梁而言，随着钢桁腹杆水平倾角的增加，其钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度对其总挠度的贡献率与换算钢腹板厚度计算公式中的μ值的变化趋势大致相同，其剪力滞效应引起的附加挠度对其总挠度的贡献率基本保持不变，即钢桁腹杆水平倾角的变化仅会对钢桁腹杆剪切变形引起的附加挠度产生影响.