隧道振动台试验相似比试验设计分析

魏 雯 关振长

（福州大学土木工程学院）

0 引言

我国临近太平洋地震带，在高烈度地震频发的区域，如何确保隧道工程的抗震性能显得尤为重要，达到“小震不坏，中震可修，大震不倒”的设防目标成为隧道抗震领域亟待解决的热门问题[1-4]。开展隧道抗震性能的振动台试验研究具有重要意义，目前隧道抗震性能研究，主要采用的研究手段为理论分析、原位观测以及模型试验[5-9]。模型试验主要是将模型试验结果反演到原型结构，进而研究原型结构在地震作用下的变形规律及破坏形态。模型试验能够较好的控制边界条件、模型尺寸以及方便选取地震波类型，进而模拟地震过程[10-12]。

本文依托福州市金鸡山隧道扩建项目，通过振动台试验分析隧道在地震作用下的变形形态。一个好的模型试验研究，需要依据相似理论推导出隧道围岩及衬砌结构的各物理量相似关系。因此，相似比设计在模型试验中显得尤为重要，是进行振动台试验的理论基础及前提条件。

1 工程概况

福州金鸡山隧道原位扩挖后为双向8 车道，隧道高13.0m、宽19.0m，隧道最大埋深约39m，隧道围岩地层由上往下依次为花岗岩残积砂土、花岗岩残积粉质粘土与中风化粗粒花岗岩。

考虑到隧道特征及试验研究目的，选取典型地段，对隧道围岩土层进行了简化，简化后隧道埋深约14m，土层厚度由上往下为12m、15m 和12m。隧道位于花岗岩残积粉质粘土层，如图1 所示。

图1 隧道典型断面图（单位：dm）

2 相似理论分析

相似性在自然界中是客观存在的普遍现象。在几何相似理论中，对于类似性质的物理过程，假设全部相关的物理量于几何点和相对时间均存在一定比例关系，则称之为相似现象。通常认为相似现象遵循一定的物理规律，相似现象采用的物理表达方程式认为是一样的。相似现象中，原型物理量与对应的缩放物理量的比例关系称为相似常数，通常情况下，受物理定律的约束相似常数不能随意选取，例如几何尺寸最佳相似比是依据重力加速度确定的。当下，确定相似关系主要的方法有方程式与量纲分析[13-14]。

一般情形下，相似判断若经确定的方程式推导而得，那么用方程分析法推导相似判断也是准确的。方程分析法建立的基础是物理过程中每个物理量的函数关系式必须是确定的，但往往受制于试验条件以及材料的复杂性，很难得到准确的函数关系表达式，此时量纲分析法可以有效的解决这个问题。

通过相似理论分析，每个物理量都存在一定联系，因此每个物理量之间的量纲也存在一定联系。

量纲一般是确定物理量的类型种类，无关于量的大小。量纲关系主要是达成一定的量纲和谐，量纲关系主要有以下对应关系：

①假如两个物理量相等，那么它们数值相等，量纲也相同。②两物理量若是量纲相同，那么它们的比值是无量纲量的，无关于单位大小。③量纲和谐：一般方程可以采用减、加及等号关联起来用来描述某一个物理现象，但是每一项的量纲一定要相同。

相似理论是探究物理相似现象的基本原理和指导方法。相似现象一般能够采用物理方程所表达出来，进而得到三个基本定理如下。

⑴相似第一定理

如果相似指标等于1，则称为两个现象相似，那么一样的物理量所对应点的比例系数相等。1686 年Newton 提出了著名的牛顿准则，较好的阐述了两个力学系统相似准则问题，同时用相似关系建立了两个运动物体的关联问题；1848 年，Bertrand 首次提出了相似第一定理。

⑵相似第二定理

相似第二定律阐述的原理是，当在n 个物理量的某个物理系统中，相互独立的量纲有m 个，那么存在（n-m）个相似判据。该定理还提出，假设某个物理系统的现象相似，则可以推导出相似判据一样。1911 经俄国费捷尔曼首次提出；若干年后，被美国学者E.Buckingham 推导论证。

⑶相似第三定理

相似第三定理阐述的原理是，当物理量处于几何相似系统，那么物理量之间的微分方程要一样，其中还要求对应部分的模数数值相等。该定理由基尔皮契夫提出。

在相似第三定理中，单值量条件需满足单个具体现象得从众多现象中区别筛选出来的条件，它主要包含以下部分：①几何条件：凡参与物理过程的物体的几何大小应当给出的单值量条件。②物理条件：在物理系统过程中，物质属性必须明确单值量条件，主要有泊松比、速度、质量、剪应力、弹模等。③边界条件：世间物理现象之间均是相互影响的，所以单值量条件在边界上应当明确，比如：边界荷载分布情况，地基的支承受力端的方向，分析物体体积膨胀时的温度条件等。④初始条件：事物现象的发展往往跟初始状态密切联系，一般情况下必须给出初始的单值量条件，比如，运动物体的初始速度和出发时间、物体的质量和体积以及自然状态下物体的温度等。

各物理量之间是相互联系的，确定若干个单值量后，通过物理系统中的物理方程式可推导出其他相关单量值。

3 相似比设计

当前受场地及设备的限制，物理模型试验通常情况是通过原型缩尺进行。根据相似理论，将物理结构原型经相似比设计后缩小进行实验研究，通过模型试验研究相关结构的受力规律及破坏形态，进而推导出结构在实际工程应用中的受力情况，以便更好的提供理论基础支撑及指导工程施工。因此做好模型试验的重要前提是明确结构的相关物理量以及各物理量之间的相似关系。结合具体的某个试验，应具体情况具体分析，在物理关系明确，可以用数学函数表达出物理方程式的可采用第三相似定律推导。本文研究的隧道抗震性能分析，其隧道受力关系明确，因此采用方程式推导出各物理量的动力相似关系，进而设计相似比。

