高中数学圆锥曲线解题中构造法的使用

宋百庆

◆摘  要：构造法指在题解过程中通过构造一个合适的中介来找到解决问题的方法，它是数学教学中的一种基本方法，可以简化圆锥曲线问题，降低解题难度。基于此，本文具体分析了高中圆锥曲线解题过程中构造法的运用方法。

◆关键词：圆锥曲线;构造法;解题思路

构造法是数学中的一种基本思想方法，指在题解过程中通过构造一个合适的中介来找到解决问题的方法。圆锥曲线是高中数学学习中的重难点，学生需要在解题过程中不断总结经验，寻找更加高效的解题方法与解题思路。构造法是圆锥曲线中常见的一种解题方式，甚至在解题过程中起到了十分关键的作用，下面我们将具体分析构造法在高中圆锥曲线解题过程中的使用方法。

一、构造命题

当所需要解决的圆锥曲线问题已知条件中并没有给出明确的依据，需要学生自己通过推导或总结相关命题，从而解决问题的构造方法就叫做构造命题法。构造命题的正确性是构造命题法在解决圆锥曲线中的最关键因素，需要学生在日常学习中深入掌握相关命题。为了让学生在构造命题法的应用中更加灵活，一方面教师要在圆锥曲线中融入大量构造命题的案例分析，让学生掌握解决圆锥曲线问题的方法，获得更多的思考与解决问题经验。另一方面，教师应注重对学生能力的培养，提高学生使用构造命题解决问题的意识，帮助他们养成良好的解题习惯。

例1：设椭圆方程为[（x-2t）29+（y+t2）29=1]，试求其中心轨迹关于M（-1，1）对称图形轨迹方程式。

分析：在解决这道问题时，我们就需要采用构造命题法，首先要引用命题，从题目已知中可知方程f（x，y）关于点M（[x0，y0]）对称曲线方程为[2x0-x，2y0-y=0]。设椭圆的中心为（x，y），根据题目的已知我们可知，x=2t，y=[t2]，将其带入到方程中我们可得椭圆中心轨迹方程为f（x，y）=[x2+4y=0]，由此可得（-2-x）2+4（2-y）=0，因此其轨迹方程为（x+2）2=4（2-y）。该题目已知条件中并没有明确告诉我们曲线方程中关于点对称的方程式，此时采用构造命题的方式可以快速帮助我们找到解题的关键，进而获得有效的解题思路。

二、构造函数

函数是高中阶段学习的重点内容，学生在面对函数问题时也不会陌生。在解决圆锥曲线的问题时，我们可以充分利用函数的特点，通过构造函数的方式来解决最大值、最小值的问题。因此，构造函数也是构造法在圆锥曲线中常见的应用方法。帮助学生掌握构造函数的方法需要教师注重日常教学中对圆锥曲线常用函数进行详细的讲解，帮助学生掌握函数构造的方法。[2]同时，还要加强对例题的讲解，引导学生快速找到解决问题的突破口。

例2：已知圆[C1：x2+（y-2）2=1]，直线l：y=-1，有一动圆C与C1外切，且与直线l相切。

1.求动圆圆心C的轨迹M的方程

2.直线l与轨迹M在第一象限相切，其切点为p，直线l的斜率为k，过点作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并与轨迹M相交于点Q（P与Q不重合），设S为[?POQ]（O为坐标原点）的面积，求S值为多少。

分析：该例题的第一问主要通过判断圆C的位置来确定y+1>0，第二问则利用了构建导函数的方式来得出直线方程，从而求得切点坐标。

三、构造图形

构造图形法是指在解决数学题目时通过题目已知条件来构造出联系已知和所求内容的图形来解决问题的方法。构造图形法的使用对学生几何思维水平要求较高，需要充分利用图形的最直观特点，融合逻辑思维与形象思维。

例3：已知[F1]、[F2]是椭圆上的两个焦点，且椭圆上存在一点P使[∠F1PF2=90°]，求离心率e的范围。

分析：解决该问题我们可以采用两种方法

通过对比这两种解题方法我们可以看出，第一种方式就是我们所说的构造图形的方法，这种方式从几何的角度去进行问题的分析，与第二种方法相比大大降低了运算量，省去了许多不需要进行计算的步骤，更加适合与计算能力较差的学生，同时也可以提高学生在解题过程中的效率。

四、構造方程

构造方程实际上就是要通过问题的结构特征和数量关系来发掘出其中所包含的已知和位置因素，从而巧妙解决圆锥曲线问题。[3]在使用构造方程的方法时，我们需要对题目的已知进行充分的分析，掌握已知条件中所给出的数量关系，然后在根据方程思想、方程根的定义等方程知识来解决问题。

五、构造不等式

不等式学习一直都是高中数学教学阶段中的重难点，其涉及的知识内容较多，且解题过程相对来说比较复杂。在圆锥曲线的问题中经常会出现求取值范围的案例，此时融入不等式的知识内容将会起到事半功倍的效果。例5：已知椭圆C的方程为，O为原点。椭圆上存在一点B。若直线y=2上存在一点A，且OA垂直与OB，求椭圆C的离心率以及AB的最小值。

分析：这道例题共两问，第一问椭圆C的离心率可以根据已知中的椭圆方程直接求得。因此本题的难点主要在第二问上。因为题目已知中所给出的A点坐标比较特别，且B点为椭圆上的一点，所以我们可以根据两条直线之间的垂直关系来找到两个坐标之间的关系，然后在根据直线长度坐标计算方法进行化解，构造出不等式关系，通过求解不等式来求得AB之间的最小值。

六、结论

构造法是解决圆锥曲线问题时常用的一种方法，熟练掌握构造法将对提高解题质量与解题效率起到积极的作用。但同时，对于高中生来说想要真正的做到牢固掌握和灵活运用并不容易。特别是圆锥曲线问题本身难度就大，构造法的应用更是对高中生的一项挑战。为了让学生更好的掌握构造法的使用方法，教师必须要加强对这一解题方法的重视程度，有意识的在学生解题过程中培养他们的解题能力。

参考文献

[1]林春花.探讨高中数学圆锥曲线解题中构造法的应用[J].黑河教育，2020（04）：24-26.

[2]王竞.构造法在高中数学解题中的应用方法[J].课程教育研究，2018（48）：146.

[3]洪云松.高中数学圆锥曲线解题中构造法的使用[J].农家参谋，2017（13）：160.