3.1 相似关系

模型试验能否较好的反映实际受力变形情况跟相似关系密切相关。相似关系中提出必须满足各物理量的相似条件，但通常受制于试验材料和试验设备的影响，往往很难做到完全相似。于是，每个试验项目根据研究的具体目的着重考虑某些物理量相似，进而推导出其他物理量的相似关系。

本项目借助福州某高校振动台进行了隧道抗震模型试验研究，其中振动台的主要物理参数如表1 所示。

表1 振动台的主要物理参数

通常情况，若是已知三个物理量，且物理量之间相互独立，那么即可推导出剩余物理量量纲。因此，当没有离心机时，原型和模型均位于一样的重力场，要增大物体质量相当困难，重力加速度默认为相等。为了方便模型试验研究，同时受制于场地和试验设备，一般假定加速度、几何尺寸与弹模作为独立变量，进而依据明确的物理方程式推导剩余的物理量相似比。

通过以上假定，根据具体项目要求、场地条件、材料属性、经济条件以及试验设备，确定出已知量的相似设计比。本项目结合试验作业台面以及模型试验箱，材料吊装安全等几方面考虑，最终确定将隧道埋深39m 缩尺为1.3m 较为妥当，进而推导出几何尺寸相似比为1/30；因在同一重力场，重力加速度相似比确定为1/1；参考已有研究以及材料物理属性限制，将弹性模量相似比确定1/40。其余物理量相似比通过以上已知条件推导。主要的材料物理量有应变、应力、密度弹模以及泊松比；主要的几何物理量有位移和几何尺寸；主要的动力物理量有加频率、速度、刚度、时间和阻尼等，根据第三相似定律推导后，主要的动力相似关系如表2 所示。

表2 动力相似关系

隧道围岩相似比设计完成后，衬砌结构的相似比也应确认。从隧道受力角度分析认为，抗弯和弯曲应变对衬砌安全起到重要作用。隧道衬砌结构受力状态不仅承受抗弯，同时还承受轴力，该衬砌结构类似于圆柱形壳体结构。因此,在模型试验中我们将抗弯刚度作为研究重点。但是由于隧道结构的轴向和弯曲变形方程不相同，两者相似准则不能一概而论，应将两种情况单独分析考虑。

在隧道结构弯曲变形相似设计中，假设其满足薄板结构板挠曲ω 控制方程，将薄板厚度设置成h，x 轴与y轴分别为横截面内的坐标轴，则薄板在横向均布力q 的作用下，应满足的薄板挠曲ω 方程如下所示：

式中，

Sh——围岩长度单位相似比为；

SE——围岩弹模相似比；

S＇h——二衬长度单位相似比；

S′E——衬砌弹模相似比为。

同时泊松比是无量纲物理量，可推导出S＇μ=Sμ=1。结合本项目试验目的以及试验材料属性，同时便于试验研究，经过分析对比，将衬砌弹模相似比设置为S′E=SE，进一步推导出S＇h=Sh，那么衬砌结构厚度相似比可以推导出为1/30，衬砌相似关系也如表2 所示。

3.2 确定模型相似尺寸

通过确定长度L 相似比为1/30，重力加速度相似比为1/1，弹性模量相似比确定为1/40，本项目模型试验的最终尺寸拟定为长310cm、宽80cm 和高130cm。通过相似关系推导，结合表2 的动力相似关系，确定出模型衬砌结构尺寸厚2.5cm、高43cm 以及宽63cm。经过相似设计比，将本项目原型尺寸缩尺后得到的几何尺寸图如图2 所示。缩尺后隧道围岩划分为三层，各层厚度由上往下依次为40cm、50cm 以及40cm。

图2 隧道模型缩尺后立面图（单位：㎝）

3.3 相似材料选取

由以上相似关系推导可知，模型试验中采用的材料密度为实际围岩密度的1.33 倍，因此隧道围岩底层的中风化粗粒花岗岩，采用岩质相似材料的重晶石粉和铁粉等模拟；顶层的花岗岩残积粉质粘土以及底层的花岗岩残积砂土采用土质相似材料，主要由粉质黏土和膨胀土模拟。在后续振动试验结果分析中，根据相似比设计反推回实际结构在振动响应中的振动速度、加速度及应力等物理量。通过配合比试验得到相似材料的主要物理参数尽量满足表3 的相似关系。

根据相似材料主要物理参数，通过比较分析试验结果，为了能较好的模拟隧道围岩物理属性，本文选取的相似材料配比如下：

⑴花岗岩残积砂土相似材料配比为：m重晶石粉:m铁粉:m粉细砂:m松香:m酒精:m石膏=0.606:0.152:0.189:0.033:0.1:0.02。

⑵花岗岩残积粉质粘土相似材料配比为：m粉质粘土:m重晶石粉:m粉细砂=0.48:0.4:0.12。

⑶砂土状强风化花岗岩材料配比：m粉质粘土:m重晶石粉:m粉细砂:m膨润土=0.384:0.32:0.096:0.20。

表3 岩质相似材料的相似关系

4 结语

⑴通过相似比设计，拟定加速度相似比为1/1、几何尺寸为1/30 以及弹性模量为1/40。确定出模型试验的最终尺寸拟定为长310㎝、宽80㎝和高130㎝。

⑵通过拟定的物理量相似关系，推导出模型试验中速度、加速度及密度等其他物理量的动力相似关系。

⑶通过确定隧道围岩材料的相似比，选取出物理属性较为适合的材料进行配比作为试验相似材料。

合理的模型试验设计，能够使试验结果更加真实可靠地反映原型结构变形与受力情况，为隧道抗震研究提供理论基础。